2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第11講　極值點偏移問題解析版

第11講極值點偏移問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 5【考點一】對稱化構(gòu)造函數(shù) 5【考點二】比值代換 17【專題精練】 26考情分析：極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，解決極值點偏移問題，有對稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨具特色．真題自測真題自測一、解答題1．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.參考答案：1．（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)f(x)的定義域為．由得，，當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故f(x)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，g(x)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.考點突破考點突破【考點一】對稱化構(gòu)造函數(shù)一、單選題1．（2023·四川瀘州·二模）已知兩個不相等的正實數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（22-23高三上·湖北·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的方程有兩個不等的實根，且，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2022·吉林·三模）已知函數(shù)的極大值點為0，則實數(shù)m的值為；設(shè)，且，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題6．（2023·山東泰安·二模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，討論方程解的個數(shù)；(2)當(dāng)時，有兩個極值點，，且，若，證明：（i）；（ii）.7．（22-23高二下·遼寧·期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.參考答案：題號1234答案CDADABD1．C【分析】先利用同構(gòu)法與構(gòu)造函數(shù)，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖像即可排除AD，利用特殊值計算即可排除B，再利用極值點偏移的解決方法即可判斷C.【詳解】因為，，所以，則，即，令，則，，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增,所以，對于，總有，即在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立，所以對于，對于任意，在上取，則，所以當(dāng)且趨向于0時，趨向于無窮大，當(dāng)趨向于無窮大時，趨向于無窮大，趨向于0，故趨向于無窮大，所以的大致圖像如圖所示：.對于AD，因為，，不妨設(shè)，由圖象可知，，故，故AD錯誤；對于B，假設(shè)成立，取，則，顯然不滿足，故B錯誤；對于C，令，又，則，所以在上單調(diào)遞增，又，則，即，又，則，因為，所以，又，在上單調(diào)遞增，所以，即，故C正確.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的解題關(guān)鍵在于利用同構(gòu)法轉(zhuǎn)化等式，從而構(gòu)造函數(shù)，并研究其圖像的性質(zhì)，由此判斷得解.2．D【分析】根據(jù)零點可將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，求導(dǎo)即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的大致圖象，即可根據(jù)圖象求解A，根據(jù)極值點偏移，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解B，根據(jù)可得，即可求解C，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由可得，令，其中，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為1,+∞，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故A錯誤；由圖可知，，因為，由f'x>0可得，由f'x所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則必有，所以，，則，令，其中，則，則函數(shù)hx在上單調(diào)遞減，所以，，即，即，又，可得，因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則，即，故B錯誤；由，兩式相加整理可得，所以，，可得，故C錯誤；由圖可知，則，又因為，所以，，故D正確.故選：D.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).3．AD【分析】A.先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到A選項.B.先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而可知B選項錯誤.C.通過，得到，進(jìn)而可得與的大小關(guān)系,進(jìn)而可知C選項錯誤.D.與C選項同樣的方法即可判斷.【詳解】A.

令則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.令則，所以在上單調(diào)遞減，且

即

故選項A正確B.

令則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故.令所以在上單調(diào)遞減，且

即

故選項B錯誤C.

又在單調(diào)遞增

故選項C錯誤D.由C可知，

又在單調(diào)遞減

故選項D正確故選：AD4．ABD【分析】由已知與有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合圖象確定的范圍，判斷A，要證明只需證明，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性只需證明，故構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論，判斷B，利用比差法比較，判斷C，利用的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)證明，判斷D.【詳解】方程，可化為，因為方程有兩個不等的實根，所以與有兩個不同的交點，令，則，令，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，故，當(dāng)時，，，根據(jù)以上信息，可得函數(shù)的大致圖象如下：，且，故A正確．因為，構(gòu)造，，在上單調(diào)遞增，，，即，由在單調(diào)遞增所以，故B正確．對于C，由，，所以，又，所以，則，所以，故C錯誤．對于D，由，可得，所以，D正確．故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．5．1【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，從而求出，令，即可得到，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)草圖，即可得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得解；【詳解】解：，則，則，解得，此時，，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上的單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，則在處取極大值，符合題意；令，則構(gòu)造函數(shù)，則．因為，所以當(dāng)時h'x>0，當(dāng)時h'即hx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，又易知的圖象如圖所示：不妨令，令∵∴在上單調(diào)遞增，即∵，∴，即∵，∴∵在上單調(diào)遞減，∴故答案為：1；6．(1)答案見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（1）方法1，由，可得，后令，利用導(dǎo)數(shù)知識可得其值域即可知解的情況；方法2，，利用導(dǎo)數(shù)知識可知時，的單調(diào)性與零點情況，又利用可知當(dāng)時，，即可得解的情況；（2）（i）由題可得，由結(jié)合單調(diào)性可得，后通過構(gòu)造可證；（ii）由（i）可知，后說明，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）方法一：，.設(shè)，則.設(shè)，則，單調(diào)遞減.，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減.，當(dāng)時，方程有一解，當(dāng)時，方程無解；方法二：設(shè)，則.設(shè)，則.單調(diào)遞增當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.，方程有一解.當(dāng)時，.令,令，則在上單調(diào)遞增，又，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.即，無解，即方程無解.綜上，當(dāng)時，方程有一解，當(dāng)時，方程無解．（2）（i）當(dāng)時，，則，，是方程的兩根.設(shè)，則，令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，當(dāng)時，，，.由.令，，，.等價于.設(shè)，，則，單調(diào)遞增，，，即，，綜上，；（ii）由（i）知，，..由（i）知，，設(shè)，，則.單調(diào)遞減，，即..設(shè)，，則.單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，.，，即命題得證.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題涉及討論函數(shù)零點及極值點偏移問題.對于零點問題，常利用分離參數(shù)法和研究函數(shù)單調(diào)性解決，還可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點問題；對于極值點偏移問題，關(guān)鍵是將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞?，常利用引入?yún)?shù)或不等關(guān)系構(gòu)造新函數(shù)證明結(jié)論.7．(1)結(jié)論見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類探討的正負(fù)作答.（2）等價變形給定等式，結(jié)合時函數(shù)的單調(diào)性，由，，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得則，由得，若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，兩邊取對數(shù)得，即，由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，時，恒成立，因此當(dāng)時，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，又，則有，則，所以.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)的雙零點問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).規(guī)律方法：對稱化構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)(1)對結(jié)論x1＋x2>2x0型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．(2)對結(jié)論x1x2>xeq\o\al(2,0)型，方法一是構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式；方法二是兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成lnx1＋lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成兩變量即可．【考點二】比值代換一、解答題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，，且，求證：．2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個零點，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）設(shè)，為函數(shù)（）的兩個零點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：．5．（2023·陜西安康·二模）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時，恰好存在一條過原點的直線與，都相切，求b的值；(2)若，方程有兩個根，（），求證：．參考答案：1．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域是0,+∞，，當(dāng)時，f'x<0，所以在0,+當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，f'x>0，單調(diào)遞增；當(dāng)時，f'x<0綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為0,+∞，無增區(qū)間；當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因為是函的兩個零點，由（1）知，因為，設(shè)，則，當(dāng)x∈0,1，，當(dāng)x∈1,+∞，所以在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，．又因為，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因為，所以在1,+∞上單調(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因為，所以φx在上單調(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題．2．(1)函數(shù)的極值點有且僅有一個(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后分和兩種情況對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，即可得到答案；（2）由可得（*），通過證明單調(diào)遞增，（*）轉(zhuǎn)化為，接著證明成立，即可求解【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，不存在極值點；當(dāng)時，令，則總成立，故函數(shù)即在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故在上存在唯一極值點，綜上，當(dāng)時，函數(shù)的極值點有且僅有一個．（2）由知，整理得，（*），不妨令，則，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有，即，那么，因此，（*）即轉(zhuǎn)化為，接下來證明，等價于證明，不妨令（），建構(gòu)新函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，所以，故即得證，由不等式的傳遞性知，即．【點睛】思路點睛：應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.3．(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）多次求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化有三個不等實根，從而構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)即可得；（ii）借助的單調(diào)性，得到，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，從而將三個變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，即可構(gòu)造函數(shù)，證明其在上大于即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，令，，令，可得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）（i）有三個零點，即有三個根，由不是該方程的根，故有三個根，且，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，時，，故時，有三個根；（ii）由在上單調(diào)遞增，，故，由（i）可得，且，即只需證，設(shè)，則，則有，即有，故，，則，即，即只需證，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即得證.【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和極值情況，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)，得到，求出，結(jié)合題目條件，得到當(dāng)時，，根據(jù)零點存在性定理得到在內(nèi)存在唯一零點，同理得到在內(nèi)存在唯一零點，從而求出答案；（2）設(shè)，由可得，令，故，，推出要證，即證，構(gòu)造，，求導(dǎo)，對分子再構(gòu)造函數(shù)，證明出，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，證明出結(jié)論.【詳解】（1）的定義域為R，，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故要使有兩個零點，則需，故，由題目條件，可得，當(dāng)時，因為，又，故在內(nèi)存在唯一零點，又，故在內(nèi)存在唯一零點，則在R上存在兩個零點，故滿足題意的實數(shù)的取值范圍為；（2）證明：由（1）可設(shè)，由可得，令，則，所以，故，所以，要證，即證，即證，因為，即證，即，令，，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，所以，所以，令得，故，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，，，則，證畢．【點睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方5．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題可求得過原點的與相切的直線方程：，后利用切點即在圖像上，也在切線上，可求得相應(yīng)切點橫坐標(biāo)，后由切線斜率為1可求得b；（2）由題可得有兩個根，令，則可得方程有兩個根，則.通過令，，可將證明，轉(zhuǎn)化為證明，后構(gòu)造函數(shù)，，通過其單調(diào)性可證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，，設(shè)直線與的切點為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，故切線斜率為1，則切線方程為.又，，設(shè)直線與的切點為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，又切線斜率為1，則；（2）當(dāng)時，，則由題可得有兩個根，令，則可得方程有兩個根，則.令，，則，.注意到，則構(gòu)造函數(shù)，.因，則在上單調(diào)遞增，得.故命題得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及函數(shù)切線方程與極值點偏移問題，難度較大.（1）問解題關(guān)鍵為注意到切點即在函數(shù)圖像上，也在切線上.（2）問為極值點偏移問題，解題關(guān)鍵為將雙變量消元為單變量，常構(gòu)造差函數(shù)或以兩變量之差，之商構(gòu)造函數(shù)以達(dá)到消元目的.規(guī)律方法：比值代換法是指通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·四川成都·一模）已知，且，則下列說法正確的有（

）①；②；③；

④.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④3．（22-23高三上·河北衡水·期末）已知，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若恒成立，則B．當(dāng)時，的零點只有個C．若函數(shù)有兩個不同的零點，則D．當(dāng)時，若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是5．（2023·湖南永州·二模）已知，，，，則有（

）A． B．C． D．6．（2021·山東德州·二模）已知函數(shù)，則（

）A．B．若有兩個不相等的實根、，則C．D．若，x，y均為正數(shù)，則7．（2023·河北衡水·一模）直線：與的圖象交于、兩點，在A?B兩點的切線交于，的中點為，則（

）A． B．點的橫坐標(biāo)大于1C． D．的斜率大于08．（22-23高三·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A．在上是增函數(shù)B．，不等式恒成立，則正實數(shù)的最小值為C．若有兩個零點，則D．若，且，則的最大值為三、解答題9．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個根，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：．10．（2022·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若有兩個零點，的取值范圍；(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.11．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；12．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．13．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.(1)求的取值范圍；(2)記兩個極值點為，且.若，證明：.14．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若，求證：參考答案：題號12345678答案DBDBCBCDADBCABD1．D【分析】先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到A選項；先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而可知B選項錯誤；通過，得到，進(jìn)而可得與的大小關(guān)系,進(jìn)而可知C選項錯誤；D與C選項同樣的方法即可判斷.【詳解】對于A，，，令,則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.令則，所以在上單調(diào)遞減，且，，，，

即,故選項A錯誤；對于B，，

令，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故.令所以在上單調(diào)遞減，且，，，，，，即，故選項B錯誤；對于C，，，

，又在單調(diào)遞增，，，故選項C錯誤；對于D，由C可知，，又在單調(diào)遞減，，故選項D正確.故選：D.2．B【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性后可判斷①②④正負(fù)，利用極值點偏移可判斷③的正誤.【詳解】令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，，故，而，故，故①錯誤.又，故，故②正確，此時，故④正確.設(shè)，則（不恒為零），故在上為增函數(shù)，故，必有即，所以，即，由的單調(diào)性可得即，故③成立.故選：B.【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等關(guān)系的討論，注意根據(jù)等式或不等式的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，并結(jié)合單調(diào)性來比較大小關(guān)系，在不等式關(guān)系的討論中，注意利用極值點偏移來處理大小關(guān)系.3．D【分析】變形a，b，構(gòu)造函數(shù)比較a，b的大小，構(gòu)造函數(shù)比較的大小，利用極值點偏移的方法判斷的大小作答.【詳解】依題意，，，令，，當(dāng)時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，因此，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，而，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然，則方程有兩個不等實根，，有，，而，則有，令，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，因此，即有，而，在上單調(diào)遞增，于是得，即，取，，于是得，又，在上單調(diào)遞增，從而，所以，D正確.故選：D【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.4．BC【分析】采用分離變量法可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，從而得到，知A錯誤；根據(jù)恒成立可知單調(diào)遞增，利用零點存在定理可說明存在唯一零點，知B正確；要得到，只需得到，可化簡得到，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可說明，即可判斷C正確；將恒成立的不等式變形為，根據(jù)單調(diào)遞增可得，即，利用導(dǎo)數(shù)的知識即可判斷D錯誤.【詳解】對于A，定義域為，由得：，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，A錯誤；對于B，定義域為，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，當(dāng)時，有且僅有一個零點，B正確；對于C，，，；要證，只需證，即證，不妨令，則只需證，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，即恒成立，，C正確；對于D，當(dāng)時，由得：，即，；令，則，在上單調(diào)遞增，由得：，；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，D錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題、零點個數(shù)問題和極值點偏移的問題；本題D選項中恒成立問題求解的關(guān)鍵是能夠利用同構(gòu)法，將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)不同函數(shù)值的大小關(guān)系比較問題，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到自變量的大小關(guān)系，從而化簡恒成立的不等式.5．BCD【分析】令，，求導(dǎo)可求得的單調(diào)性，利用極值點偏移的求解方法可求得AB正誤；由，可確定，結(jié)合單調(diào)性可得CD正誤.【詳解】令，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且；若，則，令，則，當(dāng)時，，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，即，又，，，，，，在上單調(diào)遞增，，即，A錯誤；，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且；由得：；設(shè)，，則；當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，，即，又，，又，，，，在上單調(diào)遞增，，即，B正確；，，，，又，，在上單調(diào)遞減，，則，C正確；，又，，在上單調(diào)遞增，，則，D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題，處理極值點偏移問題中的類似于（）的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.6．AD【分析】A：代入直接計算比較大??；B：求的導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性，可得當(dāng)有兩個不相等實根時、的范圍，不妨設(shè)，則有，比較的大小關(guān)系，因為，可構(gòu)造，求導(dǎo)求單調(diào)性，計算可得成立，可證；C：用在上單調(diào)遞增，構(gòu)造可證明；D：令，解出，，做差可證明.【詳解】解：對于A：，又，，，所以，則有，A正確；對于B：若有兩個不相等的實根、，則，故B不正確；證明如下：函數(shù)，定義域為，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則且時，有，所以若有兩個不相等的實根、，有，不妨設(shè)，有，要證，只需證，且，又，所以只需證，令則有當(dāng)時，，，所以有，即在上單調(diào)遞增，且，所以恒成立，即，即，即.對于C：由B可知，在上單調(diào)遞增，則有，即，則有，故C不正確；對于D：令，則，，，，，故D正確；故選：AD.【點睛】知識點點睛：（1）給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大??；（2）極值點偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.7．BC【分析】通過為兩函數(shù)圖象交點，轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個不同的交點，研究的圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷A；聯(lián)立兩條切線求得點的橫坐標(biāo)，利用極值點偏移思想可求得之間關(guān)系，即可判斷B；通過構(gòu)造函數(shù)建立之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)兩根之間距離問題可判斷C正確；化簡，結(jié)合前面的條件可判斷D.【詳解】對A，因為直線與曲線交于、兩點，有兩個不同正根，即直線與曲線有兩個不同的交點.在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，故A錯誤.對B，由題意得，，設(shè)令在單調(diào)遞減.，在單調(diào)遞減，.，又，.的方程：，的方程：，聯(lián)立可解得，故選項B正確.對C，設(shè)，，，且，，設(shè),，，，，是的兩個根，是方程的兩根，，所以C正確.對D，，，可以利用對數(shù)均值不等式證明如下：對數(shù)均值不等式：，，，，，，，即<1,，.所以D錯誤.故選：BC【點睛】函數(shù)綜合問題的處理，要通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象尋找等與不等關(guān)系，研究問題需要探究的結(jié)論，選擇題還要注意特值，驗證，排除等方法的靈活運(yùn)用.8．ABD【分析】A選項中，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本原則可知A正確；B選項中，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，由此可將恒成立的不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由可知B正確；C選項中，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由此確定，若，可等價轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，知，可得C錯誤；D選項中，采用同構(gòu)法將已知等式化為，從而可確定，結(jié)合單調(diào)性得到，由此化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值，知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，，令，則，，，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上為增函數(shù)，A正確；對于B，當(dāng)時，，又為正實數(shù)，，，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，則由得：，即，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，則正實數(shù)的最小值為，B正確；對于C，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則；不妨設(shè)，則必有，若，則，等價于，又，則等價于；令，則，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，即，，可知不成立，C錯誤；對于D，由，得：，即，由C知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，，則，，，即，；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為，D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：本題C選項考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題；處理極值點偏移中的類似于（）的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.9．(1)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(2)見解析【分析】（1）求出f'（2）由，得，設(shè)，畫出的圖象可得；由，設(shè)，對hx求導(dǎo)可得，又，再由在1,+∞上單調(diào)遞減，可得，即可證明.【詳解】（1）由題意可得，所以，的定義域為0,+∞，又，由，得，當(dāng)時，f'x>0，則在0,1當(dāng)時，f'x<0，則在1,+（2）由，得，設(shè)，，由，得，當(dāng)時，，則在0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在1,+∞上單調(diào)遞減，又，，且當(dāng)趨近于正無窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當(dāng)時，方程有兩個根，證明：不妨設(shè)，則，，設(shè)，，所以hx在0,+∞又h1=0，所以，即，又，所以，又，，在1,+∞上單調(diào)遞減，所以，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）解此問的關(guān)鍵在于求出的導(dǎo)數(shù)，并能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號結(jié)合相關(guān)知識判斷出單調(diào)性；（2）解此問的關(guān)鍵在于把轉(zhuǎn)化為來證，又，構(gòu)造，對hx求導(dǎo)，得到hx的單調(diào)性和最值可證得，即可證明.10．(1)(2)證明見解析【分析】（1）分析可知，由參變量分離法可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍；（2）令，其中，令，，分析可知關(guān)于的方程也有兩個實根、，且，設(shè)，將所求不等式等價變形為，令，即證，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為.當(dāng)時，函數(shù)無零點，不合乎題意，所以，，由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，由可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：且當(dāng)時，，由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故實數(shù)的取值范圍是.（2）證明：因為，則，令，其中，則有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為方程有兩個實根、，令，，則關(guān)于的方程也有兩個實根、，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，，整理可得，不妨設(shè)，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故原不等式成立.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).11．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，是方程的兩不等實根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實根，即可得到和的范圍，原不等式等價于，即極值點偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域為.由得：，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因為是方程的兩不等實根，，即是方程的兩不等實根，令，則，即是方程的兩不等實根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時，；當(dāng)時，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，