3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)【十大必考點+十七大秒殺招+十三大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類（解析版）

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)【十大必考點+十七大秒殺招+十三大題型+分層訓(xùn)練】知識精講知識精講知識點01函數(shù)的單調(diào)性及其符號表達(dá)(1)函數(shù)單調(diào)性的概念函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性．(2)函數(shù)單調(diào)性的符號表達(dá)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.知識點02增函數(shù)、減函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)．當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)．知識點03單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．1．單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，但在其單調(diào)區(qū)間上是整體性質(zhì)，因此對x1，x2有下列要求：(1)屬于同一個區(qū)間D；(2)任意性，即x1，x2是定義域中某一區(qū)間D上的任意兩個值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即確定的任意兩值x1，x2必須區(qū)分大小，一般令x1<x2.2．并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是偶數(shù)，,0，x是奇數(shù)，))它的定義域為Z，但不具有單調(diào)性．3．單調(diào)區(qū)間(1)這個區(qū)間可以是整個定義域．如y＝x在整個定義域(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝－x在整個定義域(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；(2)這個區(qū)間也可以是定義域的真子集．如y＝x2在定義域(－∞，＋∞)上不具有單調(diào)性，但在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．4．函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，但是在整個定義域上不一定都是單調(diào)遞增(減)．如函數(shù)y＝eq\f(1,x)(x≠0)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，但是在整個定義域上不具有單調(diào)性．5．一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”或“，”連接．如函數(shù)y＝eq\f(1,x)(x≠0)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，不能認(rèn)為y＝eq\f(1,x)(x≠0)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)∪(0，＋∞)．6．函數(shù)的單調(diào)性是相對于函數(shù)的定義域的子區(qū)間D而言的．對于單獨(dú)的一點，它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題．因此在寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點可以包括，也可以不包括．但對于函數(shù)式無意義的點，單調(diào)區(qū)間一定不能包括這些點．知識點04函數(shù)的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：?x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點的縱坐標(biāo)1．對函數(shù)最值的三點說明(1)最大(小)值必須是一個函數(shù)值，是值域中的一個元素，如函數(shù)y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內(nèi)的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內(nèi)的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是說，函數(shù)y＝f(x)的圖象不能位于直線y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定義中的“存在”是說定義域中至少有一個實數(shù)滿足等號成立，也就是說y＝f(x)的圖象與直線y＝M至少有一個交點．2．函數(shù)最值與函數(shù)值域的關(guān)系函數(shù)的值域是一個集合，最值若存在則屬于這個集合，即最值首先是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素．函數(shù)值域一定存在，而函數(shù)并不一定有最大(小)值．3．利用單調(diào)性求最值的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，則f(x)在區(qū)間[a，b]的左、右端點處分別取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，c)上有最小值f(b)．知識點05偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義(1)偶函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．知識點06偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征(1)偶函數(shù)的圖象特征如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).(2)奇函數(shù)的圖象特征如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).知識點07函數(shù)具有奇偶性時定義域與對應(yīng)關(guān)系的特點(1)定義域：由于f(－x)與f(x)都有意義，故－x和x同時屬于定義域，所以奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．換言之，若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性．(2)對應(yīng)關(guān)系：①奇函數(shù)有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?(f(x)≠0)；②偶函數(shù)有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?(f(x)≠0)．知識點08函數(shù)奇偶性的四個關(guān)注點(1)與函數(shù)的最值相同，函數(shù)的奇偶性也是函數(shù)的整體性質(zhì)．(2)若奇函數(shù)在原點處有定義，則必有f(0)＝0.有時可以用這個結(jié)論來否定一個函數(shù)為奇函數(shù)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空集合．(4)函數(shù)根據(jù)奇偶性可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)．知識點09奇、偶函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，我們不難得出以下結(jié)論：(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異”．(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．知識點10常見函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))的奇偶性函數(shù)奇偶性一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)當(dāng)b＝0時是奇函數(shù)；當(dāng)b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)反比例函數(shù)y＝eq\f(a,x)(a≠0)奇函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)當(dāng)b＝0時是偶函數(shù)；當(dāng)b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)解題大招解題大招大招01定義法證明單調(diào)性的步驟判斷函數(shù)的單調(diào)性常用定義法和圖象法，而證明函數(shù)的單調(diào)性則應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義操作．利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟如下：注意：對單調(diào)遞增的判斷，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一個不等式來替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0.對單調(diào)遞減的判斷，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，相應(yīng)地也可用一個不等式來替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0.大招02求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三種方法方法一：轉(zhuǎn)化為已知的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)的單調(diào)性判斷．方法二：定義法，即先求出定義域，再利用單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷求解．方法三：圖象法，即先畫出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間．注：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個以上單調(diào)區(qū)間時，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；在單調(diào)區(qū)間D上函數(shù)要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)，不能二者兼有．大招03由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的處理方法是：(1)由函數(shù)解析式求參數(shù)若為二次函數(shù)——判斷開口方向與對稱軸——利用單調(diào)性確定參數(shù)滿足的條件，若為一次函數(shù)——由一次項系數(shù)的正負(fù)決定單調(diào)性.若為復(fù)合函數(shù)y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——數(shù)形結(jié)合，探求參數(shù)滿足的條件.(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，將符號“f”脫掉，列出關(guān)于自變量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數(shù)的定義域.大招04利用單調(diào)性比較大小或解不等式的方法(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大?。诮鉀Q比較函數(shù)值的問題時，要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上．(2)利用抽象函數(shù)的單調(diào)性求范圍．①依據(jù)：定義在[m，n]上的單調(diào)遞增(減)函數(shù)中函數(shù)值與自變量的關(guān)系f(a)<f(b)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<ba>b，,m≤a≤n，,m≤b≤n.))②方法：依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉符號“f”，轉(zhuǎn)化為不等式問題求解．大招05利用圖象求函數(shù)最值的一般步驟(1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)觀察圖象，找出圖象的最高點和最低點；(3)寫出最值，最高點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大值，最低點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值．大招06圖象法求最值的步驟大招07利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大(小)值．大招08函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減(增)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個．大招09二次函數(shù)最值的求法(1)探求二次函數(shù)y＝f(x)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出y＝f(x)的草圖，然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性．對于“定對稱軸變區(qū)間”“變對稱軸定區(qū)間”的情況，特別要注意二次函數(shù)圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點處取得．(2)二次函數(shù)圖象的對稱軸與定義域區(qū)間的位置通常有三種關(guān)系：①對稱軸在定義域的右側(cè)；②對稱軸在定義域的左側(cè)；③對稱軸在定義域區(qū)間內(nèi)．大招10判斷函數(shù)奇偶性的三種常用方法(1)定義法①確定函數(shù)的定義域；②看定義域是否關(guān)于原點對稱．(ⅰ)不對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；(ⅱ)對稱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(若f－x＝－fx，則函數(shù)為奇函數(shù)；,若f－x＝fx，則函數(shù)為偶函數(shù)；,若f－x與fx無上述關(guān)系，則函數(shù),為非奇非偶函數(shù).))(2)圖象法：畫出函數(shù)的圖象，直接利用圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性．(3)性質(zhì)法①偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；③奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；④一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．注：(1)判斷奇偶性時，必須先求定義域.(2)有時需在定義域內(nèi)對函數(shù)解析式進(jìn)行變形、化簡，再找f(-x)與f(x)的關(guān)系.(3)對于分段函數(shù)，應(yīng)分段討論，要注意根據(jù)x的范圍取相應(yīng)的函數(shù)解析式.大招11巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性．(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對應(yīng)的圖象．(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(y軸)對稱得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上對應(yīng)的函數(shù)圖象．大招12奇、偶函數(shù)圖象的應(yīng)用類型及處理策略(1)類型：利用奇、偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問題．(2)策略：利用函數(shù)的奇偶性作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象直接觀察．大招13利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值的思路已知f(a)求f(－a)的思路：判斷f(x)的奇偶性或構(gòu)造已知奇偶性的函數(shù)，利用奇偶性找出f(a)與f(－a)的關(guān)系，若還有其他條件，可再利用其轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求出f(－a)．注：(1)利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值問題應(yīng)充分運(yùn)用奇(偶)函數(shù)的定義構(gòu)造函數(shù)，從而使問題快速得到解決.（2）在定義域關(guān)于原點對稱的前提下,若解析式中僅含有x的奇次項，則函數(shù)為奇函數(shù),若解析式中僅含有x的偶次項，則函數(shù)為偶函數(shù)，常利用此結(jié)論構(gòu)造函數(shù)解題.大招14已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值的三種思路(1)若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程．(2)一般化策略：對x取定義域內(nèi)的任一個值，利用f(－x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值．(3)特殊化策略：根據(jù)定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的特殊自變量值對應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系列方程求解，不過，這種方法求出的參數(shù)值要代入解析式檢驗，看是否滿足條件，不滿足的要舍去．大招15利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的注意事項(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個區(qū)間內(nèi)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．注意：若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)＝0，但若為偶函數(shù)，則未必有f(0)＝0.大招16利用函數(shù)的奇偶性比較大小：看自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上．①在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；②不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的兩函數(shù)值，然后利用單調(diào)性比較大?。笳?7利用函數(shù)的奇偶性解不等式①利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“f”，轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解．注：(1)抽象不等式問題，解題步驟是:①將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系;②利用奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)的符號“f"，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題.(2)需要注意的是:在轉(zhuǎn)化時，自變量的取值必須在同一單調(diào)區(qū)間上;當(dāng)不等式一邊沒有符號“f”時，需轉(zhuǎn)化為含符號“f”的形式，如0=f(l),f(x-1)<0，則f(x-1)<f(1).(3)利用好偶函數(shù)性質(zhì)f(x)=f(|x|)可以避免討論，簡化計算.題型分類題型分類題型01函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解【例1】下列函數(shù)中，在區(qū)間0,+∞上是減函數(shù)的是（

A．y=?3x+2 B．y=x3 C．y=x【解題思路】用函數(shù)單調(diào)性定義可判斷得結(jié)果.【解答過程】選項A：任取x1>x又x2?x1<0，所以y1?選項B：任取x1>x又x1?x2>0,x12+選項C：任取x1>x又x1?x2>0,x1+x選項D：任取x1>x又x1?x2>0,x1x2故選：A.【變式1-1】函數(shù)fx=?1A．2,+∞ B．C．?2,2 D．?∞,2【解題思路】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.【解答過程】函數(shù)fx=?1又fx=?1x?2的圖象是由y=?1x的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞所以fx=?1x?2的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D.【變式1-2】下列說法正確的是（

）A．若x1,x2∈I，當(dāng)x1<B．函數(shù)fx=xC．函數(shù)fxD．函數(shù)fx=【解題思路】根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的概率依次判斷即可.【解答過程】對A，由函數(shù)單調(diào)性的定義知，應(yīng)為對于任意x1對B，該二次函數(shù)是一條對稱軸為x=0，開口向上的拋物線，函數(shù)fx=x對C，函數(shù)fx=?1x在但不能說fx對D，函數(shù)fx=1x在同時區(qū)間不能用“∪”符號連接，故D錯誤.故選：B.題型02根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例2】如果函數(shù)fx=ax2+2x?3A．a(chǎn)>?14 C．?14≤a<0【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合一次、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，即可求解.【解答過程】由函數(shù)fx=ax當(dāng)a=0時，fx=2x?3在當(dāng)a≠0時，則滿足a<0?1a綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為[?1故選：D.【變式2-1】已知函數(shù)fx=1?ax在區(qū)間?1,2上單調(diào)遞增，則實數(shù)aA．?∞,0 C．?∞,1【解題思路】利用換元法求出定義域后求解參數(shù)即可.【解答過程】根據(jù)題意，設(shè)t=1?ax，則y=t，因為y=t在所以t=1?ax在區(qū)間?1,2上單調(diào)遞增，則有?a>01+a≥0，解得?1≤a<0故選：B．【變式2-2】已知函數(shù)fx=?x2?ax?5,x≤1aA．?3≤a≤0 B．?3≤a≤?2C．a(chǎn)≤?2 D．a(chǎn)<0【解題思路】根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】因為函數(shù)fx=?則?a2≥1故選：B.題型03利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小【例3】已知函數(shù)fx在3,+∞上單調(diào)遞減，且fx的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則a=f0.2，A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【解題思路】結(jié)合函數(shù)的對稱性及單調(diào)性即可比較大小【解答過程】因為函數(shù)fx在3,+∞上單調(diào)遞減，且fx所以函數(shù)fx在?因為0<0.2<2，所以f(0)<f(0.2)<f(2)，即c<a<b；故選：D.【變式3-1】已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1+x=f1?x，且?x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】根據(jù)題意能得到函數(shù)fx關(guān)于直線x=1軸對稱，且fx在【解答過程】由?x1,x2>1，x1由f1+x=f1?x得函數(shù)f所以函數(shù)fx在?又因為22?1≈1.42?1=0.3（最遠(yuǎn)離所以f3故選：A.【變式3-2】已知函數(shù)fx的定義域為R，對任意的x1<x2A．e2f2C．e2f2【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx【解答過程】由題意可知ex2f構(gòu)造函數(shù)gx=exf故g2<g1，即e故選：C.題型04利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【例4】已知函數(shù)y=f(x)在定義域(?1,3)上是增函數(shù)，且f(2a?1)<f(2?a)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(1,2) B．(?∞,1) C．0,1 【解題思路】由函數(shù)的單調(diào)性及定義域得到關(guān)于a的不等式組，解之即可得解.【解答過程】因為函數(shù)y=fx在定義域?1,3上是增函數(shù)，且f則有?1<2a?1<3?1<2?a<32a?1<2?a，則0<a<2?1<a<3所以實數(shù)a的取值范圍是0,1.故選：C.【變式4-1】定義在(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)滿足：?x1,x2∈(0,+∞A．(12,+∞) B．(0,12) C．(0,4) 【解題思路】令g(x)=f(x)x，根據(jù)單調(diào)性的定義得到g(x)=f(x)x在【解答過程】因為對任意的x1,x2∈即對任意兩個不相等的正實數(shù)x1,x2，不妨設(shè)所以有fx1x則函數(shù)g(x)=f(x)x在(0,+∞當(dāng)x>0時，不等式f(x)>3x等價于f(x)x>3，即g(x)>g(4)，解得所以不等式f(x)>3x的解集為(0,4).故選：C.【變式4-2】函數(shù)fx是定義在0,+∞上的增函數(shù)，則滿足f2x?1<f1A．13,23 B．13,【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得關(guān)于x的不等式，即可求得答案.【解答過程】由題意知函數(shù)fx是定義在0,+則由f2x?1<f1解得12≤x<2故選：D.題型05求函數(shù)的最值【例5】若x>0，則fx=2?x?4A．最大值為?2 B．最小值為?2 C．最大值為6 D．最小值為6【解題思路】先用定義法證明函數(shù)fx在0,2單調(diào)遞增，在2,+【解答過程】任取0<x則fx1?f因為0<x1<x2<2，所以所以fx1?f所以fx在0,2單調(diào)遞增；同理可證fx在所以fx故選：A.【變式5-1】函數(shù)fx=2x?1+x?2A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】設(shè)x?2=t（t≥0），則函數(shù)fx=2x?1+x?2等價于【解答過程】設(shè)x?2=t，t≥0，則x=則函數(shù)fx=2x?1+x?2等價于y=2∵y=2t2+t+3在0,+∴函數(shù)fx故選：A．【變式5-2】函數(shù)fx=x?2A．最小值為0，最大值為3 B．最小值為?3，最大值為0C．最小值為?3，最大值為3 D．既無最小值，也無最大值【解題思路】將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，求出值域，得到答案.【解答過程】函數(shù)fx當(dāng)?1<x<2時，?3<1?2x<3，故fx故fx所以fx的最小值為?3故選：C．題型06根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)【例6】若fx=x+2+3x?aA．6或?18 B．?6或18C．6或18 D．?6或?18【解題思路】分a>?6，a<?6，a=?6三種情況，得出每種情況下fx的最小值，令其為4，解出a【解答過程】當(dāng)a>?6時，fx∴fxmin=f當(dāng)a<?6時，fx∴fxmin=f當(dāng)a=?6時，fx=4x+2故選：A.【變式6-1】已知函數(shù)y=3x+2x?1，x∈m,n的最小值為8，則實數(shù)mA．0,1 B．1,2 C．1,2 D．1,2【解題思路】對反比例型函數(shù)y=3x+2x?1分離常數(shù)，由x∈m,n時的最小值為8得到n【解答過程】由y=3x+2因為y=3x+2x?1在x∈m,n所以x∈m,n時，3+所以1≤m<n，易知反比例型函數(shù)y=3+5x?1在所以y=3+5x?1在x=n處取到的最小值為即3+5所以1≤m<2.故選：D.【變式6-2】已知函數(shù)f(x)=(a?1)x+2a,x<0x2?2x,x≥0有最小值，則A．?12,1C．?12,1【解題思路】先求出x≥0時的最小值，然后對于x<0時，討論fx=a?1【解答過程】當(dāng)x≥0時，fx=x?1當(dāng)x<0時，fx①a=1時，fx=2為常函數(shù)，此時在R上滿足函數(shù)f(x)有最小值為②a≠1時，函數(shù)f（x）此時為單調(diào)的一次函數(shù)，要滿足在R上有最小值，需a?1<0(a?1)×0+2a≥?1解得?綜上，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為：?1故選：C．題型07函數(shù)奇偶性的判斷【例7】下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A．fx=xC．fx=x【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可.【解答過程】對于A，因為fx=x2+1的定義域為R對于B，因為fx=x3?1的定義域為R對于C，因為fx=x3+1x對于D，因為fx=x4+2x2故選：C.【變式7-1】若函數(shù)fx=x?xA．fx+1?2 B．fx?1?2 C．【解題思路】變形得到fx=x+1+1【解答過程】因為fx所以fx?1由于gx=x+1又g?x故gx=x+1其他選項均不合要求.故選：C．【變式7-2】設(shè)函數(shù)fx=1?A．fx是奇函數(shù)，f1x=?fxC．fx是偶函數(shù)，f1x=?fx【解題思路】利用奇偶性的定義判定函數(shù)的奇偶性，由解析式計算一一判定選項即可.【解答過程】因為函數(shù)表達(dá)式為fx=1?所以f?x=1?又f1故選：C.題型08由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值、解析式【例8】函數(shù)fx是一個偶函數(shù)，gx是一個奇函數(shù)，且fx+gxA．1x2?1 B．2x2x【解題思路】由fx+gx=1x?1可得出f?x【解答過程】因為函數(shù)fx是偶函數(shù)，函數(shù)gx為奇函數(shù)，則f?x由fx+gx=1所以，fx+gx=1故選：A.【變式8-1】已知函數(shù)fx是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx=x2A．19 B．?19 C．1 D．?1【解題思路】利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】因為函數(shù)fx是定義域為R的奇函數(shù)，所以f故選：D.【變式8-2】已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)=x2+2x，則x>0時A．f(x)=?x2?2xC．f(x)=?x2+2x【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解答過程】因為函數(shù)fx是定義在R當(dāng)x>0時，?x<0，f(?x)=x2?2x=?f故選：C.題型09由函數(shù)奇偶性求參數(shù)【例9】已知fx=2x+m,x>0nx+1,x<0為奇函數(shù)，則A．1 B．2 C．0 D．?1【解題思路】利用奇函數(shù)的性質(zhì)建立方程，求解參數(shù)，再求值即可.【解答過程】因為fx=2x+m,x>0所以2+m?n+1=0，而f2=?f?2解得m=?1,n=2，經(jīng)驗證符合題意，所以m+n=1，故A正確.故選：A.【變式9-1】已知函數(shù)fx=x2?1A．0 B．1 C．?1 D．2【解題思路】利用奇函數(shù)定義，列式計算即得.【解答過程】由函數(shù)fx是奇函數(shù)，得fx+f?x=0函數(shù)f(x)=x2?1所以a=0.故選：A.【變式9-2】若函數(shù)fx=ax2+2b+ax?a+bA．?3 B．?4 C．3 D．2【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，列出方程，即可求解.【解答過程】因為函數(shù)fx是定義在2a,2?a可得2?a=?2a，所以a=?2，由f?x=fx，可得2b+a=0，解得b=1故選：A.題型10函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例10】已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx為減函數(shù)，且f2=0，那么不等式A．?2,0∪0,2 C．?∞,?2∪【解題思路】確定函數(shù)在?∞【解答過程】因為函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0當(dāng)x>0時，fx為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在?∞,0上是減函數(shù)，又因為f(2)=0又不等式xfx<0等價于x>0f(x)<0所以x>2或x<?2，即不等式xfx<0故選：D.【變式10-1】已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)gx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx，gA．ff2>fC．gg2>g【解題思路】根據(jù)題意，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項的正負(fù)，即可求解.【解答過程】因為fx，gx在0,+∞上單調(diào)遞減，f所以gx在R上單調(diào)遞減，fx在對于A中，由f2>f3對于B中，因為gx是定義在R上的奇函數(shù)，可得g又因為gx在0,+∞上單調(diào)遞減，可得因為fx在0,+∞上單調(diào)遞減，且fx為偶函數(shù)，所以f所以fg對于C中，由g2>g3，gx在對于D中，由f2>f3，gx在故選：D.【變式10-2】已知函數(shù)fx的定義域為R，函數(shù)Fx=f1+x?A．函數(shù)fx的一個對稱中心為2,1 B．C．函數(shù)fx為周期函數(shù)，且一個周期為4 D．【解題思路】對于A，由G(x)為奇函數(shù)，則G(?x)=?G(x)，再將Gx=f2+3x?1代入化簡可求出對稱中心；對于B，由選項A可得f(2)=1，再由F(x)為偶函數(shù)可得f(1+x)?f(1?x)=2x，令x=1可求出f(0)；對于C，由fx的圖象關(guān)于點(2,1)【解答過程】對于A，因為Gx所以G(?x)=?G(x)，即f(2?3x)?1=?[f(2+3x)?1]，所以f(2?3x)+f(2+3x)=2，所以f(2?x)+f(2+x)=2，所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(2,1)對于B，在f(2?x)+f(2+x)=2中，令x=0，得2f(2)=2，得f(2)=1，因為函數(shù)Fx=f1+x所以f1?x所以f(1+x)?f(1?x)=2x，令x=1，則f(2)?f(0)=2，所以1?f(0)=2，得f(0)=?1，所以B正確，對于C，因為函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，f(0)=?1所以f(4)=3，所以f(0)≠f(4)，所以4不是fx對于D，在f(2?x)+f(2+x)=2中令x=1，則f(1)+f(3)=2，令x=2，則f(0)+f(4)=2，因為f(0)=?1，所以f(4)=3，因為f(2)=1，所以f1故選：C.題型11函數(shù)圖象的識別與判斷【例11】函數(shù)f(x)=3x2A． B．C． D．【解題思路】分析函數(shù)f(x)的奇偶性，在(0,3【解答過程】函數(shù)f(x)=3x2而f(?x)=3x2當(dāng)x∈(0,33)當(dāng)x∈(3,+∞)時，x3故選：B.【變式11-1】函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．

【解題思路】先判斷x>0時函數(shù)fx的單調(diào)性，即可判斷選項C，D；再判斷當(dāng)x<0時函數(shù)f【解答過程】當(dāng)0<x<1時，fx=x+1x，此時當(dāng)x>1時，fx=x+1x，此時且x>0時，fx由此可知C，D選項中圖象錯誤；當(dāng)x<0時，fx=?x+1x，此時故選項A中圖象不合題意，又f(?1)=0，故B中圖象符合題意，故選：B.【變式11-2】已知函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，則函數(shù)fx的解析式可能為（A．fx=?2C．fx=?2x【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.【解答過程】由圖可知，函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；由圖可知，函數(shù)的定義域不是實數(shù)集.故排除B；由圖可知，當(dāng)x→+∞時，y→?而對于D選項，當(dāng)x→+∞時，y→0故選：A.題型12抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性【例12】定義在R上的奇函數(shù)fx滿足fx+2=?fx，且當(dāng)x∈0,1A．fx滿足B．fx在?1,1C．fx的圖象關(guān)于直線x=3D．fx的圖像關(guān)于點2,0【解題思路】根據(jù)函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【解答過程】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，函數(shù)fx滿足fx+2=?ffx是周期為4對于B，因為fx為奇函數(shù)，當(dāng)x∈0,1時，則f0=0，故fx在?1,1對于C，fx是周期為4的周期函數(shù)，則有f變形可得f3+x=f3?x，f對于D，奇函數(shù)fx是周期為4的周期函數(shù)，則f變形可得fx+2=?f2?x，f故選：B.【變式12-1】已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R都有f(x)=f(x+6)+f(3)，若y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=?2對稱，且對于?x1,x2∈[0,3]，當(dāng)A．f(2)=0 B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)是周期為4的周期函數(shù) D．f(2023)>f(2024)【解題思路】由已知條件可判斷函數(shù)的奇偶性，周期性以及單調(diào)性，由此一一判斷各選項，即可得答案.【解答過程】由y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=?2對稱，知f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)是偶函數(shù)，所以B錯誤.在f(x)=f(x+6)+f(3)中，令x=?3得f(?3)=f(3)+f(3)=2f(3)，又f(?3)=f(3)，所以f(3)=0，所以f(x)=f(x+6)，知f(x)是周期為6的周期函數(shù)，所以C錯誤.對于?x1,x2故f(x)在[0,3]上單調(diào)遞減，所以f(2)>f(3)=0，所以A錯誤.對于D，f(2023)=f(6×337+1)=f(1)，f(2024)=f(6×337+2)=f(2)，由f(x)在[0,3]上單調(diào)遞減，得f(1)>f(2)即f(2023)>f(2024)，D正確，故選：D.【變式12-2】函數(shù)y=fx在R上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與x軸有且僅有一個交點，對任意x，y∈R，fx+fyA．f2=2 B．C．fx在0,+∞單調(diào)遞減 D．若f【解題思路】由已知條件，通過賦值法求出f(0),f(1),f(2)及奇偶性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出單調(diào)性，即可得出判斷．【解答過程】令x=y=0得，2f(0)=f(0)，則f(0)=0；對于A，令x=y=1，有2f1=f2令x=y=2，有2f2=f對于B，令y=0，則f(x)=f(x),x>00,x=0,f(?x),x<0對于C，因為f(x)在R上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與x軸有且僅有一個交點，f(0)=0,f(1)=1>0，所以當(dāng)x>0時，f(x)>0，設(shè)0<x1<則f(x1)+f(所以f(x)在0,+∞對于D，由上述結(jié)論得，f(x)為偶函數(shù)，且在0,+∞單調(diào)遞增，f(0)=0,f(2)=4所以若fx≤4，則故選：D．題型13函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例13】已知函數(shù)fx是定義在?2,2上的奇函數(shù)，滿足f1=15(1)求函數(shù)fx(2)判斷fx(3)解不等式f(2x?1)+f(x)<0．【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f0=0，即可求出b，再由f1=15求出（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）結(jié)合奇偶性與單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【解答過程】（1）因為函數(shù)fx是定義在?2,2上的奇函數(shù)，所以f0=0，即b因為f(1)=15，所以f(?1)=?1所以當(dāng)?2<x≤0時，f(x)=x當(dāng)0<x<2時，?2<?x<0，則f(x)=?f(?x)=??x綜上所述，f(x)=x（2）函數(shù)fx在?2,2證明：任取x1,x則f=x==(∵?2<x∴(x2故f(x)=xx2（3）因為函數(shù)fx是定義在?2,2所以f(2x?1)+f(x)<0?f(x)<?f(2x?1)?f(x)<f(1?2x)，又由（2）知f(x)=xx2所以x<1?2x?2<x<2?2<2x?1<2，解得故原不等式的解集為x|?1【變式13-1】已知函數(shù)fx的定義域為0,+∞，對任意正實數(shù)x1，x2都有fx(1)求f1(2)試判斷fx(3)若f6x2【解題思路】（1）由賦值法即可求解，（2）利用單調(diào)性的定義即可求證，（3）由函數(shù)的單調(diào)性，列不等式即可求解.【解答過程】（1）令x1=x2=1（2）fx在0,+不妨設(shè)0<x所以f=fx又0<x1<x2，所以0<即fx所以fx在0,+（3）由（2）知fx在0,+若f6x2所以6x解得?16<x<0或56<x<1【變式13-2】已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx是奇函數(shù)，求a(2)若a<0，記函數(shù)fx在2,+∞（i）求Ma（ii）設(shè)函數(shù)gx=x2+ax+4a∈R滿足：對任意x∈R，均存在【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可直接求參數(shù)a的值.（2）（i）分情況去掉絕對值符號，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)fx的最小值，可得Ma的解析式；（ii）問題轉(zhuǎn)化為gx【解答過程】（1）因為fx為奇函數(shù)，所以f所以?x?x+a=?xx+a?（2）（i）①若a≤?2，則fx當(dāng)x≥?a時，對稱軸x=?a2<?a，所以f當(dāng)x<?a時，若?a2<2，即?4<a≤?2，則f如圖：所以fx若?a2=2，即a=?4若?a2>2如圖：則fx在2,?a2所以fx②若?2<a<0，則fx=x2+ax如圖：所以fx在2,+所以fx綜上，Ma（ii）若a≤?2，則fx0所以4?a24若?2<a<0，則fx0∈所以?2<a<0，綜上，a的取值范圍為?4,0.分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)】1．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性以及最值來求得正確答案.【詳解】，當(dāng)時，單調(diào)遞減，在0,1上的最小值為；當(dāng)時，，；當(dāng)時，單調(diào)遞增，在0,1上的最小值為，因此可得當(dāng)時，取得最大值為1．故選：D2．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系即可判斷.【詳解】的對稱軸為：，由題意可得，解得.故選：D3．已知滿足的使得恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，得到在上恒成立，考慮和x∈0,2兩種情況，參變分離，得到.【詳解】由，求出，在上恒成立，，當(dāng)時，，，當(dāng)x∈0,2時，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，綜上，的取值范圍為.故選：A4．已知函數(shù)在閉區(qū)間上的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，且，，畫出函數(shù)的圖象，由圖象可知，要使函數(shù)在上的值域是，則，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則（

）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】C【分析】根據(jù)得到方程，求出，從而得到解析式，并計算出.【詳解】因為的圖象關(guān)于原點對稱，故，其中，，則，由于恒成立，故，解得，，是奇函數(shù)，符合題意，則.故選：C6．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則在上的表達(dá)式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，則，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)求出時的解析式，即可得解.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，當(dāng)時，，令，則，則，所以當(dāng)時，，綜上所述，.故選：A.7．已知定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用對稱性及奇函數(shù)的性質(zhì)計算即得.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，得，由函數(shù)是R上的奇函數(shù)，得，因此，又當(dāng)時，，所以.故選：B8．已知函數(shù)滿足對任意實數(shù)，，當(dāng)時都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得在上單調(diào)遞增，所以需要每一段函數(shù)都必須為增函數(shù)，且在x=1處也要滿足增函數(shù)的定義才行.【詳解】依題意可得在上單調(diào)遞增，所以，解得,故選：B.9．已知函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得函數(shù)在R上單調(diào)遞減，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，即可求得實數(shù)a的取值范圍【詳解】由，對任意實數(shù)，都有，可知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則有，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為2,4.故選：C.10．定義，則稱與經(jīng)過變換生成函數(shù).已知，設(shè)與經(jīng)過變換生成函數(shù)，若，則在區(qū)間[2，9]上的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由題意求得，進(jìn)一步得到的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可知，又，解得，所以，因為在時單調(diào)遞減且為正值，在時單調(diào)遞減且為正值，所以在[2，9]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時函數(shù)有最小值.故選：C.11．（多選）下列說法錯誤的是（

）A．當(dāng)時，B．是定義在上的偶函數(shù)，若當(dāng)時，，則當(dāng)時，C．“”是“”的充分不必要條件D．若對任意實數(shù)，都有意義，則實數(shù)k的取值范圍是【答案】AC【分析】由基本不等式代入計算，即可判斷A，由函數(shù)的奇偶性代入計算，即可判斷B，由充分條件以及必要條件的定義即可判斷C，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)x>0時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x=1時，等號成立，又，所以，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，所以，且是定義在上的偶函數(shù)，則，故B正確；對于C，“”是“”的必要不充分條件，故C錯誤；對于D，由條件可得恒成立，當(dāng)時，恒成立，符合題意，當(dāng)時，，解得，綜上，實數(shù)k的取值范圍是，故D正確；故選：AC12．（多選）已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，若在上單調(diào)遞增，則的值可以為（

）A． B． C．0.8 D．5【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念及圖象特征，列不等式求解的取值范圍即可.【詳解】由圖可知，在上單調(diào)遞增，所以或，所以的取值范圍為．故A不符合題意，BCD符合題意.故選：BCD.13．（多選）給定函數(shù)，，對于，用表示，中的最大者，記為，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)的最大值是C．函數(shù)在遞增 D．函數(shù)有四個單調(diào)區(qū)間【答案】AD【分析】可作出函數(shù)草圖，數(shù)形結(jié)合，判斷各選項的準(zhǔn)確性.【詳解】如圖：對A：由圖可知，的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對B：由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時，，故B錯誤；對C：由圖象可知，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，故C錯誤；對D：由圖象可知，函數(shù)在和0,1上單調(diào)遞減，在和1,+∞上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有四個單調(diào)區(qū)間.故D正確.故選：AD14．已知函數(shù)，且滿足，.(1)求和的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求解；（2）先判斷單調(diào)性，再應(yīng)用單調(diào)性定義證明.【詳解】（1）函數(shù)滿足，，可得，解之.（2），在上單調(diào)遞增，設(shè)任意，且，則，由，可得，又，，，則，則，則在上單調(diào)遞增.15．已知是定義在上的奇函數(shù).(1)求的解析式.(2)證明：在上單調(diào)遞增.(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)證明過程見解析(3)【分析】（1）根據(jù)及求出，，檢驗后得到答案；（2）定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟，取點，作差，變形判號，下結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和（2）中結(jié)論得到在上單調(diào)遞增，從而得到不等式，求出不等式解集.【詳解】（1）因為為定義在上的奇函數(shù)，故，即，解得，，又，故，故，所以，解得，故，經(jīng)檢驗，滿足要求；（2）任取且，則，因為且，所以且，所以，所以，故在上單調(diào)遞增；（3）因為為定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，故，解得，的解集為.

【能力提升】1．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”求出函數(shù)在定義域內(nèi)的遞減區(qū)間即可．【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，設(shè)，由，解得或，所以在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故選：B.2．已知函數(shù)，若對任意，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可.【詳解】不妨假設(shè)，由，得，則在R上單調(diào)遞減，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.3．若關(guān)于的不等式在當(dāng)時恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值恒大于，由此求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以關(guān)于的一次函數(shù)在時恒有，所以只需在時都有即可，所以，解得，所以的取值范圍是，故選：A.4．對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得，則稱函數(shù)為“倒戈函數(shù)”.設(shè)是定義在上的“倒戈函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】問題就是方程在有解，變形為，引入新函數(shù)，求得函數(shù)的值域即可得結(jié)論.【詳解】因為是定義在上的“倒戈函數(shù)，存在滿足，，，構(gòu)造函數(shù)，，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以取得最大值0，或取得最小值，，，，故選：A.5．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（ B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍，再利用二次函數(shù)對稱軸和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定的取值范圍.【詳解】設(shè)，.若，則在上遞增，不滿足條件；若，則，所以fx不在上遞減，不滿足條件；若，由知在上遞減，不滿足條件；若，則由，及對有可知，在上遞減.由可知，在上遞增，滿足條件.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及符號法則即可解出．【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，所以，且在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以不等式的解集為.故選：D.7．已知奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則是解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因是奇函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為，分析函數(shù)的單調(diào)性，以及在各區(qū)間符號即可求解.【詳解】因是奇函數(shù)，所以f?x=?f所以，可轉(zhuǎn)化為，又因f1=0，且在上單調(diào)遞增，所以在上，，在上，，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以在上，，在上，，,所以，可知與異號，所以的解集為.故選：A8．已知函數(shù)，，若對于任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對勾函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，可得兩個函數(shù)分別在給定區(qū)間上的值域，由題意可得集合的包含關(guān)系，建立不等式組，可得答案.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；由對勾函數(shù)可知當(dāng)時，，由函數(shù)，則其對稱軸為直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，由題意可得，可得，解得，可得.故選：B.9．若函數(shù)在定義域上的值域為，則稱為“函數(shù)”.已知函數(shù)是“函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“函數(shù)”的定義可得值域為，再求分段函數(shù)的值域，由集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可.【詳解】由題意可知的定義域為，值域為