河北省衡水市2025屆高三數(shù)學模擬試題含解析

試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁Page1河北省衡水市2024屆高三數(shù)學模擬試題留意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2.作答時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知有A、B、C、D四個命題，其中A為B的必要條件，B為C的充分條件，C為D的必要條件，D為A的必要條件.若增加條件使得A、B、C、D中的隨意一個命題均為A、B、C、D四個命題的必要條件，則這個條件可以為（

）.A．B為C的必要條件 B．B為A的必要條件C．C為D的充分條件 D．B為D的必要條件2．復數(shù).若，則（

）的值與a、b的值無關.A． B． C． D．3．，可以寫成關于的多項式，則該多項式各項系數(shù)之和為（

）.A．240 B．241 C．242 D．2434．函數(shù)的圖像如圖所示，已知，則方程在上有（

）個非負實根.A．0 B．1 C．2 D．35．函數(shù)的最大值為（

）.A． B． C． D．36．，，，，a，b，c，d間的大小關系為（

）.A． B．C． D．7．已知數(shù)列、，，，其中為不大于x的最大整數(shù).若，，，有且僅有4個不同的，使得，則m一共有（

）個不同的取值.A．120 B．126 C．210 D．2528．平面上有兩組互不重合的點，與，，，.則的范圍為（

）.A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．工廠生產(chǎn)某零件，其尺寸聽從正態(tài)分布（單位：cm）.其中k由零件的材料確定，且.當零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm時認為該零件不合格；零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm時認為該零件為優(yōu)質(zhì)零件；其余則認為是一般零件.已知當隨機變量時，，，，則下列說法中正確的有（

）.A．越大，預料生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)品零件與不合格零件的概率之比越小B．越大，預料生產(chǎn)出一般零件的概率越大C．若，則生產(chǎn)200個零件約有9個零件不合格D．若生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件、一般零件與不合格零件盈利分別為，，，則當時，每生產(chǎn)1000個零件預料盈利10．已知橢圓C：，上有三點、、，、分別為其左、右焦點.則下列說法中正確的有（

）.A．若線段、、的長度構成等差數(shù)列，則點、、的橫坐標肯定構成等差數(shù)列.B．若直線與直線斜率之積為，則直線過坐標原點.C．若的重心在軸上，則D．面積的最大值為11．已知函數(shù)，其中、.則下列說法中正確的有（

）.A．的最小值為B．的最大值為C．方程在上有三個解D．在上單調(diào)遞減12．直線、為曲線與的兩條公切線.從左往右依次交與于A點、B點；從左往右依次交與于C點、D點，且A點位于C點左側(cè)，D點位于B點左側(cè).設坐標原點為O，與交于點P.則下列說法中正確的有（

）.A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．底邊和腰長之比為的等腰三角形被稱為“黃金三角形”，四個面都為“黃金三角形”的四面體被稱為“黃金四面體”.“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為______.14．已知存在實數(shù)使得，則的取值范圍為______.15．已知圓C：，點，點.點P為圓C上一點，作線段AP的垂直平分線l.則點B到直線l距離最小值為______.16．二元數(shù)列中各項的值同時由，確定.已知二元數(shù)列滿意，，.若，，則______四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知，D為邊AC上一點，，.(1)若，，求；(2)若直線BD平分，求與內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍.18．為提高核酸檢測效率，某醫(yī)學試驗室現(xiàn)打算采納某種檢測新冠肺炎病毒核酸的新型技術進行新一輪大規(guī)模核酸篩查.經(jīng)過初步統(tǒng)計分析得出該項技術的錯檢率約為0.04，漏檢率約為0.01.（錯檢率指在檢測出陽性的狀況下未感染的概率，漏檢率指在感染的狀況下檢測出陰性的概率）(1)當有100個人檢測出核酸陽性時，求預料檢出的假陽性人數(shù)；(2)為節(jié)約成本，試驗室在該技術的基礎上采納“混采”的方式對個別疫區(qū)進行核酸檢測，即將n個人的樣本裝進一根試管內(nèi)送檢；若某組檢測出核酸陽性，則對這n個人分別進行單人單試管核酸采樣.現(xiàn)對兩個疫區(qū)的居民進行核酸檢測，A疫區(qū)共有10000名居民，采納的混采策略；B疫區(qū)共有20000名居民，采納的混采策略.已知兩個疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通過計算比較A、B兩個疫區(qū)核酸檢測預料消耗試管數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，19．異面直線、上分別有兩點A、B.則將線段AB的最小值稱為直線與直線之間的距離.如圖，已知三棱錐中，平面PBC，，點D為線段AC中點，.點E、F分別位于線段AB、PC上（不含端點），連接線段EF.(1)設點M為線段EF中點，線段EF所在直線與線段AC所在直線之間距離為d，證明：.(2)若，用含k的式子表示線段EF所在直線與線段BD所在直線之間的距離.20．已知數(shù)列滿意，，，為數(shù)列前項和.(1)若，，求的通項公式；(2)若，設為前n項平方和，證明：恒成立.21．已知拋物線，點為拋物線焦點.過點作一條斜率為正的直線l從下至上依次交拋物線于點與點，過點作與l斜率互為相反數(shù)的直線分別交x軸和拋物線于、.(1)若直線斜率為k，證明拋物線在點處切線斜率為；(2)過點作直線分別交x軸和拋物線于、，過點作直線分別交x軸和拋物線于、，且，直線斜率與直線斜率互為相反數(shù).證明數(shù)列為等差數(shù)列.22．已知函數(shù).(1)若有唯一零點，設滿意條件的值為與證明：①與互為相反數(shù)；②；(2)設.若存在兩個不同的極值點、，證明.參考數(shù)據(jù)：，答案第=page3232頁，共=sectionpages3232頁答案第=page3131頁，共=sectionpages3232頁1．A【分析】先由題設條件得到，再利用充要條件的傳遞性對選項逐一分析即可.【詳解】因為A為B的必要條件，B為C的充分條件，C為D的必要條件，D為A的必要條件，所以，即，對于A，若B為C的必要條件，即，則，所以A、B、C、D互為充要條件，則A、B、C、D中的隨意一個命題均為A、B、C、D四個命題的必要條件，故A正確；對于B，若B為A的必要條件，即，則，易得不是的必要條件，故B錯誤；對于C，若C為D的充分條件，即，則，易得不是的必要條件，故C錯誤；對于D，若B為D的必要條件，即，則且，易得不是的必要條件，故D錯誤.故選：A2．A【分析】依據(jù)復數(shù)的運算和模的公式化簡條件，確定a、b關系，再依次推斷各選項.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，即的值與a、b的值無關.故選：A.3．D【分析】利用換元法，將轉(zhuǎn)化為，從而利用賦值法即可求得該多項式各項系數(shù)之和.【詳解】因為，令，則，令，則，所以該多項式各項系數(shù)之和為.故選：D.4．B【分析】利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，結合零點存在性定理推斷方程在上的根的個數(shù).【詳解】由圖象可得函數(shù)在上有3個極值點，不妨設其極值點為，其中，設，，，由圖象可得，，時，函數(shù)單調(diào)遞增，，又函數(shù)的圖象由陡峭變?yōu)槠骄?，故漸漸變小，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞減，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的圖象先由平緩變?yōu)槎盖?，再由陡峭變?yōu)槠骄?，先變大再變小，函?shù)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，所以取值先負后正，所以存在，使得，當，，當，，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象由平緩變?yōu)槎盖?，函?shù)單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，當時，，所以當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不存在零點，且，因為，因為表示點與點的連線的斜率，表示曲線在點處的切線的斜率，結合圖象可得，故，所以函數(shù)在上存在唯一零點，故方程在上有1個非負零點，故選：B.5．D【分析】利用三角函數(shù)的平方關系將轉(zhuǎn)化為點到點的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，結合三角函數(shù)的值域即可求得結果.【詳解】因為，所以，故的最大值轉(zhuǎn)化為點到與的距離之差的最大值，因為，，，所以，當且僅當時，等號成立，則，經(jīng)檢驗，此時，，所以，即的最大值為.故選：D.6．B【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系證得；利用二項式定理證得，再構造函數(shù)證得，從而得到；構造函數(shù)，證得，從而得到；由此得解.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即，所以，則，即，故；因為，所以其綻開通項公式為，故，，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故，即；令，則，因為，所以，則，故，所以在上單調(diào)遞增，則，即，易知，所以，則，即；綜上：.故選：B.7．C【分析】將表示為，其中，且不全為0，，分析與的取值的關系，由此確定滿意條件的的取值的個數(shù).【詳解】設，其中，且不全為0，，若，則，，，，若，則，，，，所以若則，，若，則，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，所以時，，時，，同理可以證明時，，，，因為有且僅有4個不同的，使得，即中有且僅有4個變量取值為1，其余變量取值為0，又從中任選4個變量有種取法，故滿意條件的的個數(shù)為，即210個，故選：C.8．D【分析】考慮的特別狀況，驗證選項可得答案.【詳解】當時，由題，有，，.得.則在以為圓心，半徑為1的圓上，則在以為圓心，半徑為2的圓上.又，則如下圖所示，即時，取最小值為1；如下圖所示，即時，取最大值為3.則當時，的范圍是，驗證選項可解除A，B，C.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題因點的狀況較為困難，且又為選擇題，故考慮利用特別值驗證選項得答案.9．AC【分析】對于AB，利用正態(tài)分布曲線的圖像改變即可得解；對于C，結合參考數(shù)據(jù)，求出預料生產(chǎn)出的不合格零件的概率，從而得解；對于D，結合參考數(shù)據(jù)，分別求出預料生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)零件、一般零件與不合格零件的概率，從而得解.【詳解】依題意，得，則，，對于A，當變大時，變大，則零件尺寸的正態(tài)分布曲線越扁平，所以預料生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，則其比例越小，故A正確；對于B，由選項A可知，預料生產(chǎn)出一般零件的概率越小，故B錯誤；對于C，當時，，則，而，所以預料生產(chǎn)出的不合格零件的概率為，故生產(chǎn)200個零件約有不合格零件的個數(shù)為，故C正確；對于D，當時，，則，，，所以預料生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件的概率為，不合格零件的概率為，一般零件的概率為，故每生產(chǎn)1000個零件預料盈利，故D錯誤.故選：AC.10．ABC【分析】先證明兩個結論，結論1為焦半徑公式，利用該公式可推斷AC的正誤，利用同一法可推斷B的正誤，結論2為均值不等式，利用該結論可求內(nèi)接三角形面積的最大值，從而可推斷D的正誤.【詳解】結論1：若為橢圓上的的動點，為其左焦點，則.證明：，因為，故，故.結論2：若，則.證明：因為，故，當且僅當時等號成立，同理，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立.由結論2可得，當且僅當時等號成立.對于A、C，設，則由結論1可得：，因為，故，整理得到：，故A正確.因為的重心在軸上，故，故，故C正確.對于B，設關于原點的對稱點為，則，故（，否則，這與題設沖突），故，但所以，所以，而，故，因均在橢圓上，故重合即直線過坐標原點，故B正確.我們先證明一個命題命題：設為橢圓上的點，直線與橢圓交于不同的兩點，則面積的最大值為.證明：當直線的斜率不存在時，設直線，，則的面積，若，則，因為，，故，即，當且僅當，時等號成立，故此時.同理可證：當時，.過當直線的斜率存在，可設，由可得，故，故，而，又到的距離為，故的面積為：對于給定的，先考慮的最大值，設，則，其中，若，則的最大值為，此時設，則，故，由結論2可得：，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故，若，則的最大值為，同理可得，綜上，面積的最大值為.對于D，考慮為橢圓上的點，直線為直線，由前述命題可得：面積的最大值為，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】思路點睛：橢圓上的動點到焦點的距離可以轉(zhuǎn)化為動點的某坐標與離心率、半長軸的關系來處理，而多變量的最值問題，往往是通過降低變元的個數(shù)逐步處理.11．BC【分析】依據(jù)題意，可得，由，求解出的取值范圍，依據(jù)對應范圍內(nèi)的函數(shù)解析式，即可求出的最值，進而推斷A、B選項；令，分和兩種狀況解方程，即可推斷C選項；取，求出此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可推斷函數(shù)在上的單調(diào)性，從而推斷在上的單調(diào)性，進而推斷D選項.【詳解】，即，其中，，.由，即，，所以當時，，即，，所以當，即時，，當，即時，；當時，，即，，所以當，即時，，由于，所以無最小值.綜上所述，的最小值為，最大值為，故A錯誤，B正確；由，所以當時，，即，即或，，所以或，.當時，，即，即或，，所以，，綜上所述，方程在上有三個解，故C正確；取時，，令，即；令，即；由于，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上有增有減，則在上有增有減，故D錯誤.故選：BC.12．CD【分析】先由和是一對反函數(shù)，圖像關于直線對稱，得出點關于直線對稱，點關于直線對稱，點在直線上，再算出和的公切線方程，設點坐標為，用表示出三個點的坐標，由直線性質(zhì)算出點坐標，再依次通過計算得出每個選項的正誤即可.【詳解】由題意，畫出大致圖像如圖，設與，為直線，為直線，且和是一對反函數(shù)，圖像關于直線對稱，則點關于直線對稱，點關于直線對稱，點在直線上，設的切點為，的切點為，由，，得的切線方程為，的切線方程為，當兩函數(shù)的切線方程重合時，即為公切線，則，將代入下式得，將和的圖像在同一坐標系中畫出如圖，設方程的其中一個解為，則，由，可得，又因，則方程的另一個解為，因此點坐標為，點坐標為，點坐標為，點坐標為.因為與關于直線對稱，所以，選項錯誤；由點在直線上可得，設點坐標為，則，解得，設，，設，，則在上單調(diào)遞減，由，，可得在上的函數(shù)值為先正后負，即在上的值為先正后負，則在上的單調(diào)性為先增后減，又，，且，則，即，所以，選項B錯誤；分別連接，，如圖，由，，得，選項C正確；分別連接，，如圖，得第三象限夾角，即，選項D正確.故選：CD.13．【分析】畫出符合題意的四面體，由其特征將其補形為長方體，分別計算外接球與內(nèi)切球表面積可得答案.【詳解】如圖，設四面體為“黃金四面體”，且，得，又因四個面都為“黃金三角形”，則.留意到四面體對棱相等，則將其補形為如圖所示長方體，則該長方體外接球與該四面體外接球重合.設，則長方體外接球半徑為長方體體對角線長度的一半，有，又留意到：，得，又，得.留意到，，則.又在中，，取中點為E，則，故，又由前面分析可知四面體的四個面全等，則四面體的表面積.設四面體的內(nèi)切球半徑為，則，得.留意到，則，又，得，又，則.則“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為：，代入，得比值為：.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題涉及求幾何體的外接球半徑及內(nèi)切球半徑，難度較大.題目關鍵為由題目條件得到“黃金四面體”的對棱相等，從而將其補形為長方體，而適當?shù)拇鷵Q也可減小計算的困難度.14．【分析】結合肯定值三角不等式可得，即，即，再結合，可得，進而求解.【詳解】由，即，即，即，又因為，所以，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.15．##【分析】依據(jù)題意假設的中點，先利用代入法求得的取值范圍，再利用點斜式求得直線的方程，從而利用點線距離公式求得，進而利用換元法與基本不等式求得點B到直線l距離的最小值.【詳解】依題意，設的中點，則，，所以，，則，因為，所以，故，所以線段AP的垂直平分線l為，即，則，所以點到直線的距離為，令，則，，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，即點B到直線l距離最小值為.故答案為：.16．答案征集【詳解】解析征集17．(1)(2)【分析】（1）先利用平面對量的加減運算得到，再利用平面對量的數(shù)量積運算法則求得，又利用余弦定理與數(shù)量積運算求得，由此利用三角形面積公式即可得解；（2）先由角平分線性質(zhì)定理得到，再利用余弦定理與數(shù)量積運算求得，從而利用三角形面積公式與內(nèi)切圓的性質(zhì)得到，進而利用換元法與不等式的性質(zhì)求得的范圍，由此得解.【詳解】（1）如圖1，，，所以，因為，，所以，故，則，即，又，則，故，不妨記，，則，因為，所以，解得，則，因為，所以，所以..（2）如圖2，不妨設與內(nèi)切圓的半徑分別為與，因為直線BD平分，所以由角平分線性質(zhì)定理得，記，則，記，則，因為，所以，因為，即，則，所以，即，因為（為頂點到的距離），又，，所以，則，令，則，，所以，因為，所以，則，故，所以，即，所以，故，所以與內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍為..18．(1)4；(2)A疫區(qū)核酸檢測預料消耗試管數(shù)量比疫區(qū)核酸檢測預料消耗試管數(shù)量少.【分析】（1）利用錯檢率計算得解；（2）先求出整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值和整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值，再作差比較大小即得解.【詳解】（1）解：當有100個人檢測出核酸陽性時，預料檢出的假陽性人數(shù)為.（2）解：先計算疫區(qū)核酸檢測預料消耗試管數(shù)量.設疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為，采納的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為和，對應的概率分別為和,所以該小組檢測次數(shù)的期望為，10000名居民分成1000個小組，所以整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值為.再計算疫區(qū)核酸檢測預料消耗試管數(shù)量.設疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為，采納的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為和，對應的概率分別為和,所以該小組檢測次數(shù)的期望為，20000名居民分成1000個小組，所以整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值為.因為，所以，，所以，所以A疫區(qū)核酸檢測預料消耗試管數(shù)量比疫區(qū)核酸檢測預料消耗試管數(shù)量少.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，求得各點的坐標，進而假設是直線與的公垂線，利用空間向量垂直的坐標表示得到關于的方程組，從而推出沖突，由此得證；（2）利用（1）中結論，求得直線與的公共法向量，從而利用異面直線間的距離公式求得所求.【詳解】（1）因為在三棱錐中，平面PBC，，所以易得兩兩垂直，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，故，不妨設，，則，，所以，即，所以，，，要證，只需證不是直線與的公垂線即可，假設是直線與的公垂線，則，故，即，整理得，消去，得，即，所以，不滿意，故假設不成立，所以..（2）不妨設，則，由（1）得，，，因為，所以，則，所以，不妨設是直線與的公共法向量，所以，令，則，，故，設線段EF所在直線與線段所在直線之間的距離為，則，因為，所以，即線段EF所在直線與線段所在直線之間的距離為.20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）代入，將條件化為，從而得到是常數(shù)列，進而得到是等差數(shù)列，由此利用等差數(shù)列的前項和公式即可得解；（2）利用數(shù)學歸納法推得要證結論，需證，再次利用數(shù)學歸納法證得其成立，從而結論得證.【詳解】（1）因為，，所以，則，又，所以是首項為的常數(shù)列，則，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，所以.（2）因為，所以，又，，所以，，則，因為，所以當時，，所以；當時，，所以；假設當時，有，則當時，，因為，所以要證，需證，即證，當時，，，則，假設當時，有，則當時，，因為，所以，所以，綜上：成立，所以成立，綜上：恒成立.21．(1)見解析(2)見解析【分析】(1)設，可用點的坐標表示，依據(jù)斜率關系可得的關系，依據(jù)導數(shù)求出點處切線斜率，從而可證拋物線在點處切線斜率為；.(2)設，依據(jù)題設的共點的直線的斜率關系可得，從而可證、為等差數(shù)列，故可證為等差數(shù)列.【詳解】（1）設則，同理.，即，，.當時，，所以拋物線在點處切線斜率為，得證.（2）設，故直線，令，則，故，同理.