2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：存在性問(wèn)題的探究

第74講存在性問(wèn)題的探究

知識(shí)梳理

解決存在性問(wèn)題的技巧：

（1）特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過(guò)其中的特殊情況，解得所求要素的必

要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立.

（2）假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論.若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，

則不存在.

必考題型全歸納

題型一：存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值

例L（2024?甘肅天水?高二天水市第一中學(xué)校考期末）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在尤

軸上，橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為卜3,0）,離心率為e=f.

⑴求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（1,0）作直線/交E于P、。兩點(diǎn)，試問(wèn)：在無(wú)軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使

痔?皿為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【解析】⑴設(shè)橢圓E的方程為=+2=1（。>>>0）,

ab

a-c=6-lrJT

由已知得c72，解得：，

—c=1

[a2

所以。2=1.

所以橢圓E的方程為]+;/=l.

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)”（回0）,

設(shè)尸（4%）,Q（x2,y2）,

則旃=（玉-〃MQ=（X2-m,y2）,

=xx

MP-MQ=^xl—m）（^x2一根）+%%i2一m（石+9）+%之+，

①當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丁=左（1-1）,

y二女（九一1）

由V，得:（2左2+1）X2—4左2了+（242-2）=0,

——+V=1

I2

4廿2k2-2

X+X—z----，X,X-n-----

122公+112-21c+\

、甘

二=左2[-（玉+尤2）+玉龍2+1」=~9/~-，

乙K十1

（2m2-4m+l^k2+m2-2

;.MPMQ=

2k2+1

對(duì)于任意的左值，上式為定值,

故2加一4帆+1=2（療-2）,解得：機(jī)=：,

__?__?7

此時(shí)，為定值；

②當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，

直線Z：X=1J玉%2=1，再+々=2,必丁2=—W，

5—.___?s2517

由根=—,得MP.MQ=l_2x_+--------=――為定值，

4416216

綜合①②知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為

22

例2.（2024?山西大同?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓「+多=1（。>6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線

ab

V=4j§x的焦點(diǎn)尸重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與b構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的方程;

⑵若過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線/與橢圓交于不同兩點(diǎn)AQ,試問(wèn)在尤軸上是否存在定點(diǎn)E（m,0）,

使兩.爐恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）由題意知拋物線的焦點(diǎn)為歹（百,0）,

22

所以c=y/a-b=下>>

因?yàn)闄E圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形，

所以6==1,

3

可求得a=2.

故橢圓的方程為:+丁=1.

(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)灰m,0),

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為左，貝心的方程為V=?xT)，

由,工+了=1得(4/+1)》2_8%2彳+442_4=0,

y=k(x—I)

設(shè)尸(％,*),Q(W，%)，

的NAn8k24左2—4

所以A>0,玉+%2=4.「丁再々=必2+］，

則PE-2E=(m-^)(m-x2)+y1y2

=m2-m^Xy+%2)+毛%2+*%

28k2nl4左2—4,2/4左2—4Sk2八

4V+14k2+114/+14V+1)

(4m2-Sm+l^k2+(病_4)

-4V+1

—8帆+1)［42+；］+(m2—4)一；(4療-8m+lj

4V+1

2m』

；(4加之—8m+l)+_____4，

442+1

_.1717

要使k為定值，42m--=0,即m=1,

__33

此時(shí)而應(yīng)飛

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨取尸1，

由E(m，o],可得西=長(zhǎng)9

,QE

8

7

所以而京之一:嗯

綜上所述，存在點(diǎn)4],。],使而存為定值33

\o)64

例3.(2024?重慶渝北?高二重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校校考階段練習(xí))已知橢圓C的中心在坐標(biāo)

原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為五]，F(xiàn)2,短軸長(zhǎng)為2g.點(diǎn)。在橢圓C上，且滿

足的周長(zhǎng)為6.

（I）求橢圓C的方程；

（II）過(guò)點(diǎn)（T,0）的直線/與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)

使得祝?邁恒為定值？若存在，求出該點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2b=2上,

Q=4丫22

【解析】（I）?.?{2a+2c=6{所以橢圓的方程為L(zhǎng)+（=l

a2=b2+c243

（II）假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)M（天,。），設(shè)人（石,乂）,5優(yōu)，%），直線方程為尤=沖-1

則題5?礪=(玉—％,%>(工2-%,％)=(7孫-1-%,、)(陽(yáng)2-1-%，％)

22

=(m+l)y1y2-m(l+x0)(y1+y2)+(l+x0)

x=my-1/

聯(lián)立i+4y』2消去x得Gi/n2+4);/—6my—9=0

6m-9

——7—，y%=-；—

3m2+4-K23m2+4

如.痂=一（5+2相嗎+4）+11+胱4+小

3m2+403m2+4

11—.—.135

令11+8%=0即/=-可，MAMB=--^

當(dāng)軸時(shí)，令A(yù)（-2,0）,8（2,0）,知,\1,0）,仍有磁.初=一口

所以存在這樣的定點(diǎn)M-丁，。，使得肱4?延=-5；

V8J64

變式1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:』+}=1（。>6>0）的離心率為正，橢

ab2

圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)AT,坐.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（L0）作直線/交C于Af,N兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)尸，使

兩?所為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）由題意￡=走，a2^b2+c2,3+±=1，得"=24=1,所以橢圓C的

a2a22b2

方程為二+丁=1.

2

（2）當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)/:y=Z（x—l）,〃（4%）,N（%,%）,尸?,0）,則

聯(lián)立方程組：消去y得,(242+1)Y-4sx+2/—2=0.

x+—L

4k2Ik2-2

..X+=-Z-----,=——-----.

12*42k2+1122k2+1

■:PM-PZV=(xl-z,y1)-(x2-r,y2)=(^-r)(x2-r)+%%=(x1-r)(x,-r)+F(占-1)—1)

2222

=(公+1)%工2—(左+。(%+X2)+k+t=(/+l)||r^|一(左■+左2+產(chǎn)

左2(2產(chǎn)-4+1)+(產(chǎn)-2)

為定值.

2k2+1

:?亨羅],解得，?止匕時(shí)兩歷的值為4

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，/的方程為x=l,解得M1,與,2v|l,

5/51.(1亞、(1亞、7

又，=7，則p],0..??尸M?PN=---,此時(shí)也滿足條件.

綜上所述，在X軸上存在定點(diǎn)尸(5，0),使可否兩為定值.

22

變式2.(2024?遼寧錦州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知耳、工為雙曲線E:1-4=1(°>0*>0)的

ab

左、右焦點(diǎn)，E的離心率為為E上一點(diǎn)，且聞-|M劇=2.

(D求E的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，直線/與E交于異于M的48兩點(diǎn)，且點(diǎn)“在以線段AB為直徑的

圓上，過(guò)“作MCLAB,垂足為C,是否存在點(diǎn)D,使得|CE>|為定值？若存在，求出點(diǎn)

。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)因?yàn)殡p曲線的離心率為石，所以0=9=出，即,=耳，

a

又町-|西=2,所以2a=2,則a=l,所以c=中,

因?yàn)椤?02-/,所以°=77^7=J(逐了一儼=2,

2

故雙曲線E的方程為尤2一乙=1.

4

(2)因?yàn)镸點(diǎn)滿足|摩|—|5|=2>。，

2

所以點(diǎn)M在雙曲線％2-2L=l的左支上，又因?yàn)辄c(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，則”(T0),

設(shè)4（石,/）,5（工2，%）,當(dāng)A3的斜率存在時(shí)，設(shè)A5的方程為>=區(qū)+加，

2

122_/V_]

聯(lián)立方程彳-T-,整理得（4-嚴(yán)）/一2切a-QT?+4）=0,則4一/NO,

y=kx+m

2222

A=（-2切z）2_4（4-Zr）[-（/7i+4）]>0,BPm+4-k>0,

%1,藥+N=-二￥，因?yàn)镸在以線段A3為直徑的圓上，所以小，姐，

4-左24-k2

貝IJ癥.礪=0，又SS=a+Ly）,MB={x2+\,y1）,

則MA-MB=（石+1）（%2+1）+%%=&+D（%2+1）+（何+機(jī)）（辰2+㈤=0,

2

所以（左2+1）石工2+（km+1）（再+x2）+m+1=0,

BP（左2+1）（————y-）+（km+1）-+m2+1=0，整理得3m2+2km—5k2=0，

4-k4-k

即（相-幻（3相+5左）=0,解得根=左或根=—號(hào)，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足加+4-k2>o,

當(dāng)機(jī)=左時(shí)，直線A5的方程為丁=伙％+D,則直線A5過(guò)點(diǎn)M,不合題意，舍去；

當(dāng)相=一方時(shí)，直線A5的方程為〉=%（%-1）,則直線A5恒過(guò)定點(diǎn)。（;0）,符合題意.

當(dāng)A5的斜率不存在時(shí)，瓶=（玉+1,%）,礪=（西+1,—%）,

2c

瘋?麗=（%+1>-y；=0,又工；_e_=1,解得玉=-1（舍去）或與=§,

所以直線AB方程為x=|,則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)2（1,0）.

綜上，直線A3恒過(guò)定點(diǎn)。弓,0）.

因?yàn)镸CJ_AB,所以A/CQ是以MQ為斜邊的直角三角形，

即點(diǎn)C在以為直徑的圓上，則點(diǎn)。為該圓的圓心即斜邊MQ的中點(diǎn)，

5114

又”（TO）,e（-,0）,所以CD為該圓的半徑,即|C0=]|M2I=§,

14

故存在點(diǎn)使得為定值父

22

變式3.（2024?山西大同.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓^:左+方=1（〃>6>0）的離心率為

交，且直線是拋物線。2：/=?的一條切線.

2一

⑴求橢圓G的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)s］。，-；］的動(dòng)直線L交橢圓G于A，8兩點(diǎn)，試問(wèn)：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)

定點(diǎn)T,使得以A3為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T?若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【解析】（1）由12=以得》+（?—4）彳+廿=。

直線y=x+》是拋物線C2：y2=4尤的一條切線.所以A=0nb=l

e=±=顯na=正，所以橢圓C1：《+丁=1

a22

（2）

當(dāng)直線L與x軸平行時(shí)，以為直徑的圓方程為/+,+J=仁）

當(dāng)直線L與>軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓方程為x2+y2=l

所以兩圓的交點(diǎn)為點(diǎn)（0,1）猜想：所求的點(diǎn)T為點(diǎn)（0,1）.

證明如下.當(dāng)直線L與x軸垂直時(shí)，以A5為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（0,1）

當(dāng)直線L與X軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線L為：>=日-g

7112k

y=kx——X.+x=-----------

312?

,2得左丘設(shè)*々，％)貝卜18P+9

由，(182+9*-12-16=0,

-16

—+/=1

[2

則為?無(wú)=(%,%-1>5,%-1)=%迎+5-1)(為一1)=%々+(何一；一

E2T再+尤2)+^=(1+陰盛，-》迪1%+￡=0

所以玄，無(wú)，即以A3為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,1)

所以存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T.

22

變式4.(2024.江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:三+2=1(4>6>0)的左頂點(diǎn)為A,

ab

過(guò)右焦點(diǎn)F且平行于V軸的弦PQ=AF=3.

⑴求△APQ的內(nèi)心坐標(biāo)；

⑵是否存在定點(diǎn)D，使過(guò)點(diǎn)。的直線/交C于M,N,交PQ于點(diǎn)R,且滿足

MRND=MDRN^若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)a2=b2+c2,-----=a+c=3a=2,b=yf3,c=l

a

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為X+父=1,

43

不妨取尸則4尸=乎，尸尸=十

因?yàn)椤鰽P。中，AP=AQ,所以△AP。的內(nèi)心在x軸，設(shè)直線PT平分尸。，交x軸于

ATAPAT所以AT=*$-,則

T,則T為△"Q的內(nèi)心，且近而=石=二E

V5+1

734

(2)?.?橢圓和弦尸。均關(guān)于x軸上下對(duì)稱.若存在定點(diǎn)D,則點(diǎn)。必在x軸上.?.設(shè)。9。)

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，=a5?！?4%),刈々,%)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立

y=k(x-t)

d，

[43

消去y得(442+3)Y—8k2tx+4(k2t2-3)=0,

22

則△=48伊+3-kt）>0,X]+々,xtx2=噌；

^TrC十D4/C十DJ①

丁點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1,M、R、N、。均在直線/上，MRND=MDRN

一.（1+左2）（1_%）?_/）=（1+左2）?_西）（々—1）

/.2,一（1+0（玉+%）+2玉%-0「?2,一（1+0"’+2x—~~-------二0，整理得才=4,

4k+34k+3

因?yàn)辄c(diǎn)。在橢圓外，則直線/的斜率必存在.??.存在定點(diǎn)。（4,0）滿足題意

題型二：存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值

例4.（2024?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為。坐標(biāo)原點(diǎn),

A（2,0）,B（0,l）,C（0,-l）,D（2,l）,OE=WA,DF=ADA,0<2<1,CE和BF交點(diǎn)為P.

⑴求點(diǎn)尸的軌跡G；

⑵直線y=x+皿加W0）和曲線G交與M,N兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)。使左M/NO=；?

如果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,E（xE,yE）,F（xF,yF）,

■.■OE=WA，即（4,%）=4（2,0）,

點(diǎn)坐標(biāo)為（240）,

■,DF=ADA,即（x尸一2,力-1）=2（0,_1）,

.一點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1-4,

,根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可得，

直線CE方程為：y=^-x-1,

2Z

Q

直線8尸方程為：y=--x+l,

兩式移項(xiàng)相乘得：丁-

4

整理得上+9=1,

4

二P點(diǎn)的軌跡為以（石,0）,（-括,0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,

即其方程為G:'+y2=l.

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)G,

設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為5,%）,”（玉,外）,'（%,%）,

y=x+m

聯(lián)立方程組,/消>得5d+8mx+4/-4=0,

——+y=1

[4

直線與橢圓交于兩點(diǎn)，

A=64m2—80（機(jī)之一]）>。即一如"<m<有,

8m

J+Lg

4m2—4

「kMQkNQ=1，

...Wl'of"1

x0-x1x0-x24

（不一3）（%一w）=。，

,4(%f-m)(y0-x2-m)-(x0f)(「f)=0,

整理得:

2

4y；-4(x,+々+2m)為+4XJX2+4m(玉+x2)+4m+(%+/)/-^x2=0,

128

4y；一龍；一^^一《加（尤o+%）=。，對(duì)”?片。恒成立,

12

「.Xo+%=O,得4尤_/；_《=0,

_一2有

??x0=-%=±^-，

所以存在定點(diǎn)。，坐標(biāo)為

例5.（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)4（-2,0）,B（2,0）,

3

尸(x,y)是異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，%,L分別是直線AP,阱的斜率，且滿足加?％=-：.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程；

⑵在線段A3上是否存在定點(diǎn)E,使得過(guò)點(diǎn)E的直線交P的軌跡于M,N兩點(diǎn)，且對(duì)直線

x=4上任意一點(diǎn)Q,都有直線QM,QE,QV的斜率成等差數(shù)列.若存在，求出定點(diǎn)E,

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)由題意》?>="?'c=-I，即土+上~=1,

x-2x+2443

22

又直線AP,BP的斜率存在，所以點(diǎn)尸的軌跡方程為一+J=1(kO).

43

(2)若存在這樣的定點(diǎn)，不妨設(shè)為E(f,O),令Q(4,〃)，M(xv%),N(X2,%),

直線MN的方程為x=7犯+%

fx=my+t,c°

j3尤2+4y2=12(3w+4)，+6mfy+3r-12=0,

由韋達(dá)定理得：%+%=1?'"［，=A=36m2f2_z2_>o,

34+43m+44(3m+4)(3?12)

“kQM丁+0kQN~—Ok，

4_x,4_x74—t

對(duì)任意〃成立，所以■

由之+言=。得，

-4(%+%)+%(牝2+')+%(加乂+0="-4)(%+%)+2機(jī)身%=°，

所以(f-4)(-6fin)+2m(3r2-12)=0,

24〃?-24〃z=0對(duì)任意機(jī)成立，t-l,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意,

所以，存在為1，0)滿足題意.

22

例6.(2024.吉林?吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè))以雙曲線C:=-*=l(a>0,/7>0)的右焦點(diǎn)產(chǎn)

ab

為圓心作圓，與C的一條漸近線相切于點(diǎn)。

(1)求C的方程.

(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線/,當(dāng)/與C交于

兩點(diǎn)時(shí)，直線AF,3廠的斜率之和為定值？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)

明理由.

b

【解析】(1)雙曲線C的漸近線方程為>=±9心

a

圓/與直線工勺切于點(diǎn)嗚，竽‘所以代入得先冬

①

275

設(shè)尸(C,0)(C>0),直線尸。有斜率心°,則/小2=-1,即/-x2=-l,②

a?！?/p>

3

Xc2=a2+b2@

由①②③解得c=3,a=2,b=非,

22

所以雙曲線C的方程為土-匕=1.

45

(2)假設(shè)存在滿足條件的定點(diǎn)M&0),因?yàn)橹本€/不與坐標(biāo)軸垂直,

故設(shè)/的方程為X=7犯+《鄧7。),4(%,%),8(%2，％)?

x=my+t,

由dy2消去X整理得（5加—4）/+iom？+5產(chǎn)—20=0,

----------=1,

145

5m2一4w0,口

則即4-丁，（*）

A>0,

5/w2+12-4>0,

1Omt

5m2-4

且

51-20

%%=

5療一4

因?yàn)槭?3,0),所以直線AF,B尸的斜率為如=—三,臉=上小

-A-iD4,D

設(shè)3/+怎,=〃7為定值)，即9+上、=4,

Xj-3X2-5

即用(4一3)+%(%一3)=4(4—3)(馬一3),

即%（"以+（—3）+%（〃明+/-3）=2（〃明+/-3）（;佻+f-3）,

整理得（2機(jī)—急層）％%+（1-勿”）（1—3）（乂+%）—“I—3）~=0,

5?-201Omt

所以(2〃z-力叫x——-—---（--1-—2〃z）（f—3）x-加-3f=0,

5m2-45m2-4

所以;I（5/一30r+20）1+1o⑶_勺相=52（r-3>療-42（r-3）2.

因?yàn)?以為定值，且上式對(duì)任意〃z恒成立，

A(5r2-30f+20)=52(r-3)2,

所以10—0,

-4/1(/-3)2=0,

4

解得/=§"=o.

將r=:代入(*)式解得機(jī)＜-|或加且機(jī)力土半.

綜上，存在滿足條件的定點(diǎn)陪q

變式5.(2024.湖北荊州.高二荊州中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知圓C方程為

x2+y2-8/71X-(6m+2)j+6m+1=0(meR,m0),橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上.

(1)證明圓C恒過(guò)一定點(diǎn)并求此定點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)判斷直線4x+3y-3=。與圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)相=2時(shí)，圓C與橢圓的左準(zhǔn)線相切，且橢圓過(guò)(1)中的點(diǎn)M,求此時(shí)橢圓方

程；在無(wú)軸上是否存在兩定點(diǎn)A,8使得對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)。(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))，直線

QA,Q8的斜率之積為定值？若存在，求出A,B坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)圓C的方程可化為：(x2+/-2y+l)-〃z(8x+6y-6)=。，

X2+y2-2y+l=0x=0

,解得,所以圓。過(guò)定點(diǎn)MQI).

8x+6y—6=0?y=i

(2)圓。的方程可化為：(x—4m產(chǎn)+卜―(3根+1)『=25加2,

|4-4m+3-(3m+l)-3|251ml

圓心到直線/的距離為弓==51m|=r,

A/42+325

所以直線與圓c相切.

(3)當(dāng)m=2時(shí)，圓C方程為(x—8y+(y—7『=100,圓心為(8,7),半徑為10,

與直線x=(8-10),即x=-2相切，所以橢圓的左準(zhǔn)線為x=-2,

--=2〃=J2

又橢圓過(guò)點(diǎn)”(0,1),則6=1,所以c,解得，

,,Z?=l?

b-Li

所以橢圓方程為］+^=1.

在橢圓上任取一點(diǎn)Q(x,y)(yx。)，設(shè)定點(diǎn)A(s,o),B(r,0),

則G____4_1一萬(wàn)一,對(duì)xe(-血,0)恒成立,

QAQBx-sx-t(x-s)(x-1)

所以—/Y+1=kx2—k(s+t)x+kst對(duì)xG(—^2,怛成乂9

(11f,_1

k—__k——k——

222

所以,人(s+/)=0,故＜s=y[2或＜s=—0,

米/=1t=—yflt=V2

所以.一也0),8(也0)或者A(點(diǎn),0),B(-V2,o).

22

變式6.(2024.河北.高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知橢圓C：會(huì)+方=l(a>b>0)的左、右焦

點(diǎn)分別為耳，尸2,焦距為2,實(shí)軸長(zhǎng)為4.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)耳不與尤軸重合的直線/與橢圓C相交于E,D兩點(diǎn)，試問(wèn)在*軸上是否存在

一個(gè)點(diǎn)M,使得直線ME,MD的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)因?yàn)榻咕酁?,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,

即2c=2,2〃=4,

解得c=1,。=2,

所以。2=/一02=3,

22

所以橢圓C的方程為工+匕=1.

43

(2)由(1)知片(-1,0),設(shè)點(diǎn)石(不，一),D(X2,%)，0),

因?yàn)橹本€/不與x軸重合,

所以設(shè)直線/的方程為1=町-1,

x=ny—l

聯(lián)立1爐2,得(3〃2+4)J_6〃y-9=0,

——+—=1

143

所以/=(―+36(3*+4)>0,

6n9

所以X+%=3/+4'弘為一3"+4，

9n26n2,12n2-4

又占馬=("M-1)(〃％—1)=-"(M+%)+1=—i——+1=---；----

3/+43/+43n2+4

/、c6獷58

%)-2=訴-2=_「

直線ME,MD的斜率分別為與°=」^,

xx-mx2-m

所以乙E.kMD=」——工=--中--=------"2

%-jnx2-m-m)(x2-m)yxy2-m{xx4-x2)+m

-9

3"+4

12n2-4,-8.-12n2+4+8m+3m2n2+4m2

——-------—--------)+m2

3/+43/+4

___________9________

--（3m2-12＞2+4（m+l）2，

要使得直線ME，MD的斜率之積恒為定值，直線3蘇-12=0,解得機(jī)=±2,

991

當(dāng)租=2時(shí)，存在點(diǎn)M2,。），使得討％=-（3/_]2）/+4（m+l）L-,

99

當(dāng)機(jī)=一2時(shí)，存在點(diǎn)M（-2,0），使得kME-kMD=-（3加_12）/+4（機(jī)+1）：=一"

綜上，在x軸上存在點(diǎn)M,使得ME,MD的斜率之積恒為定值，

當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0）時(shí)，直線ME,MD的斜率之積為定值-!，

4

9

當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2,0）時(shí)，直線ME,MD的斜率之積為定值-一.

4

變式7.（2024?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）己知橢圓

C:^+方=1（。＞6＞0）的離心率為（，及、入分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，尸是橢圓上一

點(diǎn)，且△尸片耳的周長(zhǎng)是6.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)入且與C交于不同的兩點(diǎn)N,試問(wèn)：在x軸上是否

存在點(diǎn)。，使得直線。用與直線。N的斜率的和為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）由橢圓的定義知△尸月瓦的周長(zhǎng)為2a+2。，所以2〃+2c=6,

221

又因?yàn)闄E圓C：W+方=1（。＞匕＞0）的離心率e=（=5,

所以〃=2c,聯(lián)立解得a=2,c=l,

所以Z?=yja2—c2=y/3，

22

所求橢圓方程為±+±=1.

43

（2）若存在滿足條件的點(diǎn)Q&O）.

22

當(dāng)直線/的斜率上存在時(shí)，設(shè)y=Mx—1），聯(lián)立?+（=：1,

1肖y得（3+4左2）*2—8左?x+442—12=0.

設(shè)N（%,%），則XI+X2=￡^,%々=

,,，-M%-（國(guó)一1）5一（+4（凡一1）（國(guó)一（

?QMQNx「t（石一/）（%2-。

8/一248-2（1+。

2點(diǎn)］入2—%（1+，）（再+/）+2kk3+4左23+4k2+'

玉X2—%（玉+工2）+/442—128左22

3+4-2-3+4—2

8左2—24—8公（1+/）+2（3+4左2）64?—4）

4左2-12-8公,+/（3+4左2）4（f-l）*2^*42+3（r-4））

，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)3為定值，則只有1=4,止匕時(shí)，kQM+kQN=0.

當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，若f=4,也有％M+%N=0.

故在x軸上存在點(diǎn)。（4,0）,使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值0.

變式8.（2。24.全國(guó).高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓4+*96＞。）的離心率是當(dāng),過(guò)點(diǎn)

P（0,l）的動(dòng)直線L于橢圓相交于A3兩點(diǎn)，當(dāng)直線L平行于x軸時(shí)，直線L被橢圓C截得

弦長(zhǎng)為2后.

（I）求E的方程；

（II）在y上是否存在與點(diǎn)尸不同的定點(diǎn)Q,使得直線AQ和BQ的傾斜角互補(bǔ)？若存在,

求。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】（I）由已知可得，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（士"1）

21

/+記1

因此，＜f=T‘解得"2,應(yīng)，

a2=b2+c2

22

所以橢圓E方程為土+匕=1;

42

（II）設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為（。，%）,

當(dāng)直線L與無(wú)軸垂直時(shí)，直線QA與QB的傾斜角均為90。，滿足題意,

此時(shí)%?R,且%*1;

當(dāng)直線力的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線L的方程為、=履+1,人（和％），

y=kx+\

聯(lián)立＜x2y2，得（1+2左之卜2+46_2=0,

丁工一

其判別式△＞（）,

4廿2

:'X'+X2=~^iie,V2=-i72F,

???直線QAQ8的傾斜角互補(bǔ)，

AQA+kQB=0,

?%一%?%f=o,

xix2，

區(qū)1+1一篇優(yōu)一%C

即—-----+———=0,

X]x2

整理得2kxlx2+（1—%乂%+%2）=。，

把藥代入得2）=0,

L十乙KAI/長(zhǎng)

所以為=2,即。（0,2）,

綜上所述存在與點(diǎn)尸不同的定點(diǎn)。（。，2）滿足題意.

題型三：存在點(diǎn)使兩角度相等

例7.（2024?新疆阿勒泰.統(tǒng)考三模）已知橢圓G：二+寸=1（。＞1）的左右焦點(diǎn)分別為

a-

耳F2,A,3分別為橢圓G的上，下頂點(diǎn)，工到直線A耳的距離為

⑴求橢圓G的方程；

⑵直線X=X。與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)C,。，直線ACA￡＞分別交X軸于尸，。兩點(diǎn).問(wèn)：y

軸上是否存在點(diǎn)R,使得NORP+NORQ=]?若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【解析】（1）△4￡巴中由面積公式得出=6.2c,

即屆=24'/—1,得片=4,

橢圓方程為2—Fy2=1；

4-

（2）如圖，

假設(shè)存在點(diǎn)R使得NORP+NORQ=W，設(shè)尺（。,加）,

IT

???ZORP+ZORQ=ZORQ=/OPR,即tanNOHQ=tanZOPR,

?.O潑Q=市OR，即IOR『9=|.o刊NOQ,|,

直線x=x°與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)c。，易知C，。關(guān)于尤對(duì)稱，

設(shè)C（5，％），則。（玄，一%）（%H±l，為H°），

由（1）知4（0.1）,直線AC的方程是y=翌二、+1,令y=0得辱=一』7

xo%—1

,y+1x

直線AD方程n是+令尸0得天=—n,

-%%+1

_片

由|OR『=|O制O0,得病

又C?,%）在橢圓上,所以學(xué)+￥=1,即手=1",

/.m2*4=4,即加=±2.

所以存在點(diǎn)尺（0,±2）,使得NORP+NORQ=］成立.

22

例8.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：A+2=1（°>10）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2,0）且兩個(gè)

焦點(diǎn)及短軸兩頂點(diǎn)圍成四邊形的面積為4.

（1）求橢圓C的方程和離心率；

（2）設(shè)尸，Q為橢圓c上不同的兩個(gè)點(diǎn)，直線9與y軸交于點(diǎn)E,直線AQ與y軸交于點(diǎn)

F,且尸、0、。三點(diǎn)共線.其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).問(wèn)：X軸上是否存在點(diǎn)“，使得

ZAME=NEFM?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】（1）依題意可得。=2,92cx26=4,又°2="一/，解得6=c=0，

所以橢圓方程為工+片=1,則離心率6=￡=包

42a2

（2）因?yàn)镻、0、。三點(diǎn)共線，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知尸、。關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱,

設(shè)點(diǎn)P（%,%）,則Q（—4-另乂石w±2）,

所以直線24的方程為>={7（%+2）,直線A。的方程為了=二^（%+2）,

石+Z—玉+Z

假設(shè)存在M使Z4ME=NE?,ZMOE=ZFOM=90°,

所以NOMF=NOEM,XZOEM+AOME=90°,所以/OME+/OMF=90。,

即ME_LMF,所以砒.礪=0，

設(shè)貝1］礪=,礪二「見(jiàn)一，

所以班?赤=相2+(-2M即21T=0,

(—%+2)(玉+2)4—石

又手+?=1,所以x：+2y：=4,所以1一2=。，解得加=±0,

所以M（土形,0）.

例9.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A是圓C:（x-l）2+y2=i6上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)

F（-l,0）,線段AF的垂直平分線交AC于點(diǎn)P.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)G（3,0）且斜率不為。的直線/交（1）中軌跡E于/、N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

點(diǎn)8（2,0）.問(wèn)：龍軸上是否存在定點(diǎn)T,使得NMTO=NN7B恒成立.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T

的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）由圓C:（X—1）2+V=16,可得圓心坐標(biāo)為C（l,0）,半徑7=4,

如圖所示，線段轉(zhuǎn)的垂直平分線交AC于點(diǎn)P,

所以|「目+|PC|=|剛+|尸。=4＞怛。=2,

根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)尸的軌跡是以尸,C為焦點(diǎn)的橢圓，且2“=4,2c=