2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第1講　空間幾何體解析版

第1講空間幾何體（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)一】空間幾何體的折展問(wèn)題 8【考點(diǎn)二】表面積與體積 15【考點(diǎn)三】多面體與球 22【專題精練】 30考情分析：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·天津·高考真題）一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023·全國(guó)·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．8．（2024·全國(guó)·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為,，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為．參考答案：題號(hào)123456答案CBACBB1．C【分析】采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個(gè)棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【詳解】用一個(gè)完全相同的五面體（頂點(diǎn)與五面體一一對(duì)應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，因?yàn)?，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，.故選：C.2．B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長(zhǎng)為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.3．A【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個(gè)小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A4．C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因?yàn)椋?，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.5．B【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取AB中點(diǎn)，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B6．B【分析】分別過(guò)作,垂足分別為.過(guò)作平面，垂足為，連接,過(guò)作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過(guò)作,垂足分別為.過(guò)作平面，垂足為，連接,過(guò)作,垂足為.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?又因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面，?在中，因?yàn)?，所以，所以，在中，因?yàn)椋?，所?故選：B7．2357.5/【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個(gè)圓柱的高度.【詳解】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.8．【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為，，所以.故答案為：.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】空間幾何體的折展問(wèn)題核心梳理：空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖(1)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形．(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形．(3)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)．一、單選題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當(dāng)與AD所成角最大時(shí)，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·三模）如圖，已知圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，該橢圓的長(zhǎng)軸為圓柱的軸截面對(duì)角線，短軸長(zhǎng)等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線展開(kāi)，則橢圓曲線在展開(kāi)圖中恰好為一個(gè)周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對(duì)應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（

）

A． B．1 C． D．2二、多選題3．（2024·云南昆明·一模）在矩形中，，，以對(duì)角線BD為折痕將△ABD進(jìn)行翻折，折后為，連接得到三棱錐，在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐體積的最大值為 B．點(diǎn)都在同一球面上C．點(diǎn)在某一位置，可使 D．當(dāng)時(shí)，4．（22-23高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐的平面展開(kāi)圖中，四邊形ABCD為直角梯形，，，.在四棱錐中，則（

）A．平面PAD⊥平面PBDB．AD平面PBCC．三棱錐P-ABC的外接球表面積為D．平面PAD與平面PBC所成的二面角的正弦值為三、填空題5．（2023·陜西西安·一模）將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點(diǎn)在同一球的球面上，則球的表面積為.6．（20-21高三上·廣東·階段練習(xí)）一個(gè)圓錐的表面積為，其側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，當(dāng)此圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面與圓錐的底面在同一個(gè)平面內(nèi)）的側(cè)面積達(dá)到最大值時(shí)，該內(nèi)接圓柱的底面半徑為.參考答案：題號(hào)1234答案ABABDAC1．A【分析】根據(jù)異面直線所成角、錐體體積公式等知識(shí)求得正確答案.【詳解】因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，故當(dāng)時(shí)，與AD所成角最大，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，而平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在直角三角形中，，而，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】異面直線所成角的范圍是，當(dāng)兩條直線所成角為時(shí)，兩直線平行或重合.求解錐體體積的問(wèn)題，可以考慮利用轉(zhuǎn)換定點(diǎn)的方法，然后利用體積公式來(lái)求得三棱錐的體積.2．B【分析】由題意可得且，由離心率的概念可得，結(jié)合勾股定理計(jì)算可得，進(jìn)而求解.【詳解】由題意，橢圓曲線在展開(kāi)圖中恰好為函數(shù)圖象的一部分，可得；設(shè)圓柱底面半徑為，則，所以，設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，因?yàn)殡x心率為，得，則，即，所以，得，又由勾股定理得，解得，故.故選：B.

3．ABD【分析】根據(jù)錐體體積公式即可求解A，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解B，根據(jù)線面垂直得線性垂直即可求解CD.【詳解】如圖所示：分別過(guò)作，

對(duì)A，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的高最大為，三棱錐體積的最大值為，A正確；對(duì)B，，的中點(diǎn)為，則,故為三棱錐的外接球球心，B正確；對(duì)C，若存在點(diǎn)在某一位置，使，連接，由于，，平面，則平面，又平面，，這與相矛盾,不重合），不存在點(diǎn)在某一位置，使，C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)，又，，平面,平面，又平面，，又，，，D正確．故選：ABD．4．AC【分析】由平面圖還原立體圖,由面面的垂直的判定定理判斷選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面平行的空間向量法判定即可判斷選項(xiàng)B，將立體圖形想象補(bǔ)充為長(zhǎng)方體，即可得到外接球半徑，即可判斷選項(xiàng)C,寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo),計(jì)算平面的法向量,利用空間向量夾角計(jì)算公式求解，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由四棱錐的平面展開(kāi)圖還原立體圖,可得平面,平面，，底面為直角梯形，,,則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，在直角梯形中,,所以,即,而上述證明得，又因?yàn)槠矫?,所以平面,又平面,所以平面平面,故A正確；對(duì)B選項(xiàng)，由，可知,則,，，且平面,平面，故為平面的一個(gè)法向量，根據(jù)底面為梯形，則顯然不垂直，則不平行平面，故B錯(cuò)誤，對(duì)C選項(xiàng)，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)為2，寬和高為1的長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球，即為長(zhǎng)方體的外接球，其半徑,故表面積為，故C正確，由點(diǎn)坐標(biāo)得，,設(shè)平面的法向量為,則，令，則，得所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故其夾角的正弦值為，故D錯(cuò)誤，故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)的求平面與平面夾角的方法：①定義法，即利用二面角的定義求解面與面夾角；②空間向量法，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的法向量，利用向量夾角的余弦公式來(lái)求解面面夾角的余弦值.5．【分析】利用空間幾何體的外接球及球體表面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示取中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意易知，又為等腰直角三角形，為等邊三角形，所以可知，易知點(diǎn)在直線上，設(shè)，球半徑為R，所以，故外接球的表面積為.故答案為：6．2【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓可得，根據(jù)圓錐的表面積可得半徑,母線和高,設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，由相似可得，代入圓柱的側(cè)面積公式分析可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，所以，解得.因?yàn)閳A錐的表面積為，所以，解得，，.如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，則，所以，內(nèi)接圓柱的側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和圓柱的側(cè)面積公式，考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.規(guī)律方法：空間幾何體最短距離問(wèn)題，一般是將空間幾何體展開(kāi)成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面中兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題，注意展開(kāi)后對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)和邊．【考點(diǎn)二】表面積與體積核心梳理：1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺(tái)＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分別為上、下底面面積，h為高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．一、單選題1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）如圖，攬?jiān)麻w位于西安市雁塔南路最高點(diǎn)，承接大明宮、大雁塔，是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點(diǎn)和標(biāo)志性建筑，可近似視為一個(gè)正四棱臺(tái)，現(xiàn)有一個(gè)攬?jiān)麻w模型塔底寬，塔頂寬約，側(cè)面面積為，據(jù)此計(jì)算該攬?jiān)麻w模型體積為（

）A．1400 B．2800 C． D．84002．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一個(gè)正四棱臺(tái)形水庫(kù)，該水庫(kù)的下底面邊長(zhǎng)為2km，上底面邊長(zhǎng)為4km，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該水庫(kù)的最大蓄水量為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（

）A．在四面體中，點(diǎn)的曲率為B．在四面體中，點(diǎn)的曲率大于C．四面體外接球的表面積為D．四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四面體的底面是以為斜邊的直角三角形，體積為，平面，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐的體積和三棱錐的體積相等B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．四面體的外接球球心為，且外接球體積與之比的最小值是三、填空題5．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的“升”是我國(guó)古代測(cè)量糧食的一種容器，從形狀上可抽象成一個(gè)正四棱臺(tái)．現(xiàn)有一個(gè)上、下底面邊長(zhǎng)分別為和的“升”，側(cè)棱長(zhǎng)為，要做成一個(gè)該“升”的幾何體，其側(cè)面所需板材的最小面積為．6．（2024·北京·三模）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”“勢(shì)”即是幾何體的高，“冪”是截面積，意思是：如果兩等高的幾何體在同高處的截面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為．若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為．參考答案：題號(hào)1234答案BAABDABD1．B【分析】設(shè)斜高，利用側(cè)面積求出斜高，求出棱臺(tái)的高，利用臺(tái)體體積公式得到答案.【詳解】如圖，正四棱臺(tái)底面邊長(zhǎng)分別為和，側(cè)面積為，設(shè)為斜高，可得，解得，即，∴棱臺(tái)的高，∴，棱臺(tái)的體積為.故選：B.2．A【分析】根據(jù)題意，水庫(kù)的最大蓄水量等于正四棱臺(tái)的體積，進(jìn)而用臺(tái)體的面積公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，其中且.由，可得，又且，可得是長(zhǎng)方形，則，所以，，則，正四棱臺(tái)的高，下底面的面積，上底面的面積.于是正四棱臺(tái)的體積.故該水庫(kù)的最大蓄水量為.故選：A.3．ABD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及四面體的內(nèi)切球與外切球的半徑算法，結(jié)合曲率的定義分別計(jì)算各選項(xiàng).【詳解】在正方體中，易證為正三角形，，，在四面體中，點(diǎn)的曲率為，A選項(xiàng)正確；在正方體中，，，，在四面體中，點(diǎn)的曲率為，B選項(xiàng)正確；四面體外接球的半徑即為正方體外接球的半徑為，四面體外接球的表面積為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；四面體的體積，四面體的表面積，四面體內(nèi)切球的半徑，即，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.4．ABD【分析】根據(jù)錐體體積的計(jì)算公式可得兩個(gè)三棱錐高和底面積相等，即A正確；利用線面垂直判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理可證明平面，可判斷B正確；當(dāng)與重合，可知，這與矛盾，因此C不成立；利用三棱錐性質(zhì)可求得外接球球心為的位置及其半徑與三棱錐棱長(zhǎng)的關(guān)系即可求得與之比的最小值.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，而兩個(gè)三棱錐高相等，故體積相等，A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，故平面，平面，故平面平面，過(guò)作，垂足為，如下圖所示：因?yàn)槊嫫矫?，平面，故面，而面，故，若，則，而平面，故平面，又平面，故，故B正確.對(duì)于C，若與不重合，由平面，平面，可得；又是以為斜邊的直角三角形可知，又,平面，所以平面,又平面，所以，當(dāng)時(shí)，，平面，所以平面，又平面，可得，但若與重合，由于，若，，平面，所以平面，平面，故，這與矛盾，所以不成立，故與重合，滿足，但此時(shí)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由平面，平面，故，故，為外接球球心，且，，又，可以在以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，到的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故到的距離最大為，此時(shí)，故，D正確，故選：ABD.5．【分析】根據(jù)棱臺(tái)的幾何性質(zhì)確定斜高，再根據(jù)側(cè)面性質(zhì)確定面積即可.【詳解】如圖，由題意知該“升”的各側(cè)面為上底、下底長(zhǎng)分別為，腰長(zhǎng)為的等腰梯形，取中點(diǎn)為，所以其側(cè)面的高為．若將各側(cè)面展開(kāi)，可拼接成一個(gè)一條邊長(zhǎng)為，另一條邊長(zhǎng)為的平行四邊形，該平行四邊形的高為，所以所求面積為．故答案為：.6．【分析】根據(jù)離心率及雙曲線過(guò)點(diǎn)求出、，即可得到雙曲線方程與漸近線方程，求出與雙曲線及漸近線（）在第一象限的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求出陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體被任意水平平面所截的截面面積，再由祖暅原理計(jì)算可得.【詳解】雙曲線的離心率，，，；雙曲線的方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，即，解得，則，雙曲線方程為，則雙曲線的漸近線方程為；因?yàn)榕c雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為且；與漸近線在第一象限的交點(diǎn)為且；所以陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體被任意水平平面所截，其截面面積為；所以由祖暅原理可知：該陰影圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積與底面半徑為高為的圓柱體積相等，即它繞軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是求出陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體被任意水平平面所截，其截面面積.規(guī)律方法：空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解．(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體．(3)等體積法：選擇合適的底面來(lái)求體積．【考點(diǎn)三】多面體與球核心梳理：求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；(2)定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．一、單選題1．（24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖甲，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，分別是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使得三點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖乙，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為，若內(nèi)切球的體積為，則其外接球表面積是（

）A．49π B．56π C．65π D．130π二、多選題3．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱臺(tái)中，，，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（

）A．正三棱臺(tái)的高為B．正三棱臺(tái)的體積為C．與平面所成角的正切值為1D．正三棱臺(tái)外接球的表面積為4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為r，圓錐的側(cè)面積為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，圓錐內(nèi)接圓柱體的體積最大值為B．當(dāng)時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)時(shí)，圓錐能在棱長(zhǎng)為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)D．當(dāng)時(shí)，棱長(zhǎng)為1的正四面體能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)三、填空題5．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）在四面體中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，點(diǎn)在棱上，且，過(guò)點(diǎn)作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．6．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則該圓錐的體積與球O的體積之比為．參考答案：題號(hào)1234答案ACBCDAD1．A【分析】運(yùn)用補(bǔ)形法，結(jié)合長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意可得，且1，，所以三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，可得，所以，所以外接球的體積為.故選：A.2．C【分析】作出正四棱臺(tái)及其內(nèi)切球的軸截面，求出正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)，再求出外接球半徑即可得解.【詳解】正四棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)，設(shè)其內(nèi)接球半徑為，則，解得，取的中點(diǎn)，則四邊形內(nèi)切圓是正四棱臺(tái)內(nèi)接球的截面大圓，則四邊形是等腰梯形，，而，，整理得，而，則，設(shè)為正四棱臺(tái)外接球球心，為該球半徑，則，令分別為正四棱臺(tái)上下底面的中心，則，，，，當(dāng)球心在線段時(shí)，，解得，球的表面積為；當(dāng)球心在線段的延長(zhǎng)線時(shí)，，無(wú)解，所以所求外接球表面積是.故選：C3．BCD【分析】將正棱臺(tái)補(bǔ)全為一個(gè)正棱錐，結(jié)合正棱臺(tái)、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征求臺(tái)體的高、體積及側(cè)棱與底面夾角正切值，由確定棱臺(tái)外接球球心位置，建立等量關(guān)系求半徑，進(jìn)而求外接球表面積.【詳解】將正棱臺(tái)補(bǔ)全為一個(gè)正棱錐，如下圖示，其中分別為上下底面的中心，為的中點(diǎn)，易知，則為等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角，所以，而，則，根據(jù)棱臺(tái)上下底面相似，知，即，故，A錯(cuò)；由，，所以，B對(duì)；由圖知：為與平面所成角，則，C對(duì)；若為正三棱臺(tái)外接球的球心，則其半徑，即，令，則，可得，所以，故外接球表面積為，D對(duì).故選：BCD4．AD【分析】對(duì)于A，先根據(jù)幾何體特征算出圓錐內(nèi)接圓柱體的體積表達(dá)式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，求出圓錐的軸截面頂角，進(jìn)一步即可驗(yàn)算；對(duì)于C，分別算出圓錐外接球半徑以及正四面體內(nèi)切球半徑，比較大小即可判斷；對(duì)于D，分別算出正四面體外接球半徑以及圓錐內(nèi)切球半徑，比較大小即可判斷.【詳解】由已知圓錐的側(cè)面積為，即，A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)圓錐的軸截面、圓錐內(nèi)接圓柱體的軸截面如圖所示，設(shè)，則由相似三角形性質(zhì)有，設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'x<0，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，且它的最大值為，所以，故A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓錐的軸截面如圖所示，

，所以為鈍角，令，是圓錐的底面圓周上任意的不同兩點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，高，設(shè)圓錐的外接球球心為，圓錐的外接球半徑為，所以，棱長(zhǎng)為4的正四面體可以補(bǔ)成正方體，如圖所示，

則正方體的棱長(zhǎng)，正四面體的體積為，正四面體的表面積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，則由等體積法可知，注意到，所以圓錐不能在棱長(zhǎng)為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：棱長(zhǎng)為1的正四面體可以補(bǔ)成正方體，如圖所示，

則正方體的棱長(zhǎng)，

所以正方體的外接球即正四面體的外接球，直徑為，半徑為，當(dāng)時(shí)，，高，圓錐的內(nèi)切球球心在線段上，圓錐的軸截面截內(nèi)切球的大圓，即圓錐軸截面的內(nèi)切圓，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由三角形面積得，解得，所以棱長(zhǎng)為1的正四面體能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷A選項(xiàng)的關(guān)鍵在于求出圓柱體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)這一有利工具，由此即可順利得解.5．/1：8【分析】先根據(jù)勾股定理逆定理得到，再根據(jù)直角三角形中線性質(zhì)找出外接球的球心，再結(jié)合球的截面距離分析，要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，只需球心到截面的距離最大即可．【詳解】由題意知，，由勾股定理可知，，所以，取的中點(diǎn)，所以，所以四面體的外接球在斜邊的中點(diǎn)處，四面體的外接球的半徑，根據(jù)題意可知，過(guò)點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球到截面的距離，只需球心到截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與截面垂直時(shí)，球心到截面的距離最大，即，取的中點(diǎn)，易知為等腰三角形，，所以，所以截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為，球的表面積為，所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為故答案為：．6．/【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)的截面圖形，設(shè)，利用勾股定理，用表示，結(jié)合圓錐體積和球的體積公式即可求解.【詳解】球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，則該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，截面如圖所示：設(shè)球的半徑為，則圓錐底面半徑為，可得在中，，，設(shè)，由勾股定理得，，即，化簡(jiǎn)得，即，，則，即，則圓錐體積為，球的體積為，所以圓錐的體積與球O的體積之比為.故答案為：.規(guī)律方法：(1)求錐體的外接球問(wèn)題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體等求解．(2)求錐體的內(nèi)切球問(wèn)題的一般方法是利用等體積法求半徑．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4．已知P為該圓臺(tái)某條母線的中點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．2．（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱中，，，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，則該三棱柱的表面積為（

）A．4 B． C． D．3．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐內(nèi)切球半徑為（

）A． B．C． D．4．（2025·黑龍江大慶·一模）已知圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為1和3，母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·天津·期中）冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”.通常以木鏇之，大小不一，一般徑寸余，上端為圓柱形，下端為錐形.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知分別是上、下底面圓的圓心，，底面圓的半徑為，則該陀螺的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).如圖1，這是一種常見(jiàn)的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的兩個(gè)相對(duì)三角形面間的距離為（

）

A． B．C． D．7．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，，為的中點(diǎn)，將和分別沿，折起，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河南焦作·開(kāi)學(xué)考試）半徑為4的實(shí)心球與半徑為2的實(shí)心球體積之差的絕對(duì)值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一個(gè)棱臺(tái)形的容器（上底面無(wú)蓋），其四條側(cè)棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計(jì)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．該四棱臺(tái)的側(cè)面積為C．若將一個(gè)半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面D．若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著容器外壁爬到點(diǎn)，則其爬行的最短路程為10．（21-22高二下·浙江紹興·期末）在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，的面積為定值D．當(dāng)時(shí)，直線與所成角的范圍為11．（2024·江蘇南京·二模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則三棱錐外接球的表面積為B．若，則異面直線與所成角的余弦值為C．若，則面積的最小值為D．若存在實(shí)數(shù)使得，則的最小值為三、填空題12．（2025·江蘇南通·一模）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的側(cè)面積為．13．（2024·江蘇蘇州·一模）已知直三棱柱外接球的直徑為6，且，，則該棱柱體積的最大值為．14．（2024·江西九江·二模）將兩個(gè)觀賞球體封閉在一個(gè)正方體容器內(nèi)，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則兩個(gè)球體體積之和的最大值為．四、解答題15．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為邊CD的中點(diǎn)，沿AE把折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的表面積16．（2022·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知三棱柱中，，平面，，M為邊上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：平面；(2)求三棱錐的體積．17．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的表面積為，體積為，定義系數(shù)，已知球體對(duì)應(yīng)的系數(shù)為，定義為一個(gè)幾何體的“球形比例系數(shù)”.(1)計(jì)算正方體和正四面體的“球形比例系數(shù)”；(2)求圓柱體的“球形比例系數(shù)”范圍；(3)是否存在“球形比例系數(shù)”為0.75的簡(jiǎn)單幾何體？若存在，請(qǐng)描述該幾何體的基本特征；若不存在，說(shuō)明理由.18．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）長(zhǎng)方體中，.(1)過(guò)E、B作一個(gè)截面，使得該截面平分長(zhǎng)方體的表面積和體積.寫(xiě)出作圖過(guò)程及其理由.(2)記（1）中截面為，若與（1）中過(guò)點(diǎn)的長(zhǎng)方體的三個(gè)表面成二面角分別為，求的值.19．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱上一點(diǎn)．(1)若是的中點(diǎn)，求證：直線平面；(2)若，且二面角的平面角的余弦值為，求三棱錐的體積參考答案：題號(hào)12345678910答案ACCABCBABDABD題號(hào)11答案AD1．A【分析】利用側(cè)面展開(kāi)結(jié)合圖形求解最短距離.【詳解】P為圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)，分別為上下底面的圓心，把圓臺(tái)擴(kuò)成圓錐，如圖所示，則，，，由，有，，，圓錐底面半徑，底面圓的周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)，所以側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則運(yùn)動(dòng)的最短路徑為展開(kāi)圖弦，，，有.故選：A2．C【分析】由題意得，其中，從而根據(jù)題意列方程可求得，根據(jù)棱柱表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋杂衫庵男再|(zhì)可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，這意味著點(diǎn)是在以為圓心為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，該圓弧弧長(zhǎng)是圓周周長(zhǎng)，由題意，解得，所以該三棱柱的表面積為.故選：C.3．C【分析】由等面積法先求出圓錐底面圓的半徑，再由等面積法求出圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑即可得解.【詳解】若圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則，其中為圓錐底面圓的半徑，根據(jù)對(duì)稱性，圓錐內(nèi)切球半徑為圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓圓心為點(diǎn)，圓錐底面圓心為點(diǎn)，為圓錐的母線，設(shè)，由題意，由等面積法有.故選：C.4．A【分析】首先利用勾股定理求出圓臺(tái)的高，再由臺(tái)體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上?下底面半徑分別為1和3，母線長(zhǎng)為，所以圓臺(tái)的高，所以圓臺(tái)的體積.故選：A5．B【分析】先利用已知條件底面圓的半徑，以及，求得圓柱母線長(zhǎng)以及圓錐的母線長(zhǎng)，再利用圓柱和圓錐的表面積公式求解即可.【詳解】由底面圓的半徑為，得底面圓的面積為，又知，則得圓柱的高等于母線長(zhǎng)，且圓柱的母線長(zhǎng)為，已知圓錐的高為，圓的半徑為，則圓錐的母線長(zhǎng)為：，則陀螺的表面積為：；故選：B.6．C【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，由等體積轉(zhuǎn)化得出截去的三棱錐的高，由體對(duì)角線減去該高，計(jì)算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，如圖所示，由題意可知：，所以.故該正方體的棱長(zhǎng)為，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該小三棱錐幾何體的體積為，

所以該三棱錐的頂點(diǎn)D到面ABC的距離.易知魯班鎖兩個(gè)相對(duì)的三角形面平行，且正方體的體對(duì)角線MD垂直于該兩面，故該兩面的距離.故選：C7．B【分析】首先判斷兩兩互相垂直，再補(bǔ)體成為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體和四棱錐是同一個(gè)外接球，即可求半徑，求球的表面積.【詳解】依題意，，，，平面，則平面，，，即有，則，由此可將三棱錐補(bǔ)成以為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則該長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)亦在球的球面上，設(shè)球的半徑為，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以球的表面積.故選：B8．A【分析】先由已知條件和球的體積公式分別直接計(jì)算出實(shí)心球和實(shí)心球的體積，再用大實(shí)心球體積減去小實(shí)心球體積即可得解.【詳解】由題意可知實(shí)心球體積為，實(shí)心球體積為，所以實(shí)心球與實(shí)心球體積之差的絕對(duì)值為.故選：A.9．BD【分析】由勾股定理即可判斷A，由梯形的面積公式代入計(jì)算，即可判斷B，做出軸截面圖形代入計(jì)算，即可判斷C，將四棱臺(tái)展開(kāi)，然后代入計(jì)算，即可判斷D【詳解】對(duì)于A，由題意可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，梯形的高為，所以梯形的面積為，梯形的高為，所以梯形的面積為，故該四棱臺(tái)的側(cè)面積為，故B正確；對(duì)于C，若放入容器內(nèi)的球可以接觸到容器的底面，則當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球恰好與面、面、面均相切，過(guò)三個(gè)切點(diǎn)的截面如圖（1）所示，由題意可知棱臺(tái)的截面為等腰梯形，較長(zhǎng)的底邊上的底角的正切值為，則，由于互補(bǔ)，故，則，所以（負(fù)值舍），從而球的半徑為，所以將半徑為的球放入該容器中不能接觸到容器的底面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將平面與平面展開(kāi)至同一平面，如圖（2），則，將平面與平面展開(kāi)至同一平面，如圖（3），則，所以最短路程為，故D正確．故選：BD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，將幾何體側(cè)面展開(kāi)，將折線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，即可求解.10．ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，確定點(diǎn)在面對(duì)角線上，通過(guò)證明面面平行，得線面平行；對(duì)于B選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，由等體積法，說(shuō)明三棱錐的體積為定值；對(duì)于C選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，的底不變，高隨點(diǎn)的變化而變化；對(duì)于D選項(xiàng)，通過(guò)平移直線，找到異面直線與所成的角，在正中，確定其范圍.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，又平面，所以平面，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積為定值，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作于點(diǎn)，則，其大小隨著的變化而變化，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，因?yàn)榍?所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角是直線與所成角，在正中，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.11．AD【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球即可求解A，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合模長(zhǎng)公式以及夾角公式即可求解BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得在線段上運(yùn)動(dòng)，，即可根據(jù)面積公式求解.【詳解】A：由題意，與重合，故三棱錐的外接球與以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球相同，故半徑，表面積為，故對(duì)；B：以為原點(diǎn)建系，，，，，，由，所以，，，，故B錯(cuò)；C：由得，在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)在底面的投影為，連接，由于，所以，故，連接相交于，連接，，當(dāng)重合時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)；

D：由得，，，，由可得，所以，，，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：AD.12．【分析】根據(jù)圓柱與球體的位置關(guān)系及球的對(duì)稱性求圓柱底面半徑，再由圓柱側(cè)面積的求法求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，已知球?yàn)閳A柱的外接球，且球體半徑，圓柱高為，根據(jù)球的對(duì)稱性，圓柱底面半徑為，則圓柱側(cè)面積.故答案為：13．16【分析】將直三棱柱外補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，從而可得直三棱柱外接球的直徑即為該長(zhǎng)方體的對(duì)角線，從而可得，再根據(jù)重要不等式，即可求解．【詳解】如圖，將直三棱柱外補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，則直三棱柱外接球的直徑即為該長(zhǎng)方體的對(duì)角線，設(shè)，，則，，直三棱柱的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，該棱柱體積的最大值為16．故答案為：16．14．【分析】設(shè)兩個(gè)球，的半徑分別為，，得到兩圓與對(duì)角面相切，且與正方體三個(gè)面相切時(shí)，體積和最大，根據(jù)題意，求得的取值范圍，利用球的體積公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，為正方體的對(duì)角面，設(shè)兩個(gè)球，的半徑分別為，，當(dāng)兩圓與對(duì)角面相切，且與正方體三個(gè)面相切時(shí)，體積和最大，所以，可得，所以，由題意知，，且，故，所以體積，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，最大值為.故答案為：.

【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑：根據(jù)作出截面中的幾何元素，利用球的截面的性質(zhì)，運(yùn)用公式（為底面多邊形的外接圓的半徑，為幾何體的外接球的半徑，表示球心到底面的距離）求得球的半徑，建立關(guān)于球