江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研試題含解析

江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研試題留意事項考生在答題前請仔細閱讀本留意事項及各題答題要求：1.本卷共6頁，包含單項選擇題（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.記正項數(shù)列的前項和為，且是等比數(shù)列，且，，則（）A.16 B.4 C.8 D.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.3.設(shè)數(shù)列各項非零，且平面的法向量為，直線的方向向量為，則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“平面平行于直線”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.記橢圓的左焦點和右焦點分別為，，右頂點為.過且傾斜角為30°的直線與橢圓的一個交點為，且在軸上的投影為.連接，的方向向量，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.5.如圖，正方形的邊長為14cm，，，，依次將，，，分為的兩部分，得到正方形，依照相同的規(guī)律，得到正方形、、…、.一只螞蟻從動身，沿著路徑爬行，設(shè)其爬行的長度為，為正整數(shù)，且與恒滿意不等式，則的最小值是（）A.19 B.20 C.21 D.226.已知數(shù)列，且，記其前項和為.若是公差為的等差數(shù)列，則（）A.200 B.20240 C.10500 D.101007.如圖1所示是素描中的由圓錐和圓柱簡潔組合體，抽象成如圖2的圖像.已知圓柱的軸線在平面內(nèi)且平行于軸，圓錐與圓柱的高相同.為圓錐底面圓的直徑，，且.若到圓所在平面距離為2.若，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.8.在寫生課上，離身高1.5m的絮語同學(xué)不遠的地面上水平放置著一個半徑為0.5m的正圓，其圓心與絮語同學(xué)所站位置距離2m.若絮語同學(xué)的視平面，，且，，則絮語同學(xué)視平面上的圖形的離心率為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，都有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯或不答的得0分.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知直線，，設(shè)兩直線分別過定點、，直線和直線的交點為，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線過定點，直線過定點 B.C.面積的最大值為5 D.若，，則恒滿意10.設(shè)平面直角坐標系中，雙曲線的左焦點為，且與拋物線有公共的焦點.若是上的一點，下列說法正確的是（）A.和不存在交點 B.若，則直線與相切C.若是等腰三角形，的坐標是D.若，則的橫坐標為11.數(shù)列是百余年前的發(fā)覺，在近代數(shù)論中有廣泛的應(yīng)用。數(shù)列是把中的分母不大于的分子與分母互質(zhì)的分數(shù)從小到大排成一列，該數(shù)列稱為階數(shù)列，記為，并記其全部項之和為.數(shù)列還有一個奇妙的性質(zhì).若設(shè)的相鄰兩項分別為，，則.下列關(guān)于數(shù)列說法正確的是（）A. B.數(shù)列中共有18項C.當時，的最中間一項肯定是 D.若中的相鄰三項分比為，，，則12.如圖1，《瀑布》是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是聞名的“三立方體合體”（圖2）.在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標系（原點為該正方體的中心，，，軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別圍著軸，軸，軸旋轉(zhuǎn)45°，得到的三個正方體，結(jié)合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”（圖7）.在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是（）A.設(shè)點的坐標為，，則B.設(shè)，則C.點到平面的距離為D.若為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，若兩個空，第一個空2分，其次個空3分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知，，且，則______.14.若數(shù)列和數(shù)列同時滿意，，，，則______，______.15.若，且在上，在圓上，則的最小值為______.16.已知圓的直徑上有兩點，，且有，為圓的一條弦，則的范圍是______.四、解答題：本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）平常所說的樂理，一般是指音樂理論中的基礎(chǔ)部分，關(guān)于基礎(chǔ)的音樂理論的著作浩如煙海，是學(xué)習(xí)音樂的必修課程.我們平常所說的樂理，一般是指音樂理論中的基礎(chǔ)部分，解決有關(guān)聲音的性質(zhì)、律制、記譜法、音樂的基本要素、音與音之間結(jié)合的基本規(guī)律等等，而記譜（和讀譜）的方法是其中很重要的一個部分。音樂是人類共同的語言.音樂中，我們常用音階描述音符音調(diào)凹凸的關(guān)系，即1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（sol），6（la），7（ti），i（do）.如圖，在鋼琴上，一個八度內(nèi)白鍵、黑鍵共有13個（不計入圖中最右側(cè)的半個黑鍵），相鄰琴鍵對應(yīng)的音符頻率比相等且1的頻率與的頻率比為2.（1）若兩音與的音程關(guān)系為一度，求兩音的頻率比；（2）利用“五度相生”可以構(gòu)造出被稱為“宮商角徵羽”的五聲音階.設(shè)1的頻率為，在1的基礎(chǔ)上不斷上升五度，生成新的音符，并為便利分辨新的音符，將生成的頻率大于的音降一個八度，請你利用五度相生的理論推斷出“宮商角徵羽”可能對應(yīng)的音符（無需一一對應(yīng)）.參考數(shù)據(jù)：1234567891011121.051.121.181.251.331.411.491.581.681.781.89218.（本小題滿分12分）已知拋物線，記其焦點為.設(shè)直線到在直線左側(cè)的拋物線上的一點的距離為，且.（1）求的方程；（2）如圖，過焦點作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若分別交于兩點，交拋物線于、兩點，證明：為定值.19.（本小題滿分12分）如圖，三棱錐中，，且平面平面，，設(shè)為平面的重心，為平面的重心.（1）棱可能垂直于平面嗎？若可能，求二面角的正弦值，若不行能，說明理由；（2）求與夾角余弦值的最大值.20.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，存在兩定點，與一動點.已知直線與直線的斜率之積為3.（1）求的軌跡；（2）記的左、右焦點分別為、.過定點的直線交于、兩點.若、兩點滿意，求的方程.21.（本小題滿分12分）（1）如圖，一個半徑為的圓在一條直線上無滑動地滾動，與軸的切點為，設(shè)，圓上一點.①設(shè)平行于軸的單位向量為，平行于軸的單位向量為，用表示；②在①的條件下，用題中所給字母表示，并以的形式寫出運動軌跡的方程.（2）如圖，設(shè)點在空間直角坐標系內(nèi)從起先，以的角速度圍著軸作圓周運動，同時沿著平行于軸向上作線速度為的勻速直線運動.用題中所給字母表示的運動軌跡的方程.22.（本小題滿分12分）已知平面直角坐標系內(nèi)一橢圓，記兩焦點分別為，，且.（1）求的方程；（2）設(shè)上有三點、、，直線、分別過，，連接.①若，求的面積；②證明：當面積最大時，必定經(jīng)過的某個頂點.蘇州市2024~2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研卷高二數(shù)學(xué)參考答案 2024.01一、單項選擇題：題號12345678答案CBDCCDCD1.【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，，，，因此，取，所以，，因此，，因此.2.【答案】B【解析】直線方程可化為，可知傾斜角滿意，因此.3.【答案】D【解析】若已知數(shù)列為等比數(shù)列，則可知，因此，所以可知，但無法得知是否在平面內(nèi)，因此充分性不成立；若已知平面平行于直線，則可知，依據(jù)定義，及即可得到，即，但不能認為為等比數(shù)列，即必要性不肯定成立.4.【答案】C【解析】畫出圖形：由于，可知，即.由此得到，，，所以離心率.5.【答案】C【解析】由題意可知，，.所以，因此由數(shù)學(xué)歸納的思想可知，.設(shè)數(shù)列，則，因此，選C.6.【答案】D【解析】簡潔得到的首項，因此，，將替換為，則有，兩式相減得.由于，，所以，可得，因此，所以.7.【答案】C【解析】設(shè)，.，，所以，，所以所以，，這里取，所以，，因此由余弦定理，.8.【答案】D【解析】畫出題中所述圖：可知圓在視平面上得到的是橢圓，且長軸長為圓的直徑，即通過相像關(guān)系，由及，代入數(shù)據(jù)：，，所以，所以，，所以.二、多項選擇題：題號9101112答案ABBDCDACD9.【答案】AB【解析】對于A，可化作，可發(fā)覺過定點，同理，過定點，A正確；對于B，可知恒成立，因此是以為直徑的圓上的點，依據(jù)定義，，B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，可知在圓上運動，設(shè)，而由題設(shè)，化簡可得，與的方程不符合，故D錯誤.10.【答案】BD【解析】對于A，聯(lián)立：，發(fā)覺有解，A錯誤；對于B，，因此的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得僅一解，B正確；對于C，不在拋物線上，故C錯誤；對于D，，，因此，解得D正確.11.【答案】CD【解析】對于A，每個數(shù)列內(nèi)同分母的全部項相加不等于1，也不成立，A錯誤；對于B，列舉可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19項，B錯誤；對于C，由于數(shù)列依據(jù)大小排列，因此中間一項肯定為，C正確；對于D，由于，，整理即可得到，D正確.12.【答案】ACD【解析】正方體棱長為2，面對角線長為，由題意，，，，旋轉(zhuǎn)后，，，，，，，，，，，，對于A，旋轉(zhuǎn)過程中，正方體的頂點到中心的距離不變，始終為，因此選項A中，，2，3，正確；，設(shè)，則，，，則存在實數(shù)，使得，，，，∴，B錯誤；，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，又，∴到平面的距離為，C正確；，設(shè)，，，，令，則∴，又，，所以，即，，所以，夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確.三、填空題：13. 14.； 15.1 16.13.【答案】【解析】，.14.【答案】；【解析】令前式-后式，化簡可得①，令前式+后式，化簡可得②由①，且，故是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.可得由②，且，故是首項為1，公比為的等比數(shù)列.可得所以.15.【答案】1【解析】如圖，等號在、、共線時取到.16.【答案】【解析】方法一：以方向為軸，為原點建立平面直角坐標系，則，，，.由于圓，故設(shè)，，則，化簡可得：，因此.令，則，等號可取.，令，則，等號可取.綜上，.方法二：由于，且.所以，所以.四、解答題：17.本題考查數(shù)列的定義及其數(shù)學(xué)文化，考察了學(xué)生數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理實力，本題滿分10分.解：（1）由題，若兩個音距離一個八度，則頻率比為2，所以若兩個音的音程為一度，半個音（即相鄰琴鍵）之間的頻率比為，……2分所以兩個成一度之間的音符頻率比為.……4分（2）通過五聲調(diào)式，可以先構(gòu)成一組“五聲調(diào)式”：，，，，，，…………6分將其中大于的降一個八度，即除以：，，，，，，…………9分依據(jù)參考數(shù)據(jù)可以估計得到，五個音分別為1，5，2，6，3.因此“宮商角徵羽”對應(yīng)的音高為1，2，3，5，6.……10分18.本題考察拋物線的定義，同時考察學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的實力，本題滿分12分.解：（1）設(shè)拋物線的準線的方程為，則可知，解得，……2分所以的方程為.……3分（2）作于，于.由拋物線定義，，，……5分又因為，，所以，，……8分由此，，，所以，，……10分所以，為定值.……12分19.本題考察空間向量的運算與應(yīng)用，考察學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的實力，本題滿分12分.解：（1）設(shè)中點為，連接，由于，因此，又因為平面平面，所以平面.以為原點作空間直角坐標系，則，，設(shè)，則.……2分所以，，.設(shè)平面的法向量為，則有，所以取，則.因為棱可能垂直于平面，所以，則，無解，所以不行能……4分（2）由重心的性質(zhì)，，同理，所以……7分，所以……8分設(shè)，令，則，……10分.令，，，則，因為，，所以，即，又因為，所以在上是減函數(shù)……11分因此，因此，求與夾角余弦值的最大值為.……12分20.本題考察雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，同時考察學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的實力，本題滿分12分.解：（1）設(shè)，由題意，化簡可得所以的軌跡為.……3分（不去點扣1分）（2）由向量積的幾何意義，作，垂足為.所以，因此，.……5分設(shè)，聯(lián)立：，可得二次方程判別式有，解得……6分由方程可得，，……7分由弦長公式……9分解得，，，……11分因此的方程為或.……12分（注：每少一個解扣1分）21.本題考察向量的綜合運用，同時考察學(xué)生數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等實力，本題滿分12分.解：（1）①.……2分②由題，，可以分解為.……4分所以，……5分因此的運動軌跡可以表示為.……6分（2）設(shè)該坐標系的基底為.……7分設(shè)在平面內(nèi)的投影為，所以由物理學(xué)學(xué)問，，.……8分由題設(shè)，可以將記作……10分因此類似（1）②中可以表示