浙江省衢溫51聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page22浙江省衢溫51聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字；3．全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．卷Ⅰ選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合斜率的定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線斜率的定義可知：，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線傾斜角的定義，特別角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四【答案】C【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，然后依據(jù)復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的的坐標(biāo)可得答案.【詳解】.則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限故選：C3.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式干脆計算可得結(jié)果.【詳解】.故選：B.4.下列說法正確的是（）A.條件是的充分不必要條件B.若向量且滿意，，則C已知兩條不同直線a，b與平面，若，則D.已知，則的最小值為4【答案】A【解析】【分析】選項(xiàng)A.先解出二次不等式，由集合間的關(guān)系推斷即可；選項(xiàng)B.由向量，求出即可推斷；選項(xiàng)C.依據(jù)線面平行的條件可推斷；選項(xiàng)D.當(dāng)時可推斷.【詳解】選項(xiàng)A.由可得或則由可得出，反之由，不肯定能得到，所以條件是的充分不必要條件，故正確.選項(xiàng)B.由向量且滿意，，則，即，故不正確.選項(xiàng)C.兩條不同直線a，b與平面，若，則或，故不正確.選項(xiàng)D.若，當(dāng)時，，故不正確.故選：A5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)條件先求出，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，此數(shù)列為等比數(shù)列，即可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則依題意，所以又，所以所以故選：D6.孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個重要定理，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題的解法傳至歐洲，1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．這個定理講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2024這2024個整數(shù)中能被4除2且被6除余2的數(shù)按由小到大的依次排成一列構(gòu)成一數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（）A.165 B.166 C.169 D.170【答案】C【解析】【分析】設(shè)所求數(shù)列為，由題意可知，從而可求通項(xiàng)公式，結(jié)合已知可求的范圍，進(jìn)而可求．【詳解】設(shè)所求數(shù)列為，由題意可知，所以，令，即，解得，所以滿意的正整數(shù)的個數(shù)為，所以該數(shù)列共有項(xiàng)．故選：C．7.設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，．若橢圓C上有一點(diǎn)P滿意，則橢圓C的離心率的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)求解【詳解】由橢圓的幾何性質(zhì)知當(dāng)點(diǎn)在短軸頂點(diǎn)時，最大，設(shè)短軸頂點(diǎn)為B，則，得，故選：A8.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．當(dāng)時有解，則實(shí)數(shù)m的最大值（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得時，，且在上單調(diào)遞增，進(jìn)而，當(dāng)分時恒成立；當(dāng)時，結(jié)合單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，進(jìn)而得，再解不等式即可得最大值.【詳解】解：因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，，時，單調(diào)遞增，；所以，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，由于，故，，此時恒成立，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時有解等價于在上有解，所以，由在上單調(diào)遞增得在上有解，即在上有解，所以，即.所以，實(shí)數(shù)m的最大值為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.若雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C.雙曲線的漸近線方程為 D.直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可推斷選項(xiàng)A，B，C，將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立可推斷選項(xiàng)D.【詳解】在雙曲線的方程為中，，則則雙曲線離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為由可得，即雙曲線的漸近線方程為故選項(xiàng)A,C正確，選項(xiàng)B不正確.由可得，所以直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確故選：ACD10.假設(shè)有一箱零件，箱內(nèi)裝有20件零件，其中有3件次品，下列說法正確的是（）A.從中隨機(jī)取出2件恰有一件次品的概率為B.從中隨機(jī)取出2件，設(shè)事務(wù)“恰有一件是次品”，“至少有一件是正品”，則A與事務(wù)B為互斥事務(wù)C.從中依次取出兩件零件，在第一次取出的是次品的條件下其次次仍是次品的概率為D.無放回地抽取零件直到取到正品時停止，若停止時取到次品數(shù)為X，則【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A.由古典概率干脆求解即可；選項(xiàng)B.依據(jù)互斥事務(wù)的概念可推斷；選項(xiàng)C.由條件概率可得答案；選項(xiàng)D.表示取到正品時，取到次品數(shù)為2件，即共取3次，前兩次取的是次品，第3次取的是正品.從而可得答案.【詳解】選項(xiàng)A.從中隨機(jī)取出2件恰有一件次品有種取法所以從中隨機(jī)取出2件恰有一件次品的概率為，故正確.選項(xiàng)B.從中隨機(jī)取出2件，事務(wù)“至少有一件是正品”中包含“一件正品，一件次品”,“兩件均為正品”兩種狀況，而事務(wù)“恰有一件是次品”是事務(wù)的一部分所以事務(wù)A與事務(wù)B不是互斥事務(wù)，故不正確.選項(xiàng)C.設(shè)事務(wù)“第一次取出的是次品”，設(shè)事務(wù)“其次次取出的是次品”，則，所以,故正確.選項(xiàng)D.表示取到正品時，取到次品數(shù)為2件，即共取3次，前兩次取的是次品，第3次取的是正品.所以其概率為，不正確.故選：AC11.已知圓，直線，則下列結(jié)論正確的有（）A.圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為9B.對于隨意實(shí)數(shù)m直線l恒過定點(diǎn)C.若直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，則弦長的最小值為4D.當(dāng)時，直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，D是圓C上的動點(diǎn)，則面積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可推斷A；依據(jù)直線系方程可推斷B；由于直線過定點(diǎn)在圓內(nèi)，故當(dāng)直線與直線垂直時，弦取得最小值，進(jìn)而求解推斷C；干脆求解對應(yīng)的弦長，圓心到直線的距離，進(jìn)而求解面積最值推斷D.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓，故圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，由題知直線，所以直線過直線與直線的交點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)，故B正確；對于C選項(xiàng)，由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故當(dāng)直線與直線垂直時，弦取得最小值，此時最小弦長為，故C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，直線，此時圓心到直線的距離為，弦長，所以面積的最大值為，故D正確.故選：BCD12.如圖，已知正方體棱長為4，Q是上一動點(diǎn)，點(diǎn)H在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為1的正方形，P是側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面距離等于線段的長，下列說法正確的是（）A.平面B.與平面所成角的正切值得最大值為C.的最小值為D.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，的范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對于A,先證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)推斷平面；對于B,找到與平面所成角，表示出角的正切值，即可推斷；對于C,當(dāng)把平面折起，和平面在同一個平面上時,即可求得的最小值；對于D，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求得其范圍.【詳解】對于A,連接,則,且平面,而平面,故平面平面,平面,故平面，故A正確；對于B，連接,由于平面，則即為與平面所成角，故，當(dāng),,此時最小，故取到最大值，故B正確；對于C，當(dāng)把平面折起，和平面在同一個平面上時，如圖示：取到最小值，最小值為，故C錯誤；對于D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由題意可知,故點(diǎn)P落在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，故，由得，即，故，當(dāng)時，取最小值22，當(dāng)時，取最大值，故，故D正確.故選：ABD卷Ⅱ非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________.【答案】2【解析】【分析】由拋物線的方程可得，結(jié)合拋物線的定義以及焦半徑可得答案．【詳解】由拋物線方程可得，即，則，解得.故答案為：2.14.已知，則__________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】在已知條件中分別令，，將所得兩式相減即得所求【詳解】令，則令，則所以故答案為：15.第24屆冬奧會2024年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉辦．本次冬奧會共有7個大項(xiàng)，15個分項(xiàng)．中國奧運(yùn)健兒奮勇拼搏總共獲得9金4銀2銅，獲得位列獎牌榜第三名的歷史最好的成果．某天競賽中因?yàn)樘鞖饩売身氁獙Ω呱交⑻_滑雪、越野滑雪三個競賽場地各增派一名醫(yī)生志愿者．現(xiàn)有8名醫(yī)生志愿者，其中只會內(nèi)科的醫(yī)生4人，只會外科的醫(yī)生2人，內(nèi)外科都會的全科醫(yī)生2人，要求3名醫(yī)生志愿者中至少有一名會內(nèi)科和一名會外科，則共有__________種派遣方法．(用數(shù)字作答)【答案】312【解析】【分析】先按要求算出滿意條件的醫(yī)生的抽取方法數(shù)量，按抽取的醫(yī)生只會內(nèi)科的人的數(shù)量進(jìn)行分類探討即可，再將抽取好的醫(yī)生安排到不同的競賽場地，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求出總的排遣方法的數(shù)量.【詳解】若抽取的醫(yī)生只會內(nèi)科的有1人，則抽取的方法有種；若抽取的醫(yī)生只會內(nèi)科的有2人，則抽取的方法有種；若抽取的醫(yī)生沒有只會內(nèi)科的，則抽取的方法有種；故滿意條件的抽取醫(yī)生的方法共24＋24＋4＝52種，再把抽好醫(yī)生分派到三個不同的競賽場地，共有52×＝312種派遣方法.故答案為：312.16.已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】先求出的值域，設(shè)，則，方程有實(shí)根，即有實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，從而可得答案.【詳解】由所以設(shè)，則方程有實(shí)根，即有實(shí)根設(shè)，則由可得，可得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，則所以，即所以故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分，解得應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算過程）17.已知函數(shù)（1）當(dāng)，求的取值范圍；（2）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和協(xié)助角公式化簡為，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解；（2）由，即，得到，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到，再利用三角形面積公式求解.【小問1詳解】解：，，，，，，，的取值范圍為；【小問2詳解】由得：，所以或，即或，因?yàn)椋?，由余弦定理，所以（?dāng)且僅當(dāng)時取“=”），的面積的最大值為．18.為了解某校學(xué)生在學(xué)校的月消費(fèi)狀況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，月消費(fèi)金額分布在450~950之間．依據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生在校月消費(fèi)金額的頻率分布直方圖如圖所示：將月消費(fèi)金額不低于750元的學(xué)生稱為“高消費(fèi)群”．（1）求a的值；（2）現(xiàn)采納分層抽樣的方式從月消費(fèi)金額落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記“高消費(fèi)群”人數(shù)為X，求X的分布列、均值和方差．【答案】（1）（2）分布列見解析；，【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各矩形面積的和為1求解；（2）由高消費(fèi)人X可以取0，1，2，3，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，求期望和方差.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以；【小?詳解】由題意，從中抽取7人，從中抽取3人．高消費(fèi)人X可以取0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P，（也可用超幾何分布結(jié)論），.19.如圖所示，在三棱柱中，底面是正三角形，，點(diǎn)在平面的射影為線段的中點(diǎn)D，過點(diǎn)，B，D的平面與棱交于點(diǎn)E．（1）證明：平面；（2）F為棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明平面，，原題即得證；（2）以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．利用向量法求解.【小問1詳解】證明：，，平面，平面連接，，在三棱柱中有平面平面平面平面，平面平面，平面【小問2詳解】解：可知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則．中，，，所以．于是，，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，則有：，可?。O(shè)為平面的法向量，則有：可?。裕媾c平面夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列、滿意，，，﹒（1）求證：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）若，記前n項(xiàng)和為，對隨意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）證明見解析；.（2）.【解析】【分析】(1)證明為常數(shù)即可證明為等差數(shù)列，依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求通項(xiàng)公式，于是可求通項(xiàng)公式；(2)依據(jù)累乘法求，再求出，依據(jù)通項(xiàng)公式的特征，采納錯位相減法求其前n項(xiàng)和，求單調(diào)性并求其范圍即可求λ的范圍.【小問1詳解】∵，，兩邊同除以得：，從而，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，∴；【小問2詳解】由，，∴，∴，∴，∴，，兩式相減得，，∴＝，中每一項(xiàng)，為遞增數(shù)列，∴，∵，∴，，.21.橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線有很多相像性質(zhì)．比如三種曲線都可以用如下方式定義（又稱圓錐曲線其次定義）：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線．當(dāng)為橢圓，當(dāng)為拋物線，當(dāng)為雙曲線．定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為對應(yīng)的準(zhǔn)線，常數(shù)e為圓錐曲線的離心率．依據(jù)上述表述解答下列問題．已知點(diǎn)，直線動點(diǎn)滿意到點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為（1）求曲線的軌跡方程；（2）在拋物線中有如下性質(zhì)：如圖，在拋物線中，O為拋物線頂點(diǎn)，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線與A，B兩點(diǎn)，連接，并延長交準(zhǔn)線l與D，C，則以為直徑的圓與相切于點(diǎn)F，以為直徑的圓與相切于中點(diǎn)．那么如圖在曲線E中是否具有相同的性質(zhì)？若有，證明它們成立；若沒有，說明理由．【答案】（1）（2）有，證明見解析【解析】【分析】（1）由題，曲線的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，待定