2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)9.4拋物線及其性質(zhì)習(xí)題

.4拋物線及其性質(zhì)基礎(chǔ)篇固本夯基考點一拋物線的定義及標準方程1.(2024課標Ⅰ,4,5分)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=()A.2B.3C.6D.9答案C2.(2024屆南昌開學(xué)考,4)設(shè)F為拋物線C:x2=16y的焦點,直線l:y=-1,點A為C上隨意一點,過點A作AP⊥l于P,則||AP|-|AF||=()A.3B.4C.2D.不能確定答案A3.(2024北京,7,4分)設(shè)拋物線的頂點為O,焦點為F,準線為l,P是拋物線上異于O的一點,過P作PQ⊥l于Q,則線段FQ的垂直平分線()A.經(jīng)過點OB.經(jīng)過點PC.平行于直線OPD.垂直于直線OP答案B4.(2024山西晉中二模,7)已知點F是拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,O為坐標原點,A,B是拋物線E上的兩點,滿意|FA|+|FB|=10,FA+FB+FO=0,則p=()A.1B.2C.3D.4答案D5.(2024屆長春質(zhì)量檢測一,10)已知M是拋物線y2=4x上的一點,F是拋物線的焦點,若以Fx為始邊,FM為終邊的角,即∠xFM=60°,則|FM|等于()A.2B.433C.23答案D6.(2024屆河南溫縣一中月考,12)雙曲線C1:x2-y2=1和拋物線C2:y2=2px相交于點M,N,若△OMN的外接圓經(jīng)過點A72,0,則拋物線C2的方程為(A.y2=32xB.y2=xC.y2=xD.y2答案A7.(2024長春其次次質(zhì)檢,10)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點A(2,y0),F為焦點,直線FA交拋物線的準線于點M,滿意2FA=AM,則拋物線方程為()A.y2=8xB.y2=16xC.y2=24xD.y2=32x答案C8.(2024課標Ⅲ卷地區(qū)大聯(lián)考,9)已知拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,△ABC的三個頂點都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點,若BC邊所在的直線方程為x+4y-20=0,則拋物線方程為()A.y2=16xB.y2=8xC.x2=16yD.x2=8y答案C9.(2024屆湘豫名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,13)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,點P(4,4)在C上,則|PF|=.

答案510.(2024北京,18,14分)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).(1)求拋物線C的方程及其準線方程;(2)設(shè)O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.解析(1)由拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1),得p=2.所以拋物線C的方程為x2=-4y,其準線方程為y=1.(2)證明:拋物線C的焦點為F(0,-1).設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0).由y=kx-1,x2=-4y得x2+4kx-4=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2=-4,直線OM的方程為y=y1x1x.令y=-1,得點A的橫坐標xA=-x1y1.同理得點B的橫坐標xB=-x2y2.設(shè)點D(0,n),則DA=-x1y1,-1-n,DB=-x2y2,-1-n,DA·DB=x1x2y1y2+(n+1)211.(2024合肥一模,20)已知F是拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,直線l:y=k(x-m)(m>0)與拋物線E交于A,B兩點,與拋物線E的準線交于點N.(1)當k=1時,|AB|=42m+2,求拋物線E(2)是否存在常數(shù)k,對于隨意的正數(shù)m,都有|FA|·|FB|=|FN|2?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由y2=2px,y=k(x-m)消去y得∵l與拋物線E交于兩點,∴k≠0.又∵m>0,p>0,∴Δ=8k2mp+4p2>0恒成立,∴x1+x2=2m+2pk2,x1x2=m2.當k=1時,|AB|=(2)假設(shè)存在常數(shù)k滿意題意.∵拋物線E的方程為y2=2px(p>0),∴其焦點為Fp2,0,準線為x=-p2從而|FN|2=p2+k2m+p22.由拋物線的定義得,|FA|=x1+p2,|FB|=x2+p2,∴|FA|·|FB|=x1+p2·x2+p2=x1x由|FA|·|FB|=|FN|2得m+p22+p2k2=p2+k2·m∵m+p22>0,p2∴存在k=±1,使得|FA|·|FB|=|FN|2對于隨意的正數(shù)m都成立.考點二拋物線的幾何性質(zhì)1.(2024屆河南開封月考,5)一種衛(wèi)星接收天線如圖(1)所示,其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚集到焦點F處,如圖(2)所示.已知接收天線的口徑AB為4.8m,深度為1m.若P為接收天線上一點,則點P與焦點F的最短距離為()圖(1)圖(2)A.0.72mB.1.44mC.2.44mD.2.88m答案B2.(2024屆江西景德鎮(zhèn)一中月考,9)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,過拋物線上一點A作l的垂線,垂足為B.設(shè)C(2p,0),AF與BC相交于點D.若|CF|=|AF|,且△ACD的面積為922,則p的值為(A.2B.22C.3D.23答案D3.(2024課標Ⅱ,8,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓x23p+y2p=1的一個焦點A.2B.3C.4D.8答案D4.(2024課標Ⅲ,5,5分)設(shè)O為坐標原點,直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點,若OD⊥OE,則C的焦點坐標為()A.14,0B.12,0答案B5.(2017課標Ⅰ,10,5分)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條相互垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為()A.16B.14C.12D.10答案A6.(2024豫東豫北十所名校聯(lián)考四,11)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,M,N為拋物線上的兩點(與坐標原點不重合),MA⊥l于A,NB⊥l于B,已知MN的中點D的坐標為(2,1),△ABF與△MNF的面積比為2∶1,則p的值為()A.4B.3C.1D.1或1答案C7.(2024皖南八校聯(lián)考二,11)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(1,-2),經(jīng)過焦點F的直線l與拋物線C交于A,B兩點,A在x軸的上方,Q(-1,0),若以QF為直徑的圓經(jīng)過點B,則|AF|-|BF|=()A.23B.25C.2D.4答案D8.(2024北京,12,5分)已知拋物線C:y2=4x,C的焦點為F,點M在C上,若|FM|=6,則M的橫坐標是.

答案59.(2024陜西銅川3月模擬,15)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F(4,0),過點F作直線l交拋物線于M,N兩點,則|NF|9-4答案110.(2024屆河南平頂山月考,16)拋物線C:x=2py2(p>0)的焦點F到準線的距離為2,過點F的直線與C交于A,B兩點,C的準線與x軸的交點為M,若△MAB的面積為32,則|AF||答案2或1考點三直線與拋物線的位置關(guān)系1.(2024屆云南玉溪月考,7)已知直線l過拋物線C:y2=x的焦點,并交拋物線C于A,B兩點,|AB|=2,則弦AB中點G的橫坐標是()A.32B.43C.3答案C2.(2024貴州4月適應(yīng)性測試,9)已知拋物線C:y2=2px(p>0),傾斜角為π6的直線交C于A,B兩點.若線段AB中點的縱坐標為23,則p的值為(A.12B.1C.2答案C3.(2024非凡吉創(chuàng)3月聯(lián)考,10)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且斜率為k的直線l交拋物線于A、B兩點,分別以FA、FB為直徑作☉M、☉N,不過F點的☉M、☉N的兩條公切線交于點Q,兩公切線分別切☉M于S、T,∠SQT=60°,則k=()A.±1B.±2C.±3D.±2答案C4.(2024課標Ⅰ,8,5分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點,則FM·FN=(A.5B.6C.7D.8答案D5.(2024新高考Ⅰ,13,5分)斜率為3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點,且與C交于A,B兩點,則|AB|=.

答案166.(2024課標Ⅰ,19,12分)已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為32的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解析設(shè)直線l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2(1)由題設(shè)得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+由題設(shè)可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,則x1+x2=-12(t-1)9.從而-12(t-1)9(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x7.(2024屆云南玉溪月考,20)已知拋物線E:y2=2px(p>0),過點P(3,0)的直線l交拋物線E于A,B,且OA·OB=-3(O為坐標原點).(1)求拋物線E的方程;(2)過P作與直線l垂直的直線m交拋物線E于C,D,求四邊形ACBD面積的最小值.解析(1)設(shè)直線l的方程為x=ty+3,代入E:y2=2px整理得y2-2pty-6p=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=2pt,y1y2=-6p,所以x1x2=(y1y2)24p2=(-6p)24p2=9.由OA·OB=-3得x1x2(2)由(1)得y1+y2=4t,y1y2=-12,則|AB|=1+t2·(4t)2+48=41+t2·t2+3,因為AB⊥CD,所以|CD|=4·1+1t2·1t2+3(t≠0).所以S四邊形ACBD=12|AB|·|CD|=82+t2+1t2·10+3t2+1t2,令t2+8.(2024屆陜西洛南中學(xué)月考,20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點與橢圓M:x24+y2(1)求拋物線C的方程;(2)直線y=x+m與拋物線C交于A,B兩點,當m為何值時,以AB為直徑的圓,恒過原點O?解析(1)由題意得,p2=1,所以p=2,所以拋物線的方程為y2(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=x+m,y2=4x,可得x2+2(m-2)x+m2=0,所以x1+x2=4-2m,x1x2=m2,由Δ=4(m-2)2-4m2>0,解得m<1,又以AB為直徑的圓,恒過原點O,則OA⊥OB,可得OA·OB=0,即OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2+4m=0,解得m=-4或m=0,所以當m=-4或綜合篇知能轉(zhuǎn)換考法一利用拋物線的定義解題1.(2024豫北六校1月聯(lián)考,5)已知圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則圓C的圓心的軌跡為()A.雙曲線B.橢圓C.直線D.拋物線答案D2.(2024九師聯(lián)盟第三次聯(lián)考,10)已知點M(-4,-2),拋物線x2=4y,F為拋物線的焦點,l為拋物線的準線,P為拋物線上一點,過P作PQ⊥l,點Q為垂足,過P作拋物線的切線l1,l1與l交于點R,則|QR|+|MR|的最小值為()A.1+25B.25C.17D.5答案D3.(2024鄭州一中等名校4月聯(lián)考,8)已知過拋物線x2=12y的焦點F的弦與拋物線的兩交點A,C在直線y=-3上的射影分別為點B,D,且|AF|=3|CF|,則△BFD的面積為()A.83B.123C.243D.483答案C4.(2024屆安徽江淮十校聯(lián)考一,11)已知拋物線y2=2px(p>0),F為焦點,直線過焦點F與拋物線交于A,B兩點,O為原點,△AOB的面積為S,且|AB|=4|BF|=33S,則p=(A.2B.4C.6D.8答案D5.(2024屆新疆克拉瑪依模擬三,11)2024年是中國傳統(tǒng)的“?！蹦?可以在平面直角坐標系中用拋物線與圓勾畫出牛的形象.已知拋物線Z:x2=4y的焦點為F,圓F:x2+(y-1)2=4與拋物線Z在第一象限的交點為Pm,m24,直線l:x=t(0<t<m)與拋物線Z的交點為A,直線l與圓F在第一象限的交點為B,則△FABA.(3,5)B.(4,6)C.(5,7)D.(6,8)答案B6.(2024屆新疆莎車一中期中,15)過拋物線C:y2=4x的焦點F的動直線交C于A,B兩點,線段AB的中點為N,點P(12,4).當|NA|+|NP|的值最小時,點N的橫坐標為.

答案97.(2017課標Ⅱ,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=.

答案68.(2024新高考Ⅰ,14,5分)已知O為坐標原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準線方程為.

答案x=-3考法二直線與拋物線的位置關(guān)系問題1.(2024長春第一次質(zhì)檢,10)已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點F的直線l與拋物線交于A,B兩點(點A在第一象限),且AB=4FB,則直線l的傾斜角為()A.π6B.π4C.π3答案C2.(2024成都二模,11)已知F為拋物線y2=2x的焦點,A為拋物線上的動點,點B(-1,0).當2|AB|2|AF|+1取最大值時A.2B.5C.6D.22答案C3.(2024課標Ⅲ,16,5分)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°,則k=.

答案24.(2024屆廣西開學(xué)考,20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M為拋物線C上一點,|MF|=8,且∠OFM=2π3(O為坐標原點(1)求拋物線C的方程;(2)過點F的直線l與拋物線C交于A,B兩點,求△AOB面積的最小值.解析(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為Fp2,0,準線方程為x=-p2,過點M作準線的垂線,垂足為N,過點M作x軸的垂線,垂足為由題意得|MF|=|MN|=p+|MF|·cos60°,即8=p+4,解得p=4,故拋物線C的方程為y2=8x.(2)焦點F(2,0),由題意知直線l斜率不為0,設(shè)直線l方程為x=ty+2,由x=ty+2,y2=8x,消去x得y2-8ty-16=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1+y2=8t,y1y2=-16,|AB|=1+t2|y1-y2|,又坐標原點到直線l的距離d=21+t2,所以S△AOB=12·d|AB|=|y1-y2|=(y1+5.(2024屆山西長治月考,20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,且點F與圓M:(x+4)2+y2=1上點的距離的最小值為4.(1)求C的方程;(2)設(shè)點T(1,1),過點T且斜率存在的兩條直線分別交曲線C于A,B兩點和P,Q兩點,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.解析(1)由題意知,圓心為M(-4,0),半徑為1,Fp2,0,∴p2+4-1=4,∴p=2,故拋物線方程為y2=4x.(2)由題意設(shè)直線AB的方程為y=k1(x-1)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=k1(x-1)+1得k12x2-(2k12-2k1+4)x+(k1-1)2=0,x1+x2=2k12-2k1+4k12,x1x2=(k1-1)2k1設(shè)直線PQ的方程為y=k2(x-1)+1(k2≠k1),同理可得|TP||TQ|=3(1+k22)k22,由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得3(1+k12)k12=3(1+k12)k26.(2024屆貴州部分重點中學(xué)聯(lián)考,21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)上的點P(x0,1)到其焦點F的距離為2.(1)求拋物線C的方程及點F的坐標;(2)過拋物線C上一點Q作圓M:x2+(y-3)2=4的兩條斜率都存在的切線,分別與拋物線C交于異于點Q的A,B兩點.證明:直線AB與圓M相切.解析(1)由題意,可得|PF|=1+p2=2,解得p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y,焦點為(2)證明:由圓M:x2+(y-3)2=4,可得圓心M(0,3),半徑r=2,設(shè)