江西省宜春市豐城中學2024-2025學年九上開學開學考試數(shù)學試題（含解析）

江西省宜春市豐城中學2024-2025學年九年級上學期開學考試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下面四個標志分別代表：回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳，其中中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列命題中，正確的是（

）A．任意三點確定一個圓 B．平分弦的直徑垂直于弦C．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．垂直弦的直線必過圓心3．在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax+b和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能為（）A． B．C． D．4．一個不透明的袋子中裝有20個小球，其中12個紅球，8個綠球，這些小球除顏色外完全相同．從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是紅球的概率是（

）A． B． C． D．5．如圖，為圓形紙片圓周上的點，為直徑，將該紙片沿折疊，使與交于點D，若的度數(shù)為，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．如圖，一條拋物線與x軸相交于M，N點（點M在點N的左側），其頂點P在線段上移動，點A，B的坐標分別為，，點N的橫坐標的最大值為4，則點M的橫坐標的最小值為（）

A． B． C． D．二、填空題7．如圖，中，，，，若恰好經(jīng)過點B，交于D，則的度數(shù)為°．8．如圖，半圓O中，直徑AB＝30，弦CD∥AB，長為6π，則由與AC，AD圍成的陰影部分面積為．9．如圖，點A在函數(shù)y＝（x>0）的圖象上，且OA＝4，過點A作AB⊥x軸于點B，則△ABO的周長為．10．RtABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，則其內(nèi)心和外心之間的距離是．11．如圖是拋物線的一部分，拋物線經(jīng)過點，其對稱軸為，則下列結論：①；②；③關于的方程有兩個相異的實數(shù)根；④.其中正確的有.（只需填寫結論序號）12．若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個不同的交點，則m的值為．三、解答題13．如圖，在平面直角坐標系中，已知ABC的三個頂點的坐標分別為A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的圖形；（2）將△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，請在圖中畫出△A2BC2，并求出線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積（結果保留）14．將A，B，C三個景點的名稱寫在三張無差別不透明的卡片正面上，洗勻后正面向下放在桌面上．(1)從中隨機抽取一張，抽到A卡片的概率是______；(2)先從中隨機抽取一張卡片，放回后洗勻，再從中隨機抽取一張卡片．請用列表法或畫樹狀圖法，求抽得的兩張卡片中至少一張是B卡片的概率．15．某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件40元．每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件32.4元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價0.5元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得510元的利潤，每件應降價多少元？16．如圖，AB是⊙O的直徑，M是OA的中點，弦CD⊥AB于點M，連接AD，點E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于點F，CD＝6．（1）求∠OAD的度數(shù)；（2）求DE的長．17．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)，圖象分別交于，，與軸交于點，連接，．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）求的面積．18．如圖，用一根長是的細繩圍成一個長方形，這個長方形的一邊長為，它的面積為．(1)寫出y與x之間的關系式；(2)怎樣圍，得到的長方形的面積最大？最大是多少？19．為了增強青少年的法律意識，呵護未成年人健康成長，某學校展開了法律知識競賽活動，并從七、八年級分別隨機抽取了40名參賽學生，對他們的成績進行了整理、描述和分析．①抽取七、八年級參賽學生的成績統(tǒng)計圖如下（不完整）：說明：A：；B：；C：；D：；②抽取八年級參賽學生的成績等級為“C”的分數(shù)為：70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84．③抽取七、八年級參賽學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七73.57484八73.5_______85根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)請將條形統(tǒng)計圖補充完整；(2)八年級這40名學生成績的中位數(shù)是_______；(3)在這次競賽中，小明和小亮均得了75分，但小明的成績在其所在年級排名更靠前，可知小明是_______（填“七”或“八”）年級的學生；(4)該校七年級有720名學生，八年級有800名學生，若該校決定對于競賽成績不低于85分的學生授予“法治先鋒”稱號，則請估計七、八年級獲得“法治先鋒”稱號的學生共有多少人？20．已知甲、乙兩種玩具每件的進價分別為10元和15元.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種玩具每天的銷量（單位：件）與每件售價x（單位：元）的函數(shù)關系為，乙種玩具每天的銷量（單位：件）與每件售價z（單位：元）之間是一次函數(shù)關系，其部分數(shù)據(jù)如下表：每件售價z（單位：元）…202530…銷量（單位：件）…1008060…其中x，z均為非負整數(shù).商店按照每件甲種玩具利潤是每件乙種玩具利潤的2倍來確定甲、乙兩種玩具的銷售單價，且銷售單價高于進價．(1)直接寫出乙種玩具每天的銷量與每件售價z的關系式是_____________；甲種玩具每件售價x與乙種玩具每件售價z的關系式是________________；(2)當甲種玩具的總利潤為800元時，求乙種玩具的總利潤是多少元？(3)當這兩種玩具每天銷售的總利潤之和最大時，直接寫出甲種玩具每件的銷售價格．21．如圖，在中，，以為直徑的經(jīng)過的中點．(1)求證：是的切線；(2)取的中點，連接，延長交于點，若，求的半徑．22．已知：如圖1，拋物線的頂點為，平行于軸的直線與該拋物線交于點，（點在點左側），根據(jù)對稱性恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當為直角三角形時，就稱為該拋物線的“完美三角形”．（1）①如圖2，求出拋物線的“完美三角形”斜邊的長；②拋物線與的完美三角形的斜邊長的數(shù)量關系是______；（2）若拋物線的“完美三角形”的斜邊長為4，求的值；（3）若拋物線的“完美三角形”斜邊長為，且的最大值為1，求，的值．23．在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．【問題提出】（1）如圖①，在中，點D為斜邊AB上的一點，，，且四邊形是正方形，小明運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到（如圖②所示），請你寫出陰影部分的面積：；【問題探究】（2）如圖③，在四邊形中，，，，，過點A作，垂足為E，求AE的長；【問題解決】（3）如圖④，在四邊形中，，，將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．若，，求的面積．參考答案：題號123456答案BCADBC1．B【詳解】試題分析：：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故本選項正確；C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選B．考點：中心對稱圖形．2．C【分析】根據(jù)不共線的三點確定一個圓、垂徑定理的推論和圓的有關性質(zhì)分別判斷．【詳解】解：不共線的三點確定一個圓，所以A選項不正確；平分（非直徑）弦的直徑垂直于弦，所以B選項不正確；圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸，圓心是它的對稱中心，所以C選項正確；弦的垂直平分線必過圓心，所以D選項不正確；故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理的推論：平分（非直徑）弦的直徑垂直于弦；弦的垂直平分線必過圓心．也考查了不共線的三點確定一個圓以及有關圓的性質(zhì)．3．A【分析】本題可先由二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象得到字母系數(shù)的正負，再與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相比較看是否一致．【詳解】A、由拋物線可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項正確；B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤；C、由拋物線可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項錯誤；D、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤．故選A．4．D【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：不透明的袋子中裝有20個小球，其中12個紅球、8個綠球，袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是紅球的概率為．故選：D．【點睛】本題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率，掌握概率的求解方法是解題的關鍵．5．B【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓心角、弧、弦的關系和折疊的性質(zhì)．先利用折疊的性質(zhì)得到和所在圓為等圓，再利用圓周角定理得到，所以的度數(shù)為，然后計算得到的度數(shù)．【詳解】解：∵紙片沿AB折疊，使與交于點D，∴和所在圓為等圓，∵和所對的圓周角都是，∴，∵的度數(shù)為，∴的度數(shù)為，∴的度數(shù)為．故選：B．6．C【分析】其頂點P在線段上移動，點A，B的坐標分別為，，分別求出對稱軸過點A和B時的情況，即可判斷出M點橫坐標的最小值．【詳解】解：根據(jù)題意知，點N的橫坐標的最大值為4，此時點P和點B重合，即拋物線的對稱軸為：，N點坐標為，則M點坐標為，點P和點A重合，點M的橫坐標最小，此時拋物線的對稱軸為：，N點坐標為，則M點的坐標為，點M的橫坐標的最小值為，故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答本題的關鍵是理解二次函數(shù)在平行于x軸的直線上移動時，兩交點之間的距離不變．7．60【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】∵，，，∴，，，∴，∴，∴，故答案為：60.8．45【分析】連接OC，OD，根據(jù)同底等高可知S△ACD=S△OCD，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式S=來求解．【詳解】解：連接OC，OD，∵直徑AB=30，∴OC=OD=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵長為6π，∴陰影部分的面積為S陰影=S扇形OCD=，故答案為：45π．【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，正確理解陰影部分的面積=扇形COD的面積是解題的關鍵．9．+4．【分析】由點A在反比例函數(shù)的圖象上，設出點A的坐標，結合勾股定理可以表現(xiàn)出，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出AB?OB的值，根據(jù)配方法求出(AB+OB)2，由此即可得出AB+OB的值，結合三角形的周長公式即可得出結論．【詳解】解：∵點A在函數(shù)y=(x>0)的圖象上，∴設點A的坐標為(n,)(n>0)在Rt△ABO中,∠ABO=90°，OA=4，∴，又∵AB?OB=?n=4，∴(AB+OB)2=AB2+OB2+2AB?OB=42+2×4=24，∴AB+OB=2,或AB+OB=?2(舍去)∴=AB+OB+OA=2+4故答案為2+4．10．cm【分析】根據(jù)內(nèi)心域外心的位置，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝10cm，∴AM為外接圓半徑．設Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則OD＝OE＝r，∠C＝90°，∵OD⊥CD，OE⊥CE，∴四邊形OECD是正方形，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，即8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2cm，∴AN＝4cm；在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝1cm，ON=2cmOM＝（cm）．故答案為：cm．【點睛】本題考查了直角三角形的外心與內(nèi)心概念及內(nèi)切圓的性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，勾股定理切線長性質(zhì)，正確得出外心與內(nèi)心的位置是解題關鍵．11．②③④【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)圖象及性質(zhì)，能夠從函數(shù)圖象獲取信息，結合函數(shù)解析式進行求解是關鍵．由拋物線的開口方向以及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：由圖可知，∵對稱軸為直線，∴，∴；①，錯誤；②∵y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線∴圖象過點，∴，正確；③由圖象可知，拋物線y=ax2+bx+c∴關于x的方程有兩個相異的實數(shù)根，正確；④∵函數(shù)的最大值為，∴，即，正確．故答案為：②③④．12．-2或-1或0或1【分析】由題意函數(shù)與坐標軸有兩個交點，要分兩種情況：①函數(shù)為一次函數(shù)時；②函數(shù)為二次函數(shù)，分兩種情況進行討論，即當拋物線經(jīng)過原點時，此時拋物線與x軸還有一個除原點以外的交點；若拋物線不經(jīng)過原點，則拋物線必與x軸有一個交點，此時Δ=0，求出m的值即可．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個不同的交點，①當函數(shù)為一次函數(shù)時，則m+1=0即m=-1，此時y=-2x-，與坐標軸有兩個交點；②當函數(shù)為二次函數(shù)時m+1≠0，即m≠-1，分兩種情況：當拋物線經(jīng)過原點時，y==0，即m=0，此時y=x2-2x=x則一個交點在原點，與x軸的另一個交點為(2，0)；當拋物線不經(jīng)過原點時，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0，解得：m=-2或1．綜上，m=-1或0或-2或1時，函數(shù)與坐標軸有兩個交點，故答案為：-2或-1或0或1．【點睛】此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，若方程無根說明函數(shù)與x軸無交點，其圖象在x軸上方或下方，兩者互相轉(zhuǎn)化，要充分運用這一點來解題．13．（1）如圖；（2）線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過得面積.【分析】(1)關于y軸對稱的兩點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，根據(jù)對稱法則得出各點的對應點，然后得出三角形；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出各點的對應點，然后順次連接，得到三角形.首先得出半徑和旋轉(zhuǎn)的角度，然后根據(jù)扇形的面積計算法則得出答案.【詳解】(1)如圖所示，畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；(2)如圖所示，畫出△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過得面積S=．考點：(1)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)；(2)軸對稱圖形的性質(zhì)；(3)扇形的面積計算.14．(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算即可；（2）根據(jù)題意列出表格或畫出樹狀圖表示出所有等可能的情況，再找到抽得的兩張卡片中至少一張是B卡片的情況，最后利用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：∵3張卡片中名稱為A的只有1張，∴隨機抽取一張，抽到A卡片的概率是；（2）由題意可列表格如下：第一次

第二次ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C由表格可知共有9種等可能的情況，其中抽得的兩張卡片中至少一張是B卡片的情況有5種，∴抽得的兩張卡片中至少一張是B卡片的概率為．【點睛】本題考查簡單的概率計算，列表或畫樹狀圖法求概率．正確的列出表格或畫出樹狀圖表示出所有等可能的情況是解題關鍵．15．(1)兩次下降的百分率為10%(2)每件商品應降價2.5元【分析】（1）設每次降價的百分率為x，為兩次降價的百分率，40降至32.4就是方程的平衡條件，列出方程求解即可．（2）設每天要想獲得510元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價y元，有銷售問題的數(shù)量關系建立方程求出其解即可．【詳解】（1）解：設每次降價的百分率為x．，即：，x＝10%或190%（190%不符合題意，舍去），答：兩次下降的百分率為10%；（2）解：設每天要想獲得510元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價y元，由題意，得（40－30－y）（4×2y+48）＝510，化簡得：，解得：，，∵有利于減少庫存，∴y＝2.5．答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到510元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價2.5元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程應用，關鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關系，列出方程，解答即可．16．（1）60°；（2）+3．【分析】（1）連接OD．證明△AOD是等邊三角形即可解決問題．（2）連接OC，CF，EC．證明△CFD是等腰直角三角形即可解決問題．【詳解】（1）連接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠OAD＝60°．（2）連接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴弧AC＝弧AD，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，F(xiàn)C＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，F(xiàn)M＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．【點睛】本題考查等邊三角形和等腰三角形．掌握等邊三角形和等腰三角形的證明方法是解題的關鍵．17．（1），；（2）12．【分析】（1）把點A的坐標代入m的值，得出A的坐標代入，求出一次函數(shù)的解析式，進而求得點B的坐標，利用B點的坐標求得的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點C的坐標，再將y軸作為分割線，求得△AOB的面積；【詳解】解：（1）∵，在函數(shù)的圖象上，∴m=5，∴A(-2，5)，把A(-2，5)代入得：，∴b=4，∴一次函數(shù)的表達式為：，∵在函數(shù)的圖象上，∴n=2，∴，把代入得：2=，∴k=8，∴反比例函數(shù)的解析式為：；（2）∵C是直線AB與y軸的交點，直線AB：，∴當x=0時，y=4，∴點C（0，4），即OC=4，∵A(-2，5)，，∴=×4×2+×4×4=12；【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求出C點坐標是解題的關鍵．18．(1)(2)當長方形的兩邊長分別為時，圍成的長方形面積最大，最大為【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用：（1）根據(jù)長方形周長公式表示出另一邊長，再根據(jù)長方形面積公式求出對應的關系式即可；（2）根據(jù)（1）所求利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，長方形的另一邊長為，∴；（2）解：，∵，∴當時，y最大，最大值為25，∴此時，∴當長方形的兩邊長分別為時，圍成的長方形面積最大，最大為．19．(1)見解析(2)(3)七(4)人【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、利用樣本估計總體：（1）先計算出七年級B、D等級人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖；（2）根據(jù)中位數(shù)定義，將八年級學生成績按從低到高順序排列，第20位和第21位的平均數(shù)即為中位數(shù)；（3）比較兩個年級的中位數(shù)，即可求解；（4）利用樣本估計總體思想求解．【詳解】（1）解：七年級B等級人數(shù)為：，七年級D等級人數(shù)為：，補充完整后的條形統(tǒng)計圖如下所示：（2）解：將八年級學生成績按從低到高順序排列，結合條形統(tǒng)計圖和八年級C等級分數(shù)情況可知，第20位和第21位分別為75，76，因此八年級這40名學生成績的中位數(shù)是，故答案為：；（3）解：七年級的中位數(shù)為74，八年級的中位數(shù)為，因此同樣是75分的情況下，在七年級的排名更靠前，可知小明是七年級的學生，故答案為：七；（4）解：（人）答：估計七、八年級獲得“法治先鋒”稱號的學生共有384人．20．(1)，(2)乙種玩具的總利潤是元(3)34【分析】（1）①設乙種玩具每天的銷量與每件售價z的關系式是，將圖表中數(shù)據(jù)代入計算，即可解答；②根據(jù)利潤=售價-進價得乙種玩具的利潤為，根據(jù)甲種玩具利潤是乙種玩具利潤的2倍得甲種玩具的利潤為，再根據(jù)售價=利潤+進價，即可解答；（2）根據(jù)題意可方程，解得x，再將x代入，即可解答；（3）由題意得，甲玩具的總利潤：乙玩具的總利潤：，總利潤為，根據(jù)題意得到w關于x的關系式，由函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，可知最大值為對稱軸頂點，即可解答．【詳解】（1）解：①設乙種玩具每天的銷量與每件售價z的關系式是，將圖表中數(shù)據(jù)代入計算，，解得：，乙種玩具每天的銷量與每件售價z的關系式是：②利潤售價進價得，乙種玩具的利潤為，∵甲種玩具利潤是乙種玩具利潤的2倍∴甲種玩具的利潤為，∴甲種玩具每件售價x與乙種玩具每件售價z的關系式是．（2）解：依題意得：，解得：，將代入，可得，因此，乙種玩具的總利潤是（元）．（3）解：甲玩具的總利潤：，乙玩具的總利潤：，∵，∴，設這兩種玩具每天銷售的總利潤為元，則，∵x，z均為非負整數(shù)，又∵，∴x必須取非負偶數(shù)，∵，∴當時，總利潤之和w最大，此時甲種玩具每件的銷售單價為34元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)應用，求出一次函數(shù)解析式，一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，根據(jù)等量關系列出方程或函數(shù)關系式，準確計算．21．(1)見解析(2)【分析】（1）連接AD，先由圓周角定理得∠ADB＝90°，則AD⊥BC，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得AB＝AC，則∠B＝∠C＝45°，求得∠BAC＝90°，即可得出結論；（2）作EH⊥OF交AF于H，則EH是⊙O的切線，先由垂徑定理得OE⊥AD，AG＝DG，再證出△EFH是等腰直角三角形，得EH＝EF＝，則FH＝EF＝2，然后由切線長定理得AH＝EH＝，則AF＝AH＋FH＝＋2，最后由等腰直角三角形的性質(zhì)得OA＝AF＝＋2即可．【詳解】（1）證明：連接AD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，OA是⊙O的半徑，∴AD⊥BC，∵D是BC的中點，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°?45°?45°＝90°，∴AC⊥OA，∴AC是⊙O的切線；（2）解：作EH⊥OF交AF于H，如圖所示：則EH是⊙O的切線，∵E是的中點，∴OE⊥AD，AG＝DG，∵AD⊥BC，∴OF∥BC，∴∠EFH＝∠C＝45°，∵EH⊥OF，∴△EFH是等腰直角三角形，∴EH＝EF＝，F(xiàn)H＝EF＝2，∵AC是⊙O的切線，∴AH＝EH＝，∴AF＝AH＋FH＝＋2，由（1）得：∠BAC＝90°，∴△AOF是等腰直角三角形，∴OA＝AF＝＋2，即⊙O的半徑為＋2．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理和圓周角定理是解題的關鍵．22．（1）①；②相等；（2）；（3），．【分析】（1）①過點作軸于，由題意可知為等腰直角三角形，設出點的坐標為，根據(jù)二次函數(shù)得出的值，然后得出的值；②因為拋物線與的形狀相同，所以拋物線與的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關系是相等；（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)相同得出拋物線的完美三角形全等，從而得出點的坐標，得