2025年初中數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)突破：三角形中的新定義問(wèn)題（含答案及解析）

專(zhuān)題三角形中的新定義問(wèn)題

【例1】.通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比

值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類(lèi)似的，可以在等腰三角形

中建立邊角之間的聯(lián)系.定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如

圖，在△ABC中，AB^AC,頂角A的正對(duì)記作s以/A,這時(shí)生.容易知

腰AB

道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下

歹(J問(wèn)題:

(1)sad60°=；

(2)對(duì)于0°<A<180°,NA的正對(duì)值的取值范圍是；

(3)如圖，已知cosA=生，其中乙4為銳角，試求sadA的值.

A變式訓(xùn)練

【變17工定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“倍

角三角形”.若AABC是“倍角三角形"，ZA=90°,BC=4,貝的面積

為.

【變1-21.定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與0滿(mǎn)足a+2p=100°,那么我們稱(chēng)這樣的三

角形為“奇妙三角形”.

(1)如圖1,△ABC中，ZACB=80°,2。平分NABC.

求證：△A3。為“奇妙三角形”

(2)若△ABC為“奇妙三角形"，且NC=80°.求證：△ABC是直角三角形；

(3)如圖2,△ABC中，2D平分/ABC,若△42。為“奇妙三角形"，且乙4=40°,

直接寫(xiě)出/C的度數(shù).

圖1圖2

【例2].定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為60°,那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角

形”.

【理解概念】

(1)頂角為120°的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”.(填“是”或“不是”)

【鞏固新知】

(2)已知△ABC是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中NA=35°,ZC>90°.求的度數(shù).

【解決問(wèn)題】

(3)如圖，在中，ZACB=90°,NA=30°,BC=1+J§，點(diǎn)。在AC邊上，

若△BC。是“準(zhǔn)等邊三角形”，求8。的長(zhǎng).

A變式訓(xùn)練

【變2-11新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”如圖所示，△

ABC中AF、3E是中線，且垂足為P,像△ABC這樣的三角形稱(chēng)為“中垂三

角形"，如果/A8E=30°,AB=6,那么此時(shí)AC的長(zhǎng)為

c.

【變2-2】.【了解概念】

定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱(chēng)這個(gè)三角形

為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線.

【理解運(yùn)用】

(1)如圖1,在△A8C中，AB=AC,ZBAC=120°,試判斷△ABC是否為半線三角形，

并說(shuō)明理由；

【拓展提升】

(2)如圖2,在△ABC中，AB^AC,。為的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接MB,

MC,若△ABC和均為半線三角形，且和分別為這兩個(gè)三角形8C邊的半

線，求NAMC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若加。=旦，AM=1,直接寫(xiě)出的長(zhǎng).

實(shí)戰(zhàn)演練

1.當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角B是另外一個(gè)內(nèi)角a的/時(shí)，我們稱(chēng)此三角形為“友好三角形”，a

為友好角.如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為42°,那么這個(gè)“友好三角形”的

“友好角a”的度數(shù)為.

2.當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角P的兩倍時(shí)，我們稱(chēng)此三角形為“奇妙三角形”，

其中a稱(chēng)為“奇妙角”.如果一個(gè)“奇妙三角形”的一個(gè)內(nèi)角為60°,那么這個(gè)“奇妙

三角形”的另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.

3.新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.根據(jù)準(zhǔn)外心的定

義，探究如下問(wèn)題：如圖，在中，ZC=90°,45=10,AC=6,如果準(zhǔn)外心尸

在BC邊上，那么PC的長(zhǎng)為.

4.定義：銳角三角形三條高的垂足形成的三角形稱(chēng)為垂足三角形.在銳角三角形A8C的每

條邊上各取一點(diǎn)D,E,F,稱(chēng)為△A8C的內(nèi)接三角形.垂足三角形的性質(zhì)：在銳

角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，周長(zhǎng)最短的三角形是它的垂足三角形.已知，在4

ABC中，點(diǎn)。，E,F分別為AB,BC,AC上的動(dòng)點(diǎn)，AB=AC=5,BC=6,則△OEF

周長(zhǎng)的最小值為.

5.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如圖①在△ABC中，AB

=AC,頂角A的正對(duì)記作這時(shí)相心=粵?塔.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)

腰AB

角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題:

(1)sad60°=.

(2)sad90°=.

(3)如圖②，己知sinA=3,其中NA為銳角，試求相公的值.

5

6.定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三

角形的三分線.

(1)如圖①，△ABC是頂角為36°的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫(huà)出，判

斷△D4B與△EBC是否相似:(填“是”或“否”);

(2)如圖②,△ABC中,AC=2,BC=3,/C=2/8,則AABC的三分線的長(zhǎng)為

圖②

7.概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱(chēng)這兩個(gè)三角形

互為”等角三角形”.

從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線

段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角開(kāi)中一個(gè)為等腰三角形，

另一個(gè)與原來(lái)三角形是“等角三角形”,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”.

理解概念:

(1)如圖1,在中，NACB=90°,CD±AB,請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)''等角三角形”.

概念應(yīng)用：

(2)如圖2,在△ABC中，CD為角平分線，ZA=40°,ZB=60°.求證：CD為△

ABC的等角分割線.

動(dòng)手操作：

(3)在△ABC中，若/A=50°,C￡＞是△ABC的等角分割線，請(qǐng)求出所有可能的NACB

的度數(shù).

8.定義：在△ABC中，若8C=a,AC=b,AB=c,a,b,c滿(mǎn)足改+“2=戶(hù)則稱(chēng)這個(gè)三角

形為“類(lèi)勾股三角形”.請(qǐng)根據(jù)以上定義解決下列問(wèn)題：

(1)命題：“直角三角形都是類(lèi)勾股三角形”是(填“真”或“假”)命題.

(2)如圖1所示，若等腰三角形ABC是“類(lèi)勾股三角形"，AB=BC,AC>AB,請(qǐng)求N

A的度數(shù).

(3)如圖2所示，在△ABC中，且/O/A,求證：△A2C為“類(lèi)勾股

三角形”.志明同學(xué)想到可以在上找一點(diǎn)。使得AO=C￡>,再作CEL8。，請(qǐng)你幫助

志明完成證明過(guò)程.

（圖1）（圖2）

9.我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度.

如圖1,在△ABC中，AB=AC,旭的值為△ABC的正度.

BC

已知：在△ABC中，AB=AC,若。是△ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)(Z)與A,B,C不重合).

(1)若NA=90°,則AABC的正度為；

(2)在圖1,當(dāng)點(diǎn)。在腰A8上(。與A、8不重合)時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作出等腰△AC。，

保留作圖痕跡；若△AC。的正度是亞，求NA的度數(shù).

2

(3)若NA是鈍角，如圖2,△ABC的正度為反，八旬。的周長(zhǎng)為22,是否存在點(diǎn)0,

5

使△ACD具有正度？若存在，求出△AC。的正度；若不存在，說(shuō)明理由.

AA

/\

BCBC

圖1圖2

10.定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”.

(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有(只填寫(xiě)序號(hào)).

①頂角是30°的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一個(gè)角是30°的直角三角形.

(2)如圖1,在AABC中，AB=AC,N54C290°,將△ABC沿邊AB所在的直線翻折

180°得到△42,延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E,連接BE.

①若BC=BE,求證：△ABE是“倍角三角形”；

②點(diǎn)尸在線段AE上，連接8P.若/C=30°,3P分△A8E所得的兩三角形中，一個(gè)是

等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出NE的度數(shù).

11.定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱(chēng)這個(gè)圖形是自相似圖形.

探究：

(1)如圖甲，已知△ABC中NC=90°,你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直

角三角形嗎？若能，請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫(huà)出分割線，并說(shuō)明理由.

(2)一般地，''任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點(diǎn)，則可將原

三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形.我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊

中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱(chēng)為1階分割（如圖1）;把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次

連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱(chēng)為2階分割（如圖2）…依次規(guī)則操作下去.”階分

割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（w為正整數(shù)），設(shè)此時(shí)小三角形的面積為SN.

①若ADEF的面積為10000,當(dāng)n為何值時(shí)，2<S”<3?（請(qǐng)用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求

至少寫(xiě)出三次的嘗試估算過(guò)程）

②當(dāng)”>1時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)反映5；〃,S〃+i之間關(guān)系的等式.（不必證明）

DD

/0\

EFEFEFEF

圖乙圖1（1階）圖2（2階）圖3（3階）

K圖甲

12.定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所

對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”.如圖1,AABC中，點(diǎn)。是

BC邊上一點(diǎn)，連接4。，若4￡>2=B￡）.cr?,則稱(chēng)點(diǎn)。是△ABC中BC邊上的“好點(diǎn)”.

（1）如圖2,△A8C的頂點(diǎn)是4X3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫(huà)出（或在圖中直接描

出）邊上的所有“好點(diǎn)”點(diǎn)D；

（2）△ABC中，BC=1,tanB=3,tanC=l,點(diǎn)。是BC邊上的“好點(diǎn)”，求線段8。

4

的長(zhǎng)；

（3）如圖3,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連結(jié)CH并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)

D.若點(diǎn)X是△BCD中CO邊上的“好點(diǎn)”.

①求證：0H_LA2；

②若OH〃BD,。。的半徑為r,且r=308,求型的值.

DH

13.定義1：如圖1,若點(diǎn)H在直線/上，在/的同側(cè)有兩條以H為端點(diǎn)的線段M”、NH,

滿(mǎn)足/1=/2,則稱(chēng)和NH關(guān)于直線/滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”；

定義2：如圖2,在△ABC中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)尸、Q、R分別在8C,AC、AB±.,若

RP和QP關(guān)于BC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)

于AB滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱(chēng)△PQR為L(zhǎng)ABC的光線三角形.

閱讀以上定義，并探究問(wèn)題：

在△ABC中，乙4=30°,AB=AC,△￡>￡尸三個(gè)頂點(diǎn)￡）、E、尸分別在2C、AC,AB±.

（1）如圖3,若FE〃BC,DE和FE關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，求NEDC的度數(shù)；

（2）如圖4,在△ABC中，作于尸，以A8為直徑的圓分別交AC,BC于點(diǎn)E,

D.

①證明：為△ABC的光線三角形；

②證明：AABC的光線三角形是唯一的.

A

A

14.新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”.

(1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”,AB=AC,寫(xiě)出NBA。，

NA4C和NA4E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)如圖②，△ABC和△&￡>￡互為“兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,點(diǎn)。、點(diǎn)E均

在△ABC外，連接8。、CE交于點(diǎn)連接AM,求證：AM■平分

(3)如圖③，若AB=AC,ZBAC=ZA￡)C=60°,試探究NB和NC的數(shù)量關(guān)系，并

說(shuō)明理由.

圖①

圖②圖③

15.我們定義：三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，那么稱(chēng)這個(gè)三角形是2倍角三

角形.

（1）定義應(yīng)用

如果一個(gè)等腰三角形是2倍角三角形，則其底角的度數(shù)為；

（2）性質(zhì)探索

小思同學(xué)通過(guò)從“特殊到一般”的過(guò)程，對(duì)2倍角三角形進(jìn)行研究，得出結(jié)論：

如圖1,在△ABC中，如果那么BC2=ACCAB+AC）.

下面是小思同學(xué)對(duì)其中一種特殊情形的證明方法.

已知：如圖2,在△ABC中，ZA=90°,ZB=45°.

求證：BC2=AC（AB+AC）.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有任意三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條

邊的一半時(shí)，稱(chēng)這個(gè)三角形叫“和諧三角形"，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長(zhǎng)度叫

“和諧距離”.

(.1)已知A(2,0),B(0,4),C(1,2),D(4,1),這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn)。組成“和

諧三角形”的點(diǎn)是，“和諧距離”是；

(2)連接8。，點(diǎn)N是8。上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)N不重合)，點(diǎn)E是平面內(nèi)任意

一點(diǎn)，△EMN是以跖V為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)f的取值范圍；

(3)已知。。的半徑為2,點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，直線y=w+b與無(wú)軸、y軸分別交

于點(diǎn)X、G,點(diǎn)。是線段HG上一點(diǎn)，若存在△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”

是2,直接寫(xiě)出6的取值范圍.

17.定義：若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段能把該三角形分成一個(gè)等腰三角形和

一個(gè)直角三角形，我們稱(chēng)這條線段為該三角形的智慧線，這個(gè)三角形叫做智慧三角形.

(1)如圖1,在智慧三角形ABC中，ADLBC,為該三角形的智慧線，CD=1,AC

=遙，則2。長(zhǎng)為,48的度數(shù)為.

(2)如圖2,△A3C為等腰直角三角形，ZBAC=90°,尸是斜邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

連結(jié)AF,以為直角邊作等腰直角三角形AFE(點(diǎn)A,F,E按順時(shí)針排列)，ZEAF

=90°,AE交BC于點(diǎn)、力,連結(jié)EC,EB.當(dāng)時(shí)，求證：EDMAEBC

的智慧線.

(3)如圖3,2XABC中，AB=AC=5,BC=4、而.若△BCD是智慧三角形，且AC為

智慧線，求△8C。的面積.

AA

D

圖1

18.定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”.

性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等.

理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACZ）和是“友好三

角形”，并且SAACD=SABCD.

應(yīng)用：如圖②，在矩形A8CD中，A8=4,8c=6,點(diǎn)E在4。上，點(diǎn)尸在8c上，AE

=BF,A尸與BE交于點(diǎn)O.

（1）求證：ZkAOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）連接。。，若△AOE和是“友好三角形”，求四邊形C。。尸的面積.

探究：在△ABC中，NA=30°,A8=8,點(diǎn)。在線段AB上，連接CD,△ACD和△BCD

是“友好三角形”，將△AC。沿CD所在直線翻折，得到CD,若CD與AABC

重合部分的面積等于△ABC面積的工，求出△ABC的面積.

圖①圖②

19.定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角a,p滿(mǎn)足a+20=9O°,那我們稱(chēng)這個(gè)三角形為

“近直角三角形”.

（1）若△ABC是“近直角三角形"，ZB>90°,NC=50°,則NA=°；

（2）如圖1,在RtZxABC中，ZJBAC=90°,AB=3,AC=4.若8。是/ABC的平分

線，

①求證：△BOC是“近直角三角形”；

②在邊AC上是否存在點(diǎn)￡（異于點(diǎn)。），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，

請(qǐng)求出CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖2,在RtaABC中，ZBAC=90°，點(diǎn)。為AC邊上一點(diǎn)，以3。為直徑的圓

交8c于點(diǎn)E,連結(jié)AE交8。于點(diǎn)R若△BC。為“近直角三角形”，且AB=5,AF=3,

求的長(zhǎng).

圖1圖2

20.愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩

條中線互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”.如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM,BN

是ABC的中線，AML3N于點(diǎn)尸，像A5C這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)3C=〃，

AC=b,AB=c.

【特例探究】

(1)如圖1,當(dāng)NE4B=45°,。=如歷時(shí)，a=,b=；如圖2,當(dāng)NP4B

=30°,c=2時(shí)，a2+b2=；

【歸納證明】

(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想/、射、°2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，

并利用圖3證明你的結(jié)論.

【拓展證明】

(3)如圖4,在EL4BC。中，E、尸分別是A。、BC的三等分點(diǎn)，MAD=3AE,BC=3BF,

連接AF、BE、CE,且3E_LCE于E,Ab與BE相交點(diǎn)G,AD=3岳,AB=3,求AF

21.定義：若△ABC中，其中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的一半，則稱(chēng)△ABC為“半角三角形”.

(1)若Rt^ABC為半角三角形，ZA=90°,則其余兩個(gè)角的度數(shù)為.

(2)如圖1,在回ABC。中，NC=72°,點(diǎn)E在邊CD上，以BE為折痕，將△8CE向

上翻折，點(diǎn)E恰好落在邊上的點(diǎn)R若2廠，A。，求證：△￡￡)尸為半角三角形；

(3)如圖2,以△ABC的邊A3為直徑畫(huà)圓，與邊AC交于與邊BC交于N,已知△

ABC的面積是面積的4倍.

①求證：ZC—6Q°.

②若△ABC是半角三角形，直接寫(xiě)出的度數(shù).

圖1圖2

22.定義：若兩個(gè)三角形有一對(duì)公共邊，且另有一組對(duì)應(yīng)邊和一對(duì)對(duì)應(yīng)角分別對(duì)應(yīng)相等，那

么這兩個(gè)三角形稱(chēng)為鄰等三角形.

例如：如圖1,△ABC中，AD=AD,AB^AC,NB=NC,則△42。與△AC。是鄰等

三角形.

(1)如圖2,O。中，點(diǎn)。是黃的中點(diǎn)，那么請(qǐng)判斷△42。與△AC。是否為鄰等三角

形，并說(shuō)明理由.

(2)如圖3,以點(diǎn)4(2,2)為圓心，OA為半徑的。A交了軸于點(diǎn)8(4,0),AOBC

是OA的內(nèi)接三角形，ZCOB=30°.

①求/C的度數(shù)和OC的長(zhǎng)；

②點(diǎn)尸在OA上，若△OCP與△OBC是鄰等三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

23.定義：在△ABC中，若有兩條中線互相垂直，則稱(chēng)△A2C為中垂三角形，并且把

+以2叫做△MC的方周長(zhǎng)，記作Lgp￡=AB2+BC2+CA2.

(1)如圖1,已知△ABC是中垂三角形，BD,AE分別是AC,8C邊上的中線，若AC

=BC,求證：△AOB是等腰直角三角形；

(2)如圖2,在中垂三角形ABC中，AE,8。分別是邊BC,AC上的中線，且AE_LB。

于點(diǎn)。，試探究△ABC的方周長(zhǎng)L與4爐之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,已知拋物線y=j-ax2」ax-2a與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交

164

于點(diǎn)B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與該拋物線相交于點(diǎn)C,與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)且BD=CD,

連接AC交y軸于點(diǎn)E.

①求證：△ABC是中垂三角形；

②若△ABC為直角三角形，求△ABC的方周長(zhǎng)L的值.

例題精講

【例1】.通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比

值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類(lèi)似的，可以在等腰三角形

中建立邊角之間的聯(lián)系.定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如

圖，在△ABC中，AB^AC,頂角A的正對(duì)記作s以/A,這時(shí)生.容易知

腰AB

道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下

歹(J問(wèn)題:

(1)sad60°=1；

(2)對(duì)于0°<A<180°,NA的正對(duì)值sadA的取值范圍是0<s〃dAV2；

(3)如圖，已知cosA=^,其中乙4為銳角，試求sadA的值.

5

解：(1)根據(jù)正對(duì)定義，

當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°,

則三角形為等邊三角形，

則sad60°=—=1.

1

故答案為：1.

(2)當(dāng)NA接近0°時(shí)，sadA接近0,

當(dāng)/A接近180。時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2.

于是sadA的取值范圍是OVs4dA<2.

故答案為OVs以/AV2.

(3)如圖，過(guò)5作3O_LAC于D

在RtZ\AB￡）中，cosA=包.=段.

AB5

設(shè)4。=4公AB=5k,則80=3%,

.\DC=5k-4k=k.

在RtZ\BDC中，2。=心口202=百54,

【變17].定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“倍

角三角形”.若△ABC是“倍角三角形"，NA=90°,BC=4,則AABC的面積為4

或2y.

解：「△ABC是“倍角三角形”，

分四種情況：

當(dāng)/A=2/B=90°時(shí)，

.\ZB=45O,

/.AABC是等腰直角三角形，

VBC=4,

AB=AC=尊=￡=2五，

V2V2

AABC的面積=AAB-AC=-1X2V2X2V2=4；

22

當(dāng)NA=2NC=90°時(shí)，同理可得：/XABC的面積為4；

當(dāng)/B=2/C時(shí)，

VZA=90°,

.\ZB+ZC=90°,

VZB=2ZC,

AZC=30°,ZB=60°,

VBC=4,

.?.AB=ABC=2,AC=?AB=2我，

△ABC的面積=AAB?AC=Jx2><2百=2?；

當(dāng)NC=2NB時(shí)，

VZA=90°,

：.ZB+ZC=90°,

VZC=2ZB,

.\ZB=30°,ZC=60°,

"：BC=4,

：.AC=-^BC=2,AB=MAC=2M，

2

△ABC的面積=^AB'AC=AX2A/3X2=2M；

22

綜上所述：△ABC的面積為4或2?,

故答案為：4或2?.

【變1-2].定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與0滿(mǎn)足a+2B=100。，那么我們稱(chēng)這樣的三

角形為“奇妙三角形”.

(1)如圖1,△ABC中，ZACB=80°,平分NABC.

求證：△A3。為“奇妙三角形”

(2)若△ABC為“奇妙三角形"，且/C=80°.求證：△ABC是直角三角形；

(3)如圖2,ZXABC中，8。平分NABC,若△A3。為“奇妙三角形"，且NA=40°,

直接寫(xiě)出NC的度數(shù).

圖1圖2

(1)證明：：8。平分/ABC,

NABC=2NABD.

在△ABC中，VZACB=80°,

ZA+ZABC=180°-ZACB=180°-80°=100°,

即NA+2/ABr>=100°,

：.△ABD為“奇妙三角形

(2)證明：在△A8C中，VZC=80°,AZA+ZB=100°,

:△ABC為“奇妙三角形”，.\ZC+2ZB=100°或/C+2/A=100°,

.,.ZB=10°或/A=10°,

當(dāng)/B=10°時(shí)，ZA=90°,AABC是直角三角形.

當(dāng)/A=10°時(shí)，ZB=90°,ZiABC是直角三角形.

由此證得，△ABC是直角三角形.

(3)解：：2。平分NARC,

NABC=2NABD,

?：AABD為“奇妙三角形”，

AZA+2ZABD=100°或2/A+/ABO=100°,

①當(dāng)NA+2NABO=100°時(shí)，ZABD=(100°-40°)4-2=30°,

/.ZABC=2ZABD=60°,

AZC=80°；

②當(dāng)2NA+NABZ)=100°時(shí)，ZABD=100°-2ZA=20°,

AZABC=2ZABD=40°,

AZC=100°；

綜上得出：/C的度數(shù)為80°或100°.

【例21定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為60°,那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角

形”.

【理解概念】

(1)頂角為120°的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”.(填“是”或“不是”)

【鞏固新知】

(2)已知△ABC是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中NA=35°,ZC>90°.求的度數(shù).

【解決問(wèn)題】

(3)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=1+愿，點(diǎn)D在AC邊上，

若△BCD是“準(zhǔn)等邊三角形”，求BD的長(zhǎng).

解：(1)二?等腰三角形的頂角為120°,

等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)分別為30°,30°,

頂角為120°的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”；

(2):△ABC是“準(zhǔn)等邊三角形"，ZA=35°,ZC>90°,

；?分兩種情況：

當(dāng)/C-/A=60°時(shí)，

.\ZC=ZA+60°=95°,

.,.ZB=180°-ZC-ZA=50°；

當(dāng)/。-/2=60°時(shí)，

VZA=35°,

/.ZC+ZB=180°-ZA=145°,

；.2/B=85°,

AZB=42.5°；

綜上所述：NB的度數(shù)為50°或42.5°；

(3)VZACB=90°,ZA=30°,BC=1+E，

90°-ZA=60°,AB=2BC=2+2y[j,

'：ABCD是“準(zhǔn)等邊三角形”，

分兩種情況：

當(dāng)/C-NCB￡>=60°時(shí)，

：.ZCBD=ZC-60°=30°,

J.BD^ICD,

'：CD1+BC2=BD2,

：.CD2+(1+V3)2=(2CD)2,

解得：cr>=?+3或C￡>=-F+3(舍去),

33

:.BD=2CD=2a+6；

3

當(dāng)NBDC-NCBD=60°時(shí)，

過(guò)點(diǎn)。作DELAB,垂足為E,

VZC=90°,

：.ZBDC+ZCBD^90°,

.?.2ZBDC=150°,

：.ZBDC=15°,

：.ZABD=ZBDC-ZA=45°,

/.LBDE是等腰直角三角形，

：.BE=DE,BD=^2DE,

設(shè)DE=BE=x,

在RtZXADE中，NA=30°,

：.AE=yj3DE=y[3x,

\'BE+AE^AB,

x+"\j~^x=2.+2yj~3,

解得：x=2,

：?BE=DE=2,

:.BD=?DE=2瓜

[變2-1],新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”如圖所示，△

A3C中AF、BE是中線，且APLBE,垂足為P,像△ABC這樣的三角形稱(chēng)為“中垂三

角形"，如果/A8E=30°,AB=6,那么此時(shí)AC的長(zhǎng)為3夜.

C

：.ZAPB=ZAPE=90°,

在RtA4BP中，VZABP=30°,

.?.AP=JLAB=3,

2

BP=MAP=3M，

,：AF.BE是中線，

：.AE^CE,點(diǎn)P為4ABC的重心,

；.PE=LBP=373

2~T~

2-3A/7

在RtZXAPE中，AE=

2

：.AC=2AE=3-f7.

故答案為377.

c.

【變2-2】.【了解概念】

定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱(chēng)這個(gè)三角形

為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線.

【理解運(yùn)用】

(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,試判斷△ABC是否為半線三角形，

并說(shuō)明理由；

【拓展提升】

(2)如圖2,在△ABC中，AB=AC,。為的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接M8,

MC,若△ABC和均為半線三角形，且和KD分別為這兩個(gè)三角形8c邊的半

線，求NAMC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若反，AM=1,直接寫(xiě)出8W的長(zhǎng).

2

解：(1)AABC是半線三角形，理由如下:

取BC得中點(diǎn)連接線＞,

C.ADLBC,

'：AB=AC,ZBAC=12Q°,

.?.ZB=ZC=30°,

在RtZXAB。中，ZB=30°,

：.AD=—AB,

2

AABC是半線三角形.

(2)過(guò)點(diǎn)A作AAaAM交MC于點(diǎn)N,如圖,

;MD為△MBC的BC邊的半線，

；.MD=—BC=BD=CD,

2

ZDBM=ZDMB,ZDMC=ZDCM,

：.ZBMC=9Q°,

同理NBAC=90°,

又?：NMOB=/AOC,

：.ZMBA=ZMCA,

?.,/AMN=NBAC=90°,

NMAB=NNAC.

'：AB=AC,

：./\MAB^/\NAC(ASA),

：.AM=AN,

又：NM4V=90°,

/.ZAMC=ZANM^45°.

(3)由題意可知，BC=2MD=3,

由(2)知△M48名/XNAC(ASA),

：.MB=NC,AM=AN=1,

：.MN=42,

在RtzXMBC中，由勾股定理可得，MB2+MC1=BC2,

：.MB2+(近+MB)2=32,

解得，MB=2-叵(負(fù)值舍去).

2

故M2的值為2-亞.

2

實(shí)戰(zhàn)演練

1.當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角0是另外一個(gè)內(nèi)角a的/時(shí)，我們稱(chēng)此三角形為“友好三角形”，a

為友好角.如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為42°,那么這個(gè)“友好三角形”的

“友好角a”的度數(shù)為42°或84°或92°.

解：①42°角是a,則友好角度數(shù)為42°；

②42°角是0,則a=20=84°,

.?.友好角a=84°；

③42°角既不是a也不是仇

則a+0+42°=180°,

所以，a+—a+42°=180°,

2

解得a=92°,

綜上所述，友好角度數(shù)為42°或84°或92°.

故答案為：42°或84°或92°?

2.當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角0的兩倍時(shí)，我們稱(chēng)此三角形為“奇妙三角形”，

其中?稱(chēng)為“奇妙角”.如果一個(gè)“奇妙三角形”的一個(gè)內(nèi)角為60°,那么這個(gè)“奇妙

三角形”的另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為3三，90°或40°,80°.

解：由題意得：

①當(dāng)60°的角為“奇妙角”時(shí)，

有另一個(gè)角為30°,

第三個(gè)內(nèi)角為180°-60°-30°=90°；

②當(dāng)60°的角不是“奇妙角”時(shí)，設(shè)另兩個(gè)內(nèi)角分別為Nl,Z2,且N1=2N2,

有/1+/2+60。=180°,

BP2Z2+Z2=120°,

解得：N2=40°,

故/1=80°.

綜上所述：這個(gè)“奇妙三角形”的另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為30°,90°或40°,80°.

故答案為：30°,90°或40°,80°.

3.新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.根據(jù)準(zhǔn)外心的定

義，探究如下問(wèn)題：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,如果準(zhǔn)外心P

在邊上，那么PC的長(zhǎng)為4或1.

B,

解：在RtZXABC中，

VC=90°,AB=10,AC=6f

BC=VAB2-AC2=V102-62=8'

若尸連接RI,

設(shè)尸C=尤，貝I]24=尸3=8-尤，

在Rt△以C中，

VB42=CP2+AC2,

/.(8-x)2=X2+62,

即產(chǎn)。=工，

44

若PB=PC,貝！JPC=4,

若以=PC,由圖知，在Rt△朋C中，不可能,

故PC的長(zhǎng)為：4或工.

4

故答案是：4或1.

4.定義：銳角三角形三條高的垂足形成的三角形稱(chēng)為垂足三角形.在銳角三角形A8C的每

條邊上各取一點(diǎn)。，E,F,△。跖稱(chēng)為△ABC的內(nèi)接三角形.垂足三角形的性質(zhì)：在銳

角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，周長(zhǎng)最短的三角形是它的垂足三角形.已知，在4

ABC中，點(diǎn)、D,E,尸分別為A3,BC,AC上的動(dòng)點(diǎn)，AB=AC=5,BC=6,則△￡>￡1/

周長(zhǎng)的最小值為盤(pán).

—25―

解：'：AB=AC=5,BC=6,

：?BE=CE=3,

AA￡=VAB2-BE2=4,

'JCDLAB,BF±AC

：.DE=EF=^BC=3,

2

'：SAABC=~AC'BF=—BC'AE,

22

.?.2尸=建，

5

ACF=VBC2-BF2=^'

工，

5

AADF^AABC,

.AF=DF

"ACBC"

二.。尸二絲，

25

.?.△DEN的周長(zhǎng)的最小值=3+3+絲■=&■

2525

故答案為：理

5.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如圖①在△ABC中，AB

=AC,頂角A的正對(duì)記作附公，這時(shí)相以=粵?塔.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)

腰AB

角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題:

(1)sad60°=1.

(2)sad90°=_V2_.

(3)如圖②，已知sinA=旦，其中NA為銳角，試求saMl的值.

5

(2)W90°=&；

(3)設(shè)4B=5a,BC=3a,則AC=4a,

在AB上取AD=AC=4a,作￡>E_LAC于點(diǎn)E,如圖所示:

則￡)E=AO?sinA=44?3=_l^_AE=AO?cosA=4〃?里

55a55a

CE=4a--^-=—,

aaCD=7CE2+DE2=J2+(a)2a,

5a5a春)卷

：.sadA=^-^~^.

6.定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三

角形的三分線.

（1）如圖①，AABC是頂角為36。的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫(huà)出，判

斷與△班C是否相似：是（填“是”或“否”）；

（2）如圖②，△ABC中，AC=2,BC=3,NC=2/B,則△ABC的三分線的長(zhǎng)為工

一5

5

A

解：(1)是，

故答案為：是；

(2)如圖3所示，CD、4E就是所求的三分線.

B8-----------aA

圖33

設(shè)NB=a,則/￡)CB=/￡)CA=NEAC=a,NADE=NAED=2a,

此時(shí)△AECs/^J5￡>C,AACD^AABC,

設(shè)AE=A￡>=x,BD=CD=y,

'：△AECs^BDC,

.,.x：y=2：3,

"CDs△ABC,

A2：x=(%+y)：2,

(v.v=2-3

所以聯(lián)立得方程組I-y,,

2：x=(x+y)：2

x=4V10

解得，Q，

y^pflO

即三分線長(zhǎng)分別是2折和3W3.

55

故答案為：2國(guó)和旦J而.

55

7.概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱(chēng)這兩個(gè)三角形

互為”等角三角形”.

從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線

段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角開(kāi)中一個(gè)為等腰三角形，

另一個(gè)與原來(lái)三角形是“等角三角形”,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”.

理解概念：

(1)如圖1,在中，ZACB=90°,CD±AB,請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)“等角三角形”.

概念應(yīng)用：

(2)如圖2,在△ABC中，CZ)為角平分線，ZA=40°,ZB=60°.求證：CD為丁

ABC的等角分割線.

動(dòng)手操作：

(3)在△ABC中，若NA=50°,C￡)是△ABC的等角分割線，請(qǐng)求出所有可能的NACB

的度數(shù).

解：(1)/XABC與△AC。，△ABC與△BCD,△AC。與△BCD是“等角三角形”；

(2)在△ABC中，ZA=40°,ZB=60°

AZACB=180°-ZA-ZB=80°

為角平分線，

ZACD=ZDCB=^ZACB=40°,

2

：.ZACD=ZA,ZDCB=ZA,

:.CD=DA,

在△■D2C中，NDCB=40°,ZB=60°,

：.ZBDC=180°-ZDCB-ZB=80°,

/BDC=ZACB,

,:CD=DA,ZBDC=ZACB,ZDCB=ZA,ZB=ZB,

CD為AABC的等角分割線；

(3)當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖2,D4=DC時(shí)，ZACD=ZA=50°,

AZACB=ZBDC=500+50°=100°,

當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖3,D4=AC時(shí)，ZACD=ZADC=65°,ZBCD=ZA=

50°,

AZACB=500+65°=115°,

當(dāng)△ACO是等腰三角形，C