2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)與解三角形 第2講　三角恒等變換與解三角形原卷版

第2講三角恒等變換與解三角形（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】三角恒等變換 3【考點(diǎn)二】正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用 5【考點(diǎn)三】解三角形的實(shí)際應(yīng)用 7【專題精練】 9考情分析：1.三角恒等變換主要考查化簡(jiǎn)、求值，解三角形主要考查求邊長(zhǎng)、角度、面積等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問(wèn)題.2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·高考真題）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A．3-58 B． C． D．6．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．三、解答題9．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．10．（2023·全國(guó)·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．11．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．12．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】三角恒等變換一、單選題1．（2023·江蘇·三模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢·二模）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·新疆喀什·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)的最小正周期為C．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到4．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則（

）A．y=fx的最大值為B．y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．y=fx在上單調(diào)遞增D．直線是y=fx圖象的一條對(duì)稱軸三、填空題5．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．則角.6．（2024·吉林白山·一模）化簡(jiǎn)．核心梳理：1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪．(4)弦、切互化：一般是切化弦．【考點(diǎn)二】正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·廣東江門·一模）在中，，，則角A的大小為（

）A． B．或 C． D．或2．（2023·廣東茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其母線長(zhǎng)為m，軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是面積為的等腰鈍角三角形，則該蒙古包的體積約為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二上·浙江·期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，，下面說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．是銳角三角形D．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍4．（23-24高一下·江蘇南京·期中）對(duì)于有如下命題，其中正確的是（

）A．若，則為鈍角三角形B．若，則的面積為C．在銳角中，不等式恒成立D．若且有兩解，則的取值范圍是三、填空題5．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，、分別是其左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上非長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，D是x軸上一點(diǎn)，使得平分．過(guò)點(diǎn)D作、的垂線，垂足分別為A、B．則的最大值是．6．（23-24高二上·廣東汕頭·期中）如圖，圓錐底面半徑為，母線PA＝2，點(diǎn)B為PA的中點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，其最短路線長(zhǎng)度為，其中下坡路段長(zhǎng)為．

四、解答題7．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．8．（23-24高三下·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知.(1)求；(2)若，且邊上的高為，求的周長(zhǎng).9．（2024·北京東城·一模）在中，.(1)求；(2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的值.核心梳理：1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：解三角形中常見(jiàn)的求最值與范圍問(wèn)題的解題策略(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a＋b與ab相互轉(zhuǎn)化求最值范圍．(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍．【考點(diǎn)三】解三角形的實(shí)際應(yīng)用一、單選題1．（22-23高一下·遼寧沈陽(yáng)·期中）在中，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．（2024·廣東梅州·一模）已知是銳角三角形，角，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的三邊一定構(gòu)成等差數(shù)列B．的三邊一定構(gòu)成等比數(shù)列C．面積的最大值為D．周長(zhǎng)的最大值為4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）將銳角三角形置于平面直角坐標(biāo)系中，，為軸上方一點(diǎn)，設(shè)中的對(duì)邊分別為且，則的外心縱坐標(biāo)可能落在以下（

）區(qū)間內(nèi).A． B． C． D．三、填空題5．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過(guò)路口后轉(zhuǎn)向西北方向，圍繞道路打造了一個(gè)半徑為的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道，則的最小值為．6．（2021·寧夏石嘴山·三模）某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)對(duì)校外一座山的高度h(單位：)進(jìn)行測(cè)量，方案如下：如圖，社團(tuán)同學(xué)朝山沿直線行進(jìn)，在前后相距a米兩處分別觀測(cè)山頂?shù)难鼋呛?)，多次測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)取平均值后代入數(shù)學(xué)模型求解山高，這個(gè)社團(tuán)利用到的數(shù)學(xué)模型；多次測(cè)量取平均值是中學(xué)物理測(cè)量中常用的減小誤差的方法之一，對(duì)物理量進(jìn)行n次測(cè)量，其誤差近似滿足，為使誤差在的概率不小于0.9973，至少要測(cè)量次.參考數(shù)據(jù)：若占，則.核心梳理：解三角形應(yīng)用題的?？碱愋?1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：解三角形實(shí)際問(wèn)題的步驟專題精練專題精練一、單選題1．（2023·江蘇南通·一模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北武漢·二模）已知，則（

）A． B． C． D．5．（22-23高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長(zhǎng)為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．366．（2023·青海·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．7．（22-23高三·湖南婁底·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．8．（21-22高一下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）某校學(xué)生參加課外實(shí)踐活動(dòng)“測(cè)量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測(cè)得，沿土坡向坡頂前進(jìn)后到達(dá)D處，測(cè)得．已知旗桿，土坡對(duì)于地平面的坡角為，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·廣東廣州·一模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．若，則的最小值為D．若，則10．（2023·湖南·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．的所有零點(diǎn)為D．是以為周期的函數(shù)11．（2021·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．在上有兩個(gè)零點(diǎn)B．在上單調(diào)遞增C．在的最大值是1D．的圖像可由向右移動(dòng)得到三、填空題12．（22-23高三下·福建南平·階段練習(xí)）已知為銳角，，則．13．（2023·江蘇·三模）如圖，在△ABC所在平面內(nèi)，分別以AB，BC為邊向外作正方形ABEF和正方形BCHG．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，則FH＝．14．（2024·廣東·一模）中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且，D為邊AB上一點(diǎn)，CD平分，，則．四、解答題15．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的