2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練11 平面向量（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練11平面向量[考情分析]1.平面向量是高考的熱點和重點，命題突出向量的基本運算與工具性，在解答題中常與三角函數(shù)、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題相結(jié)合，主要以條件的形式出現(xiàn)，涉及向量共線、數(shù)量積等.2.常以選擇題、填空題的形式考查平面向量的基本運算，中低等難度；平面向量在解答題中一般為中等難度．【練前疑難講解】一、平面向量的線性運算常用結(jié)論：(1)已知O為平面上任意一點，則A，B，C三點共線的充要條件是存在s，t，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝seq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))，且s＋t＝1，s，t∈R.(2)在△ABC中，AD是BC邊上的中線，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(3)在△ABC中，O是△ABC內(nèi)一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O是△ABC的重心．二、平面向量的數(shù)量積1．若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).三、平面向量的綜合運算解決向量的綜合性問題時，根據(jù)向量的幾何意義或者數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運算研究最值問題及圖形的幾何性質(zhì)．一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林延邊·一模）如圖，在中，，為上一點，且，若，則的值為（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東·一模）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若與的夾角為，則D．若與方向相反，則在上的投影向量的坐標(biāo)是4．（2022·廣東·二模）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，且，點E為上的任意一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為0三、填空題5．（2022·上海虹口·二模）已知向量，滿足，，，則.6．（2023·上海楊浦·三模）對任意兩個非零的平面向量和，定義，若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中，則【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·山西朔州·一模）已知，且，則（

）A． B． C．4 D．2．（2023·廣東茂名·一模）在中，，，若點M滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽·一模）在三角形中，，，，則（

）A．10 B．12 C． D．4．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．25．（2023·重慶·模擬預(yù)測）在正方形中，動點從點出發(fā)，經(jīng)過，，到達(dá)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．7．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，如果，，，則（

）A． B．16 C． D．208．（2023·福建福州·二模）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·河北·模擬預(yù)測）下列命題不正確的是（

）A．若，則B．三個數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是C．向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使D．已知命題時，，則命題的否定為：時，10．（2023·廣東汕頭·二模）在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．11．（22-23高一下·浙江衢州·階段練習(xí)）已知向量，，則正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為鈍角，則 D．若向量是與同向的單位向量，則三、填空題12．（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知向量，且，則.13．（22-23高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)平面向量，的夾角為，且，則在上的投影向量是.14．（21-22高一下·北京·階段練習(xí)）如圖，四邊形為平行四邊形，，若，則的值為．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·陜西銅川·一模）已知單位向量，的夾角為，向量，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．22．（2022·全國·一模）如圖，在△中，點M是上的點且滿足，N是上的點且滿足，與交于P點，設(shè)，則（）A． B．C． D．3．（2022·山東煙臺·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．14．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）在中，點滿足與交于點，若，則（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．166．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）在中，點是邊的中點，且，點滿足（），則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài).若與的夾角為45°，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（

）A． B． C． D．1二、多選題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，且，的夾角為，點P在以O(shè)為圓心的圓弧上運動，若，x，，則的值可能為（

）A．2 B． C． D．110．（2023·福建·一模）平面向量滿足，對任意的實數(shù)t，恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．為定值C．的最小值為 D．在上的投影向量為11．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知向量，，則（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向