2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.預(yù)計2025年高考，平面向量數(shù)

2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.量積的概念及運算，與長度、

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.夾角、平行、垂直有關(guān)的問題

4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個以及平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)

平面向量的垂直關(guān)系.用仍是考查的熱點，會以選擇

5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.題或填空題的形式出現(xiàn).

必備知識——強基礎(chǔ)

知識梳理

1.向量的夾角

已知兩個非零向量a,b,0是平面上的任意一點，作況=a,彷="則畫/AOB=e（OW9Wn）

叫做向量。與分的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量。與從它們的夾角為仇我們把數(shù)量畫回地型殳叫做向量a與5的數(shù)量

積（或內(nèi)積），記作歷1］辿，即|04|a.b=|a|0|cos。.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

ibJ

c.iiA,b

設(shè)a,》是兩個非零向量，它們的夾角是ae是與》方向相同的單位向量，靠=a,E=b,

過油的起點A和終點2,分別作亂所在直線的垂線，垂足分別為4,Bi,得到洛宓，我們

稱上述變換為向量a向向量b畫投影，癡叫做向量a在向量b上的國投影向量,記為

\a\cos0e.

4.向量數(shù)量積的運算律

(1)。?方=叵可紅.

(2)(%)仍=畫旭囪=畫絲回.

(3)(。+b)-c=11。|ac+bc.

提醒：(1)平面向量的數(shù)量積不滿足乘法結(jié)合律，即加("c)(這是由于(〃6)。表示一個與c

共線的向量，a("c)表示一^個與Q共線的向量，而c與〃不一^定共線).

(2)平面向量的數(shù)量積不滿足乘法消去律，即0仍=Q?C4>>=c(如圖，向量方和c在向量a方向

上的投影向量相等，此時〃力=℃,但厚c,由a?方=℃,可推出a_LS-c)).

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(xi，yD，)=。2，？)，。與萬的夾角為夕

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a6=|a||8|cos。ab=\H|xiX2+yiV2

模\u\=7\a\=yjxl+y，i

八ab八陽」2+y1-2

夾角COS”一I|i>I

同向C°Syjxi+yi^x^+yl

aLb的充要條件ab=0叵］陽理+丫1'2=°

|a創(chuàng)W|a|步|(當(dāng)且僅當(dāng)a//\XlX2~\~

|a旬與同臼的關(guān)系

b時等號成立)乃以其勺(才+y彳)(於十鳧)

常用

1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

(l)(a+by(a—b)=a2—b2.

(2)(a±Z>)2=a2±2ab+b2.

2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論

已知向量”，b,

(1)若。與方的夾角為銳角，則〃?於0；若。0>0,則Q與)的夾角為銳角或0；

(2)若a與》的夾角為鈍角，則“3<0；若0*0,則a與》的夾角為鈍角或兀.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打r”，錯誤的打“X”)

7T

⑴兩個向量的夾角的范圍是)

⑵若歷>0,則a與占的夾角為銳角.()

(3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的結(jié)果是向量.()

答案(l)x(2)x(3)4

2.小題熱身

(1)已知a=(3,4),b=(5,12),則a與分夾角的余弦值為()

63I—

A-65B.癰

C.華D.V13

答案A

解析='32+42=5,|臼=方可運=13.a6=3x5+4xl2=63.設(shè)a與b的夾角為0,則cos。

(2)(人教A必修第二冊6.2練習(xí)T3改編)若〃仍=-6,⑷=8,與。方向相同的單位向量為e,

則向量b在向量a上的投影向量為.

3

答案一并

解析向量b在向量。上的投影向量為需e=一弓e.

(3)(人教B必修第三冊8.1.2例2改編)已知⑷=2,網(wǎng)=1,且|.一2加=2,則〈a"〉=.

答案60°

解析|±||a-2Z>|2=(a—2Z?)2=a2+462—4a-6=4,得ab—1,即⑷步|cos〈a,b)=1,貝(Icos

(a,b)=；,故〈a,b)=60°.

(4)(人教A必修第二冊習(xí)題6.2T24改編)在。C中，弦A8的長度為4,則力?祀=.

答案8

解析取A2的中點M,連接CM,貝!|CM_LA8,初=短，所以防?祀=|勸||祀卜8$/54。

=|油曲=；|顯/=8.

c

考點探究——提素養(yǎng)

考點一平面向量數(shù)量積的運算

例1(1)(2024?江蘇淮安模擬)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙

上小正方形的邊長為1,則(a+方＞c=，ab=.

答案03

解析如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則。=(2,1),b=(2,-1),c=(0,

1),.?.a+b=(4,0),(a+ft)-c=4x0+0xl=0,〃?)=2x2+lx(—1)=3.

(2)在平面四邊形A8CO中，已知魂=虎，P為CD上一點,Cp=3Pt),|翁|=4,|晶)|=3,

2

池與冠)的夾角為仇且cos8=],則力?麗=.

答案一2

解析如圖所示，：磊=比，，四邊形ABC。為平行四邊形，-：Cp^3Ph,：.Ap=At)+Dp

=凝+疝，河=磋-介=海-疝,又函=4,|初=3,cos6=|,貝證顯=4x3x|=8,

x42+^x8—9=—2.

【通性通法】

計算平面向量數(shù)量積的主要方法

提醒：設(shè)a,A是非零向量，它們的夾角為仇則”在b上的投影向量為⑷cos嗡=(雷)

【鞏固遷移】

1.設(shè)向量=0),%=(0，1).若。=-2?1+7改，)=40+3?2，貝！J〃仍=,向量

a在向量b上的投影向量為.

解析因為向量ei=(L0),62=(0,1),所以—2ei+7e2=—2(1,0)+7(0,1)—(—2,

7),方=4d+3。2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3),所以〃仍=—2x4+7x3=13.由a=(—2,7),b

=

=(4,3)可得，\a\—<\/4+49—,\/53,\b\yj16+9—5,所以cos〈〃，b)=心仙?=y[^)x5'向量

a在向量入上的投影向量為|a|cos〈a,b)卷=黃5*[^^<&=最=偌，勤.

2.在邊長為2的正三角形ABC中，M是8C的中點，。是線段AM的中點.若應(yīng))=無就十

yBt,貝！|x+y=；屈腦=.

3

答案I1

解析■是BC的中點，，或=；就，是4M的中點，，前=；或+；就或+/就,

113

...尤=],y=1,.*.x+y=“；4A3C是邊長為2的正三角形,M是BC的中點，：.AM±BC,

且BM=L.?.動.威=|動||的cosNOBM=|戚|2=1.

考點二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(多考向探究)

考向1平面向量的模

例2(1)(2022?全國乙卷)已知向量a=(2,1),b=(—2,4),則|a—臼=()

A.2B.3

C.4D.5

答案D

解析因為a—b=(2,1)一(—2,4)=(4,—3),所以|a—bl=y/4?+(-3)：=5.故選D.

(2)(2023?新課標(biāo)II卷)已知向量a,》滿足|"一例=小，|"+加=|2。一"，則|臼=.

答案事

解析解法一：因為|a+臼=|2。一臼，即(a+力2=Qa—8)2,貝［層+2。0+粘=4，_4。仍+/,

整理得/一2”仍=0,又因為|.一6|二小，即(a—Z>)2=3,貝!|"一20/>+方2=戶=3,所以|臼二小.

解法二：設(shè)c=a—b,則期=/，a+b—c+2b,2a~b—2c+b,由題意可得，(c+2b)2—(2c

+Z>)2,則c?+4c0+4Z>2=4c2+4c0+及，整理得c2=M即也|=匕|=小.

【通性通法】

求平面向量的模的方法

—a2=a?a=la|2或

公式法--\a±b\=V(a±b)2=Va2±2a?b-\-b~

—若a=(%,y),則\aI=Vx2+y2

【鞏固遷移】

3.(2024.山東兗州階段考試汝口圖，在AABC中，M■為BC的中點，若A8=l,AC=3,屈與加

的夾角為60。，則|流尸

答案華

解析因為M為BC的中點，所以磁=3證+獨，所以兩|2,屈+就)2=*|硒+|花2

+2A^-Ab)=：x(l+9+2xlx3cos60。)=?,所以|晶|

考向2平面向量的夾角

例3(2022.新高考H卷)已知向量。=(3,4),b=(l,0),c=a+仍，若〈a,c〉=〈"c〉，

則t=()

A.-6B.-5

C.5D.6

答案C

解析c=(3+b4),cos〈〃，c〉=cos{b,c〉，即以考解得，=5.故選C.

【通性通法】

求平面向量的夾角的方法

??▽土]_利用cos〈a,b〉=備含求解，〈a”〉

定義法一\a?b\

e[0,n]_______________________

坐[法一利用cos〈a,6〉=小岑求解

-------竊+7彳出+y：

【鞏固遷移】

4.(2024.湖南岳陽階段考試)已知正方形ABCD點E在邊BC上，且滿足2彷=就，設(shè)向量

助與赤的夾角為仇則cos8=

答案-曙

解析解法一：因為2命=/，所以E為2C的中點.設(shè)正方形的邊長為2,則|油=巾，|筋

=5x22—2?=—2,所以cos。

AkBb-2

一|油說「小、2陋—10'

解法二：因為2時=病，所以E為8C的中點.設(shè)正方形的邊長為2,建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系的,則4(0,0),2(2,0),0(0,2),E(2,1),所以廢1=(2,1),炭)=(-2,2),

所以無方?方方=2x(-2)+lx2=-2,故cosO==-7=__rz=—W京.

|油|的753210

考向3平面向量的垂直

例4(1)(2024?福建福州開學(xué)考試)下列向量中，與(3,2)垂直的向量是()

A.(-4,6)B.(2,3)

C.(3,-2)D.(-3,2)

答案A

解析對于A,V(3,2)-(-4,6)=-12+12=0,AA符合題意；對于B,V(3,2).(2,3)

=6+6=12￥0,；.B不符合題意；對于C,：(3,2).(3,-2)=9—4=5加，；.C不符合題意；

對于D,；(3,2)-(-3,2)=-9+4=—5邦，，D不符合題意.

(2)已知向量協(xié)與6的夾角為120°,且|屈|=3,|&|=2.若#=派+泥，且#則實

數(shù)幾=?

套案—7

口木12

解析因為#_1_瓦，所以力?前=0.又#=；1顯+加，前=加一無友所以辦?周=(幾顯+

宿.(加一屈)=0,即(九一1)曲?初一/顯2+熏=0,所以q—i)|祀||雇|.cosi20。一川屈F+i就

|2=0,所以Q—l)x3x2x(一，-9/l+4=0,解得/1=卷.

【通性通法】

有關(guān)平面向量垂直的兩類題型

(1)利用坐標(biāo)運算證明或判斷兩個向量的垂直問題

第一》計算出這兩個向量的坐標(biāo)

根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，計算出

這兩個向量的數(shù)量積為0即可

(2)已知兩個向量的垂直關(guān)系求參數(shù)的值

根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù).

【鞏固遷移】

5.(2023?河南安陽模擬預(yù)測)在A48C中，點。在邊AC上，且位＞=3比，\BA\=A\BT\,若進)

_L(3求一前)，貝!]%=()

4

A.B.3

C.2D.1

答案B

3331

解析由題意知，炭）=或+疝=或+裨=或+彳（茂一族）=4而+嚴(yán)，則尻）.（3濕一成）

=?求1+，A）（3病一前）=翁承一72=0,即9阮『=|朗2,則|朗=3阮|,即4=3.故選

B.

考向4最值、范圍問題

TT

例5（1）已知ei,C2是兩個單位向量，且夾角為W，則縱+%2與?+。2的數(shù)量積的最小值為

（）

A-3B-近

A.2s6

C.|D.坐

答案A

711

解析由題意得，（3+%2>01+&）=謁+（於+1）3?改+好=，同+（戶+1）忸1|悶85可+￡忸2|=爹

1113

A+Zr+i，當(dāng)t=~2時，取得最小值，為2x4—4+]=—/.故選A.

（2）（2022?天津高考）在△A3C中，C^=a,烈=b,。是AC的中點，國=2就，試用a,b表

示仍為,若盤，仍，則NACB的最大值為

答案2b-2a6

31

解析Dk=ck—cb=-^b—~^a,Ah=ch—ck=b—a.

解法一：小必&—%）s—a）=0,3〃+/=4agcos/AC8=編

=羋，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=M§|例時取等號，WQ<ZACB<n,所以/AC8€（0,5.

解法二：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)|前1=1,A(x,y),則E(0,0),BQ,0),C(3,0),所以及：=

(一，一與)，Ai=(l-x,—y),屈_L^n^^(x—l)+5=0n(x+l)2+y2=4,所以點A

的軌跡是以M(—1,0)為圓心，r=2為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)CA與。M相切時，/ACS最大,

此時sinZACB=TTf~d=9,

【通性通法】

利用數(shù)量積求最值、范圍的方法

方法一用數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求最值

方法二利用向量三角不等式求最值

方法三利用向量數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化之后分析幾何圖形特征，利用數(shù)形結(jié)合求最值

【鞏固遷移】

6.已知點A,8在單位圓上，乙4。8=竽，若虎=2次+x彷(x€R),則西F的最小值是()

A.2B.3

C.5-2^2D.4

答案A

解析|Ot?|2=(2oA+xCZfe)2=4oA2+x2CZfe2+4.r|oA||CZfe|cos^=x2—2-\/2%+4=(%—-\/2)2+

222,因此|求F22.故選A.

7.已知顯_LAt,|磊|=:,|At|=f,re|'4.

若P是AABC所在平面內(nèi)一點，/=好+",則可?由的取值范圍是_______.

|AC|電|

「3~|

答案“13

解析由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得A(0,0),B(j-o\C(0,力，???#=當(dāng)

Th，尸(1,4),協(xié)=(:一1，-4),m=(一1,4),PiPt=

卜一=(0,4)+(1,0)=(1,4),

電I

Q-1)x(—1)+(—4)%(7—4)=-1+1—4/+16=-1-4f+17<-2^y14f+17=13,當(dāng)且僅當(dāng)

9時，等號成立，又當(dāng)仁(時，協(xié).此=12,當(dāng)k4時，兩京，所以殖用的取值范

「3

圍為13

課時作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固練

一、單項選擇題

1.(2023?新課標(biāo)I卷)已知向量。=(1,1),1=(1,-1),若(a+m)_L(a+〃3,則()

A.i+〃=lB.%+//=-1

C.A//=1D.Xjn——1

答案D

解析因為a=(l,1),b=(l,—1),所以〃+%方=(1+九1一2)，。+=(1+〃，1—//),由

(〃+肪)_!_(〃+〃力)可得，3+刃),(0+〃方)=0,即(1+2)(1+〃)+(1一2)(1—〃)=0,整理得

—1.故選D.

2.已知用分為非零向量，且S|a|=2向，\a+2b\=\2a~b\,則。與分夾角的余弦值為()

A近B近

A.8416

「逅D亞

j8616

答案B

解析將等式|。+2例=|2a—"兩邊平方，得8a?5+3y=3〃2,設(shè)。與b的夾角為仇即81aH例cos。

2、/5

+3|臼2=3⑷2,將⑷=3|臼代入81ali臼cos6+3l|2=3⑷2,得cos<9=^.故選B.

3.(2023?河北邯鄲模擬)已知小〃是兩個互相垂直的單位向量，則向量a—2方在向量力上的

投影向量為（）

A.bB.~2b

C.—于D.—b

答案B

解析因為a,b是兩個互相垂直的單位向量，所以ab=O,且|〃|=|例=1,所以（。一25）仍=〃?萬

—2/=?一2|肝=—2,所以向量a—2方在向量b上的投影向量為"C卷~2》故選

B.

4.（2023?湖北黃岡質(zhì)檢）圓內(nèi)接四邊形ABC。中，AO=2,CZ）=4,2。是圓的直徑，則At?前

=（）

A.12B.-12

C.20D.-20

答案B

解析如圖所示，由題知NBAD=NBCr>=90。，AO=2,CD=4,.?.祀.炭）=（疝+力?初=

??應(yīng)）+虎?動=|?||動卜cos/BZM一|成||成）「cos/BOC=|?產(chǎn)一|成產(chǎn)=4-16=—12.故選

B.

5.(2024?湖北荊州中學(xué)摸底)已知向量a=(〃z,2),5=(1,1),^\a+b\=\a\+y[2,則實數(shù)相

=()

A.2B.-2

C.1D.-；

答案A

解析因為Z>=(1,1),則向=乖，由已一知可得|。+例=同+|臼,等式|a+8|=|a|+l兩邊平方

2212

可得a+2a-b+b=a+2\a\\b\+bf則a-b—\a\\b\f故a與方同向,所以根=2.故選A.

6.(2023?全國甲卷)向量⑷=|5|=1,匕|=也，且a+8+c=0,則cos[a~c,b~c)=()

C.|

D-5

答案D

解析因為>+c=0,所以Q+Z>=—c,即〃2+辦2+2°仍=。2,即1+1+2〃仍=2,所以〃?方

=0.

如圖，設(shè)次="，Oh^b,Ot=c,由題意知，。4=。3=1,OC=小,△048是等腰直角三

角形，AB邊上的高。。=孚,AD=*,所以CD=CO+OD=取+啤=平,tanZACD=7n

1

=ycosZACD=Vwcos(a-c,b-c)=cosZACS=cos(2ZACD)=2cos2ZAC￡>—1=

2x(君J—1=*故選D-

7.(2024?湖南岳陽模擬)在一個邊長為2的等邊三角形ABC中，若點P是平面ABC內(nèi)的任意

一點，則成?記的最小值是()

A.一,B.一§

C.-1D.-3

答案C

解析

如圖，以AC的中點為原點，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則4—1,0),C(l,

0),設(shè)尸(x,y),則可=(-l—x,—y),pt=(l-x,—y),1+1

—1,當(dāng)且僅當(dāng)尸在原點時取等號.故可?瓦?的最小值是一1.故選C.

8.（2024?山東日照模擬）已知AABC是邊長為1的等邊三角形，D,E分別是邊42,8C的中

點，且初=3肆，則赤?命的值為（）

A」B工

A.]2]2

C.1D.-8

答案B

解析如圖所示，把AABC放在直角坐標(biāo)系中，由于AABC的邊長為1,故8（0,0）,C（l,

0）,。:，坐。分別是邊AB,OC的中點，,陪，坐）41，。），設(shè)F（x，y），Dk

=小留濟―），;心正,小解得1小

〔一生=3，，[y=-n'

一^），"=七'一^就=（1,0）,喬?瑟=盍.故選B.

二、多項選擇題

9.下列關(guān)于向量。，4c的運算，一定成立的是（）

A.（a+b）c=ac+bc

B.{abyc=a（b'C）

C.a-b^\a\\b\

D.|〃一回＜|。|+|例

答案ACD

解析根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；B中，左邊為c的共線向量，右邊為。的共線向量,

故B不正確；根據(jù)數(shù)量積的定義,可知〃仍=|〃||例cos（a,b}W|a||例，故C正確；|a「肝=|?！?/p>

+\b^~2a-b=|a|2+16|2—2|a||6|cos〈〃，b）|a|2+|ft|2+2\a\\b\=（\a\+\b\）2,故|a—b|W|a|+|臼,

故D正確.故選ACD.

（ab,當(dāng)〃，》不共線時,

10.定義一種向量運算“⑤”：a?b=\tWIw,4nl（"，b是任意兩個向量）.對于

同一平面內(nèi)的向量〃，b,c,e,下列結(jié)論中正確的是（）

A.a?b=b?a

B.2(〃硯)=Qi)⑥伙;I€R)

C.(a+b)?c=a?c+b?c

D.若e是單位向量，貝！J|a③e|W|a|+l

答案AD

解析當(dāng)a,b共線時，〃區(qū))=|0一"=|萬一°|=>藝〃，當(dāng)a,b不共線時，〃③5=〃-8="a=b?a,

故A正確；當(dāng)2=0,萬#)時，九(。區(qū)力)=。，(〃)⑥)=10—〃/),故B錯誤；當(dāng)a+b與c共線

時，則存在a,b與c不共線,(a+b)^c=\a+b—c\,a?c-\-b?c=ac-\~bc,顯然|a+'—c|加?<?

+bc,故C錯誤；當(dāng)e與a不共線時，|a/e|=|a,e|<|a||e|<|a|+L當(dāng)e與a共線時,設(shè)〃=〃c,

w€R,則⑷=|〃|,\a0e\=\a-e\=\ue-e\=\u-l\^\u\+l=\a\+lf故D正確.故選AD.

11.在△ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且尸。=1,則中?協(xié)

的取值可能為()

A.-5B.-4

C.0D.2

答案BCD

解析在△ABC中，AC=3,5C=4,ZC=90°,以C為坐標(biāo)原點，CA,C3所在直線分別為

x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.則A(3,0),5(0,4),C(0,0),設(shè)尸(x,y),因為尸C

=1,所以爐+丁2=1,又聞=(3—X,—y),協(xié)=(—X,4—y),所以國?協(xié)=—x(3—x)—y(4—

y)=x1+y2—3x—4y=~3x—4y+1,設(shè)x=cos0,y=sin0,所以可?聞=—(3cose+4sin8)+l

=-5sin(9+9)+L其中tan°=w，當(dāng)sin(8+0)=l時,可?協(xié)有最小值一4；當(dāng)sin(0+9)=—

1時，可?協(xié)有最大值6,所以成?成€[—4,6].故選BCD.

5

4

-5-4-3-2-If45%

—1

-2

-3

-4

-5

三、填空題

12.若向量。=(—2,-1),b=a，i),“與分的夾角為鈍角，則實數(shù)2的取值范圍是.

答案(一5'2)U(2,+(?)

解析當(dāng)。與》共線時，此時-2=—%=>/1=2,當(dāng)4=2時，a——b,此時a與b方向相反，

當(dāng)。與6的夾角為鈍角時，則需。仍<0且a與〃不反向，所以一24—1<0且拄2,解得力€

(-3'2)U(2,+CO).

13.(2024?四川樹德中學(xué)階段練習(xí))如圖，直徑AB=4的半圓，。為圓心，點C在半圓弧上，

ZA￡)C=1,線段AC上有動點尸，則冰放的取值范圍為.

答案[4,8]

解析過點P作的垂線，交AB于點H,可得蘇.或=|初||被當(dāng)尸在C點時，加.被取

最小值4,當(dāng)P在A點時，加?就取最大值8,故加?環(huán)的取值范圍為[4,8].

14.已知P是邊長為4的正三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且#=%屈+(2—2/1)就(/I€R),

則成?由的最小值為.

答案5

解析取BC的中點O,

：△ABC為等邊三角形，

C.AOLBC,則以。為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則8(-2,0),C(2,0),

A(0,2小)，設(shè)尸(無，y),：.Ap=(x,y-2小),霜=(—2,—25)，At=(2,一25)，；.#=

九話十(2—2功就=(4—6/1,2小-4響,貝人廠廣：.P(4-6A,2小九一2小)，...現(xiàn)

=(6%一4,4y[3~2y/3A),無=(64一2,2十一2小冷，.?.成?衣=(64—4〉(6/1—2)+(4小一2小

義)(2/一2小儲=48力-724+32,由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)2=土?xí)r，成?由取得最小值5.

B級:素養(yǎng)提升練

15.(2024?河南開封五校高三期末聯(lián)考)已知a,b是不共線的兩個向量，\a\=2,a-b=4^3,

若V/GR,\b-ta\^2,則|臼的最小值為()

A.2B.4

C.2小D.4小

答案B

解析由步一切》2,得救一詞224,即|臼2—2心方+產(chǎn)⑷224.因為|a|=2,ab=4-^3,所以—

8小f+4產(chǎn)=|臼2+4(r—/)2—1224,所以他『2一4?一小下+16.令/f)=-4(/-^3)2+16,則

就max=16.又VfCR,\b-ta\^2恒成立，所以卅》式力^=16,所以向》4,即回的最小值為

4.故選B.

16.(多選)已知。為坐標(biāo)原點，點4(1,0),Pi(cosa,sina),P2(cos夕，sin外,尸3(cos(a—)),

sin(a—￡)),則下列結(jié)論正確的是()

A.|O?i|=|O?2|

B.IMI=IA>3|

C.況.仍=殖.殖

D.O^Op^OPvOPi

答案ABD

解析由題意云=(1,0),力的坐標(biāo)等于化的坐標(biāo)(i=l,2,3),|O?i|=|O?2|=l，A正確；

|A?2I=yj(cos^—1)2+(sin^?-0)2=^/2—2cos^,|P1P3\=

^/[cos(a——cosot]2+[sin(a——sina]2=-\/2-2[cosacos(a—+sinasin(a-]

=、2—2cos”,所以|W?2l=|R?*3l，B正確；OA-O?i=cosa,OP2OP3=cos^cos(a