重慶市萬州區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期7月月考試題含解析

Page302023-2024年高三上期7月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共5頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，再進行交集運算.【詳解】或故選：C2.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性，確定正確選項.【詳解】令，的定義域為，由此排除B選項.，所以為奇函數(shù)，由此排除CD選項.故選：A【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的解析式確定函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題.3.已知圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，高為h，平面經(jīng)過圓臺的兩條母線，設(shè)截此圓臺所得的截面面積為S，則（）A.當(dāng)時，S的最大值為B.當(dāng)時，S的最大值為C.當(dāng)時，S的最大值為D.當(dāng)時，S的最大值為【答案】D【解析】【分析】通過將圓臺補成圓錐，利用圖形分和討論即可.【詳解】如圖,將圓臺補成圓錐.設(shè)圓臺的母線長為,則,等腰梯形為過兩母線的截面.設(shè)，由，得,則，當(dāng)時，，當(dāng)最大，即截面為軸截面時面積最大，則的最大值為.當(dāng)時,，當(dāng)時，截面面積最大，則的最大值為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵的是通過補圖，利用三角形相似和三角形面積公式得到，然后再分和討論即可.4.已知拋物線的焦點為F，準線為l，過點F作斜率為的直線與C在第一象限內(nèi)相交于點P，過點P作于點M，連接MF交C于點N，若，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】如圖，過點N作準線l的垂線，垂足為Q，則由已知條件結(jié)合拋物線的定義可得，設(shè)直線PF的傾斜角為，則，求出，再結(jié)可求得結(jié)果.【詳解】如圖，過點N作準線l的垂線，垂足為Q，則，軸．因為，所以．設(shè)直線PF的傾斜角為，則，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以，即．故選：C5.如圖，在棱長為的正方體中，點是平面內(nèi)一個動點，且滿足，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得點的軌跡是平面內(nèi)以點為圓心，半徑為的圓，可得，進而可得出題中所求角等于直線與直線的夾角，然后過點作平面于點，過點作于點，連接，找出使得最大和最小時的位置，進而可求得所求角的余弦值的取值范圍.【詳解】連接交平面于點，延長線段至點，使得，連接、、，如下圖所示：已知在正方體中，底面，平面，，又四邊形為正方形，所以，，，平面，平面，，同理，，平面，三棱錐的體積為，，，可得，所以，線段的長被平面與平面三等分，且與兩平面分別垂直，而正方體的棱長為，所以，，如下圖所示：其中，不妨設(shè)，由題意可，所以，，可得，所以，點在平面內(nèi)以點為圓心，半徑為的圓上.因為，所以，直線與直線的夾角即為直線與直線所成角.接下來要求出線段與的長，然后在中利用余弦定理求解.如圖，過點作平面于點，過點作于點，連接，根據(jù)題意可知，，且，所以，，.如圖所示，，當(dāng)點在處時，最大，當(dāng)點在處時，最小.這兩種情況下直線與直線夾角的余弦值最大，為；當(dāng)點在點處時，為直角，此時余弦值最小為.綜上所述，直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查異面直線所成角的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是確定點的軌跡，考查推理能力與計算能力，屬于難題.6.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①④ B.②③ C.②④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】令，則，由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，即有4個整數(shù)符合，可求出判斷③，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可依次判斷①②④.【詳解】由函數(shù)，令，則函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，即有4個整數(shù)符合，由，得，則，即，，故③正確；對于①，，，當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點；故①錯誤；對于②，周期，由，則，，又，所以的最小正周期可能是，故②正確；對于④，，，又，又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故④錯誤．故正確結(jié)論的序號是：②③故選：B【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，由求對稱中心.(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.7.點均在拋物線上，若直線分別經(jīng)過兩定點，則經(jīng)過定點，直線分別交軸于，為原點，記，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用條件，用表示出兩點坐標，從而求出直線的方程，進而求出定定點，再根據(jù)條件得到，再利用柯西不等式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，由題易知直線斜率均存在，設(shè)直線方程為，，由，消得，即，由韋達定理得，所以，代入，得到，所以，設(shè)直線方程為，，由，消得，即，由韋達定理得，所以，又因為，所以，代入，得到，所以，所以直線的斜率為，所以的方程為，即所以，即，故直線過定點，令，得到，所以，所以，，又因為，所以，所以，，又，所以，又由柯西不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以，即，故選：D.【點睛】解決本題關(guān)鍵在于，利用條件求出，兩點，再利用點斜式表示出直線，進而求出定點.8.朱載堉是明太祖朱元璋的九世孫，雖然貴為藩王世子，卻自幼儉樸敦本，聰穎好學(xué)，遂成為明代著名的律學(xué)家，歷學(xué)家、音樂家.朱載堉對文藝的最大貢獻是他創(chuàng)建下十二平均律，亦稱“十二等程律”.十二平均律是將八度的音程按頻率比例分成十二等份，也就是說，半單比例應(yīng)該是，如果12音階中第一個音的頻率是，那么第二個音的頻率就是，第三個單的頻率就是，第四個音的頻率是，……，第十二個音的頻率是，第十三個音的頻率是，就是.在該問題中，從第二個音到第十三個音，這十二個音的頻率之和為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析題意，利用等比數(shù)列的求和公式即可計算得解.【詳解】由題意知，第二個音到第十三個音的頻率分別為，顯然以上12個數(shù)構(gòu)成了以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列求和公式得：.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等比數(shù)列求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意將第二個音到第十三個音的頻率構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得，考查學(xué)生的分析解題能力與轉(zhuǎn)化思想及運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.已知數(shù)列的前項和為，且，（，為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A.一定是等比數(shù)列 B.當(dāng)時，C.當(dāng)時， D.【答案】ABC【解析】【分析】對于A，利用數(shù)列的遞推關(guān)系得和當(dāng)時，，再利用，結(jié)合等比數(shù)列的概念對A進行判斷；對于B，利用A的結(jié)論，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式得，當(dāng)時，利用等比數(shù)列的求和，計算出；對于C，當(dāng)時，利用指數(shù)冪的運算，對C進行判斷；對于D，利用，計算得，對D進行判斷.【詳解】對于A，在數(shù)列中，因為，為非零常數(shù)，所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，由得，即，又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故A正確；對于B，由得，因此當(dāng)時，，所以，故B正確；對于C，由得，因此當(dāng)時，，所以，故C正確；對于D，由得，因此，，所以，故D錯誤．故選：ABC．10.某簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，下列判斷正確的有（）A.該簡諧運動的振幅是B.該簡諧運動的初相是C.該簡諧運動往復(fù)運動一次需要D.該簡諧運動往復(fù)運動25次【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可判斷A；設(shè)該函數(shù)解析式為，由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得，把點代入解析式可得，可判斷BCD.【詳解】對于A，由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得該簡諧運動的振幅是，故A正確；對于B，設(shè)該函數(shù)解析式為，由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得，可得，所以，所以，因為把點代入解析式可得，所以，所以，若，則，故B正確；對于C，由B可知，故C錯誤；對于D，該簡諧運動往復(fù)運動次，故D正確.故選：ABD.11.如圖，點是正方體中的側(cè)面上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點存在無數(shù)個位置滿足B.若正方體的棱長為1，三棱錐的體積最大值為C.在線段上存在點，使異面直線與所成的角是30°D.點存在無數(shù)個位置滿足到直線和直線的距離相等【答案】ABD【解析】【分析】畫出示意圖，由直線與平面垂直的判定定理，可判斷A正確；求出三棱錐體積的最大值，可判定B正確；由線面角的概念，求得其正切值，可判定C錯誤；根據(jù)拋物線的定義，可得的軌跡為平面上拋物線的部分，可判斷D正確.【詳解】如圖所示，在正方體中，平面，則，又由，所以平面,當(dāng)點在線段上時，可得，所以A正確；由正方體的性質(zhì)，可知平面，若正方體的棱長為1，則與重合時，三棱錐的體積取得最大值，最大值為，所以B正確；異面直線與所成的角，即為，當(dāng)在線段上運動時，取的中點時，最小，可得，故C錯誤；平面上的點到直線的距離等于點到的距離，則滿足到直線和直線的距離相等，即滿足到直線和點的距離相等，可知的軌跡為平面上拋物線的部分，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移（）個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，下列說法正確的是（）A.當(dāng)取最小值時，在區(qū)間上的值域為B.當(dāng)取最小值時，的圖象的一個對稱中心的坐標為C.當(dāng)取最大值時，在區(qū)間上的值域為D.當(dāng)取最大值時，圖象的一條對稱軸方程為【答案】BC【解析】【分析】化簡函數(shù)的解析式，根據(jù)給定條件求出的最大、最小值，再逐項分析即可計算判斷作答.【詳解】依題意，，，當(dāng)時，，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，于是得，而，因此，，對于A，，，當(dāng)時，，，A不正確；對于B，，，由，即得：圖象的對稱中心，則是的圖象的一個對稱中心，B正確；對于C，，，當(dāng)時，，，C正確；對于D，，，由，即得：圖象的對稱軸，D不正確.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的值為_________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算即可得解.【詳解】因為，所以，故答案為：．14.已知是邊上一點，且，，，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，設(shè)，則，，利用余弦定理以及可推導(dǎo)出，進而利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】設(shè)，，設(shè)，則，，如下圖所示：在中，；在中，.，，所以，，整理得，①在中，，②由①②可得，由基本不等式可得，，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用基本不等式求三角形邊長和最值，同時也考查了余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于難題.15.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），以筒車轉(zhuǎn)輪的中心為原點，過點的水平直線為軸建立如圖直角坐標系.已知一個半徑為1.6m的筒車按逆時針方向每30s勻速旋轉(zhuǎn)一周，到水面的距離為0.8m.規(guī)定：盛水筒對應(yīng)的點從水中浮現(xiàn)（時的位置）時開始計算時間，且設(shè)盛水筒從點運動到點時所經(jīng)過的時間為（單位：s），且此時點距離水面的高度為（單位：m）（在水面下則為負數(shù)），則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為___________，在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，點距水面的高度不低于1.6m的時長為___________s.【答案】①.②.10【解析】【分析】根據(jù)給定信息，求出以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角，求出點P的縱坐標即可列出函數(shù)關(guān)系，再解不等式作答.【詳解】依題意，點到x軸距離為0.8m，而，則，從點經(jīng)s運動到點所轉(zhuǎn)過的角為，因此，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為，點P的縱坐標為，于是得點距離水面的高度，由得：，而，即，解得，對于k的每個取值，，所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，點距水面的高度不低于1.6m的時長為10s.故答案為：；10【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及三角函數(shù)實際應(yīng)用問題，探求動點坐標，找出該點所在射線為終邊對應(yīng)角是關(guān)鍵，特別注意，始邊是x軸非負半軸.16.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將圖象上的所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)圖象，則關(guān)于函數(shù)有下列四個說法：①最小正周期為；②圖象的一條對稱軸為直線；③圖象的一個對稱中心坐標為；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的是_______．（填序號）【答案】①④【解析】【分析】先根據(jù)所給圖象及三角函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的解析式，再利用圖象變換得到的圖象，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)和整體思想逐一驗證選項.【詳解】由圖象可知：，，所以，所以，則，，又，所以，所以，因為將圖象上的所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，所以，對于①，的最小正周期為，故①正確；對于②，由，故②錯誤；對于③，由，故③錯誤；對于④，由，，得的單調(diào)增區(qū)間為，．當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，此時，故④正確．故答案為：①④．四、解答題：本題共6小題，共70分.17.記為等差數(shù)列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運算求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，【小問2詳解】因，令，解得，且，當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得；綜上所述：.18.的內(nèi)角的對邊長分別為，設(shè)（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理邊角互化結(jié)合三角恒等變換求解即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，由正弦定理可得，即，所以根據(jù)余弦定理及中可得.【小問2詳解】根據(jù)題意，由正弦定理可得，所以，解得①，因為②，①②聯(lián)立可解得或，又因為，則，，（舍去），所以.19.網(wǎng)購是現(xiàn)代年輕人重要的購物方式，截止：2021年12月，我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模達8.42億，較2020年12月增長5968萬，占網(wǎng)民整體的81.6%．某電商對其旗下的一家專營店近五年來每年的利潤額（單位：萬元）與時間第年進行了統(tǒng)計得如下數(shù)據(jù)：123452.63.14.56.88.0（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（計算結(jié)果精確到0.01）．（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）（2）試用最小二乘法求出利潤y與時間t的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)時的利潤額．附：，，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】（1），y與t的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合．（2），萬元．【解析】【分析】（1）先利用公式計算出相關(guān)系數(shù)r，再按要求進行比較，進而得到結(jié)果；（2）先利用公式求得，得到利潤y與時間t的回歸方程，進而預(yù)測當(dāng)時的利潤額．【小問1詳解】由題表，，因為，，，所以．故y與t的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合．【小問2詳解】，，所以．當(dāng)時，．預(yù)測該專營店在時的利潤為萬元．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3，E為PD的中點，點F在PC上，且.（1）求二面角F-AE-P的余弦值；（2）設(shè)點G在PB上，且.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.【答案】（1）（2）直線不在平面內(nèi)，理由見解析【解析】【分析】（1）過作的垂線交于點，再以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面AEF的法向量后可求二面角的余弦值；（2）求得平面的法向量，再計算是否為0即可判斷【小問1詳解】過作的垂線交于點.因為平面平面，所以，以為坐標原點如圖建立空間直角坐標系.則，因為為的中點，所以，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，故，又平面的法向量為，所以，二面角平面角余弦值為.【小問2詳解】直線不在平面內(nèi)，理由如下：因為點在上，且，故，所以，由（1）知，平面的法向量，所以，所以直線不在平面內(nèi)【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明、建立空間直角坐標系求解二面角的問題，同時也考查了線面關(guān)系的判斷，屬于中檔題21.已知橢圓的兩個頂點分別為，，焦點在軸上，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于，兩點，線段的垂直平分線與軸交于，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由頂點和離心率直接求即可；（2）先聯(lián)立直線和橢圓方程，借助弦長公式表