浙江省北斗聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析_第1頁(yè)
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浙江省北斗聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題考生須知:1.本卷共6頁(yè)滿分150分,考試時(shí)間120分鐘;2.答題前,在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.全部答案必需寫在答題紙上,寫在試卷上無效;4.考試結(jié)束后,只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A,再依據(jù)交集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解:,所以.故選:C.2.已知函數(shù)則()A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)分段函數(shù)求出,再依據(jù)分段函數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所?故選:D.3.在北京冬奧會(huì)開幕式上,二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷了世界.從冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,若冬至的日影長(zhǎng)為18.5尺,立春的日影長(zhǎng)為15.5尺,則春分的日影長(zhǎng)為()A.9.5尺 B.10.5尺 C.11.5尺 D.12.5尺【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列相關(guān)運(yùn)算得到公差,進(jìn)而求出春分的日影長(zhǎng).【詳解】由題意得:為等差數(shù)列,公差為d,則,,則,解得:,則,故春分的日影長(zhǎng)為12.5尺.故選:D4.如圖,已知橢圓,F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B,若∠F1AB=90°,則此橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由∠F1AB=90°,得△F1AF2為等腰直角三角形,從而得,易得離心率.【詳解】若∠F1AB=90°,則△F1AF2為等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c.所以,.故選:C.5.下列圖象中,函數(shù),圖象的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件,分析可得為偶函數(shù)且在區(qū)間上恒成立,由此可以用解除法得到答案.【詳解】依據(jù)題意,.所以為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱,所以可以解除選項(xiàng).在上單調(diào)遞增,所以,且.則在上,解除選項(xiàng).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖像,留意分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、定義域、值域和一些特別點(diǎn)處的函數(shù)值,屬于中檔題.6.已知非零向量,滿意,且,則與的夾角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)向量與的夾角為,由,得,結(jié)合已知條件化簡(jiǎn)可得答案【詳解】設(shè)向量與的夾角為,因?yàn)?,所以,即,又,所以,因?yàn)樗?故選:C7.阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,B距離之比滿意:,當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí),面積的最大值是()A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn)P的軌跡方程,探求點(diǎn)P與直線AB的最大距離即可計(jì)算作答.【詳解】依題意,以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則,,設(shè),因,則,化簡(jiǎn)整理得:,因此,點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,點(diǎn)P不在x軸上時(shí),與點(diǎn)A,B可構(gòu)成三角形,當(dāng)點(diǎn)P到直線(軸)的距離最大時(shí),的面積最大,明顯,點(diǎn)P到軸的最大距離為,此時(shí),,所以面積的最大值是.故選:C8.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿意,,則不等式的解集為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè),由已知得函數(shù)在R上單調(diào)遞增,且,依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式可得選項(xiàng).詳解】由題可設(shè),又,則,所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增,,將不等式轉(zhuǎn)化為,所以,即,有,故得,所以不等式的解集為,故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的問題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù),并且得出函數(shù)的單調(diào)性,依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出不等式,解之得選項(xiàng).二?選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.甲袋中有個(gè)白球,個(gè)紅球,乙袋中有個(gè)白球,個(gè)紅球,這些小球除顏色外完全相同.從甲、乙兩袋中各任取個(gè)球,則下列結(jié)論正確的是()A.個(gè)球顏色相同的概率為 B.個(gè)球不都是紅球的概率為C.至少有個(gè)紅球的概率為 D.個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為【答案】ACD【解析】【分析】分別計(jì)算出從甲袋和乙袋中任取個(gè)球,該球?yàn)榘浊蚧蚣t球的概率,然后利用獨(dú)立事務(wù)、互斥事務(wù)以及對(duì)立事務(wù)的概率公式可推斷各選項(xiàng).【詳解】從甲袋中任取個(gè)球,該球?yàn)榘浊虻母怕蕿?,該球?yàn)榧t球的概率為,從乙袋中任取個(gè)球,該球?yàn)榘浊虻母怕蕿?,該球?yàn)榧t球的概率為.對(duì)于A選項(xiàng),個(gè)球顏色相同的概率為,A對(duì);對(duì)于B選項(xiàng),個(gè)球不都是紅球的概率為,B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),至少有個(gè)紅球的概率為,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為,D對(duì).故選:ACD.10.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】AC【解析】【分析】先代入求出,再依據(jù)即可得出數(shù)列為等比數(shù)列,再求和推斷BD即可.【詳解】將代入得,A對(duì);因?yàn)?,則,,即所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,C對(duì);,,BD錯(cuò)誤.故選:AC11.已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,設(shè),則(

)A.在上單調(diào)遞增B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.在上的最小值為D.是的一個(gè)周期【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A,依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解;對(duì)于B,利用函數(shù)的奇偶性的定義即可推斷;對(duì)于C,通過換元及三角函數(shù)的性質(zhì)即可推斷;對(duì)于D,依據(jù)三角函數(shù)周期性的性質(zhì)即可推斷.【詳解】對(duì)于A,由,得恒成立,所以在上單調(diào)遞增,并不是在上單調(diào)遞增,故A不正確;對(duì)于B,因?yàn)榈亩x域?yàn)椋潢P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,,所以是奇函數(shù),即的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故B正確;對(duì)于C,由,得,令,則,,,,所以在上單調(diào)遞減,當(dāng)即,時(shí),取最小值,明顯,所以函數(shù)無最小值,故C不正確;對(duì)于D,,所以是的一個(gè)周期,故D正確.故選:BD.12.如圖,在長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)P滿意,,,,則下列結(jié)論正確的有()A.當(dāng)時(shí),B.當(dāng)時(shí),平面C.當(dāng),時(shí),三棱錐的體積為定值D.當(dāng),時(shí),與平面所成角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,當(dāng)時(shí),得,知A錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),知四點(diǎn)共面,由面面平行的性質(zhì)可得平面,知B正確;當(dāng),時(shí),利用點(diǎn)到面的距離的向量求法可求得點(diǎn)到平面的距離,利用體積橋可得,知C正確;當(dāng),時(shí),利用線面角的向量求法可求得,進(jìn)而得到,知D正確.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,則,,;對(duì)于A,設(shè),則,又,,不恒成立,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),四點(diǎn)共面,即平面;,平面,平面,平面,同理可得:平面,又,平面,平面平面,平面,B正確;對(duì)于C,設(shè),則,設(shè),則,,,,,;平面,平面的一個(gè)法向量為,點(diǎn)到平面的距離,又,,即三棱錐的體積為定值,C正確;對(duì)于D,當(dāng),時(shí),,設(shè),則,,,,,,平面,平面的一個(gè)法向量,設(shè)與平面所成角為,則,,即與平面所成角的正切值為,D正確.故選:BCD.非選擇題部分三?填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知復(fù)數(shù)z滿意,為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)_________【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得解.【詳解】,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,解題關(guān)鍵是駕馭復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算方法,考查了分析計(jì)算實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題.14.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為4,且焦距為10,則該雙曲線的漸近線方程為___________.【答案】【解析】【分析】由標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程,利用點(diǎn)到直線的距離構(gòu)造方程,求得的值,從而得到漸近線方程.【詳解】漸近線方程為:,由雙曲線對(duì)稱性可知,兩焦點(diǎn)到兩漸近線的距離均相等,取漸近線,又因?yàn)榻咕酁?0,故右焦點(diǎn)為,,漸近線方程為:.故答案為:15.已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________.【答案】【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題,然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球,球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示,其中,且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn),設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,由于,故,設(shè)內(nèi)切圓半徑為,則:,解得:,其體積:.故答案為:.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要仔細(xì)分析圖形,明準(zhǔn)確點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.16.已知函數(shù),若且,則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】由題設(shè),結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得,再依據(jù)基本不等式即可求得答案.【詳解】解:由對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞增,因?yàn)椋院瘮?shù)在上,在上,因?yàn)榍?,所以,即,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,由于,所以等號(hào)不能取到,所以,所以的取值范圍是故答案為:四?解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知,,.(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)求的值.【答案】(Ⅰ).=.(Ⅱ).【解析】【詳解】試題分析:利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系,再依據(jù)余弦定理求出,進(jìn)而得到,由轉(zhuǎn)化為,求出,進(jìn)而求出,從而求出的三角函數(shù)值,利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析:(Ⅰ)解:在中,因?yàn)?,故由,可?由已知及余弦定理,有,所以.由正弦定理,得.所以,的值為,的值為.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)及,得,所以,故.考點(diǎn):正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系,利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系,利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角,利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn),常常利用三角形內(nèi)角和定理,三角形面積公式,結(jié)合正、余弦定理解題.18.2024年3月18日,位于孝感市孝南區(qū)長(zhǎng)興工業(yè)園內(nèi)的湖北福益康醫(yī)療科技有限公司正式落地投產(chǎn),這是孝感市第一家獲批的具有省級(jí)醫(yī)療器械生產(chǎn)許可證資質(zhì)的企業(yè),也是我市首家“一次性運(yùn)用醫(yī)用口罩、醫(yī)用外科口罩”生產(chǎn)企業(yè).在暑期新冠肺炎疫情反彈期間,該公司加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服,消毒水等防疫物品,保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng),在社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).在加大生產(chǎn)的同時(shí),該公司狠抓質(zhì)量管理,不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量,該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè),將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組:,,,…,,得到如下頻率分布直方圖.(1)求出直方圖中m的值;(2)利用樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表,中位數(shù)精確到);(3)現(xiàn)規(guī)定:質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品,質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩,其中一等品的概率是多少.【答案】(1)0.030(2)平均數(shù)71,中位數(shù)7333(3)【解析】【分析】(1)依據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為1列方程求解即可;(2)由頻率分布直方圖取各組中點(diǎn)值計(jì)算均值即可,再由頻率分布直方圖求中位數(shù)的方法求解即可.(3)由分層抽樣可知抽取的5個(gè)口罩中一等品與二等品的件數(shù),再由古典概型計(jì)算即可.【小問1詳解】由,得,所以直方圖中m的值是0.030;【小問2詳解】平均數(shù)為,因?yàn)?,,所以中位?shù)在第4組,設(shè)中位數(shù)為n,則,解得,所以可以估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71,中位數(shù)為;【小問3詳解】由頻率分布直方圖知:100個(gè)口罩中一等品、二等品各有60個(gè)、40個(gè),由分層抽樣可知,所抽取的5個(gè)口罩中一等品有:(個(gè)),二等品有:(個(gè)),所以抽取的5個(gè)口罩中一等品有3個(gè),二等品有2個(gè).一等品的概率為.19.如圖,在三棱柱-中,,,,在底面的射影為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).(1)證明:D平面;(2)求二面角-BD-的平面角的余弦值.【答案】(1)詳見解析;(2).【解析】【詳解】(1)依據(jù)條件首先證得平面,再證明,即可得證;(2)作,且,可證明為二面角的平面角,再由余弦定理即可求得,從而求解.試題解析:(1)設(shè)為的中點(diǎn),由題意得平面,∴,∵,∴,故平面,由,分別,的中點(diǎn),得且,從而,∴四邊形為平行四邊形,故,又∵平面,∴平面;(2)作,且,連結(jié),由,,得,由,,得,由,得,因此為二面角的平面角,由,,,得,,由余弦定理得,.考點(diǎn):1.線面垂直的判定與性質(zhì);2.二面角的求解20.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),在軸的上方,且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線上異于,的點(diǎn),直線與分別交拋物線的準(zhǔn)線于,兩點(diǎn),軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,求證:為定值,并求出定值.【答案】(1)(2)見證明【解析】【分析】(1)先由題意得到,,依據(jù)的斜率為,求出,即可得出拋物線方程;(2)先由(1)的結(jié)果,得到點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)點(diǎn),結(jié)合題意,求出與,計(jì)算其乘積,即可得出結(jié)論成立.【詳解】(1)由題意得:,因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,且在軸的上方,所以,因?yàn)榈男甭蕿椋?,整理得:,即,得,拋物線的方程為:.(2)由(1)得:,,淮線方程,直線的方程:,由解得或,于是得.設(shè)點(diǎn),又題意且,所以直線:,令,得,即,同理可得:,.【點(diǎn)睛】本題主要考查求拋物線的方程,以及拋物線的應(yīng)用,熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與拋物線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)即可,屬于??碱}型.21.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)若對(duì)隨意有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)范圍.【答案】(1),;(2).【解析】分析】(1),,依據(jù)函數(shù)的圖象

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