導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案

專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第八講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

答案部分

2019年

1.解析當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=1-2a+2a=1>0恒成立：

當(dāng)工<1時(shí)，f(x)=x2-lax+laffiO<=>la恒成立,

x-1

A,2(I(1-x)~-2(1-x)+l

令g(x)二一；——=—=—=

X—1\-x\-x\-x

所以2?！?1ax=0,即a〉0.

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=x-“Inx屋0<=>aX恒成立,

-Inx

一;--------r-----

inx-x-

令人(x)="則"(x)=xJnxT

Inx(inJr)2(inx)2

當(dāng)x〉efbj,，h'(x)>0,k(x)遞增，當(dāng)l<x<e時(shí)，”(x)<0,〃(x)遞減，

所以當(dāng)工=e時(shí)，取得最小值/?(e)=e.

所以明,A(x)m.n=e.

綜上，a的取值范圍是[0,e].

2.解析(1)f'M-6x2-2ax=2x(3x-

a).令八x)=0,得4?；蚬?".

"尸\

若a>0,則當(dāng)X￡(y,0)「,+8時(shí),fM>0；當(dāng)xe0,時(shí)，r(x)<0.故J.(x)

_I3J_I3J

在(一8,0),[",+8；單調(diào)遞增，隼'O,單調(diào)遞減；

若“0,/(幻在(-8,+8)單調(diào)遞增；

若K0,則當(dāng)乂'<0,",(°，*°)時(shí)，，(x)>0；當(dāng)xe“，0、時(shí)，/UX0.故/(X)

在'-8,"］,(0,+8)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

1可〔31

(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.

(i)當(dāng)<區(qū)0時(shí)由(1)知，/")在［0,1］單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為/(0尸〃，

最大值為了。)=2-4+〃.此時(shí)“，〃滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)人=一1,2-。+人=1,即，『0,

b=-\.

(ii)當(dāng)位3時(shí)，由(1)知，/W在［0,1］單調(diào)遞減，所以/(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為

/(0)=b,最小值為/(1)=2-。+人.此時(shí)3b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-\,M,

即4=4,h=\.

f(a^=-a\b

f(x)

(iii)當(dāng)0<。<3時(shí)，由(1)知,在［0，1］的最小值為1-1—,最大值為b

或2-a+b.

a,

若一27+b=-1?b=\,則a=3^"，與0<a<3矛盾.

ay

若一4+人=-］,2—。+0=1,則〃=3產(chǎn)a=-3，■或a二°，與矛盾.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)。二0,〃二一1或。=4,〃=1時(shí)，/(工)在［0,1］的最小值為-1,最大值為1.

a3

3.解析：(I)當(dāng)。=一時(shí)，f(x)=-\nx+1+x,x>0.

1&L

f'(x)=-3+1_(1+x—2)(21+x+l)

4x2J4x

所以，函數(shù)/(x)fid調(diào)遞減區(qū)間為XTT，單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+oo).

1?

(II)由/(1)<,得OvaW

2a3

當(dāng)0<。42時(shí)，'等價(jià)于X-21+X-21nx>().

4近旺工―

令f=1,則/N22.

即對(duì)任意XW?,+8］均有/(X),,丁.

算J五

綜上所述，所求。的取值范圍是

4.解析：(1)設(shè)g(x)=/'(x),則g(x)=cosx-」一，g<x)=-sinx+/、、.

1+x(1+x)-

時(shí)，8?)單調(diào)遞減，而/(0)>0,短(兀)<0,

22-

,兀、有唯一零點(diǎn)，設(shè)為打

可得g'a)彳—1

7

則當(dāng)尢￡(-1,二)時(shí)，g'(x)>0：當(dāng)x

所以g(x)在(-l,a)單調(diào)遞增，在「仔吟科調(diào)遞減，故g(x)在。1,兀、,在唯一極

1I

大值點(diǎn)，即在'-1,汽〕存在唯一極大值點(diǎn).

0

(2)/⑺的定義域?yàn)棰?+8).

(i)當(dāng)xw(-l,O］時(shí),由(1)知，尸(x)在(-1,0)單調(diào)遞增,而尸(0)=0,所以

當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，:(x)<0,故/(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，又/(0)=0,從而x=0是

/(X)在的唯一零點(diǎn).

(ii)當(dāng)x時(shí)，由(1)知，/Q)在(0。)單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,

-22

所以存在勺'打死

而/''(0)=0，使得/'(丹=0,且當(dāng)xe(0,歷時(shí),

(6兀］時(shí),外工)<0.故在｛0Q單調(diào)遞增,

/U)>0；當(dāng)了￡

遞減.

又/（0）=0,/p=l-n,l+:>>0'所以當(dāng)xjp,/時(shí),/（X）>0.

⑺I句

從而/（X）在fo，：沒(méi)有零點(diǎn).

（iii）當(dāng)x/兀，兀］時(shí)，/。）<0,所以/⑴在單調(diào)遞減.而/「］>（），

/（兀）<0,所以在3有唯一零點(diǎn).

匕1

（iv）當(dāng)xe（兀,+8）時(shí)，ln（x+l）>l,所以/（x）vO,從而/（x）在（兀,+8）沒(méi)有零點(diǎn).

綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

5.解析：⑴/⑺的定義域?yàn)椋?,l）U（l,+8）.

因?yàn)閞（x）=_+1八2>°，所以/⑴在（0,1）,（I,+oo）單調(diào)遞增.

X（1）-

fe=l-e+1<0/（e2）=2-e2+1=e2-3>0

因?yàn)椋ǎ?---，-----.....，

e-1e“Te~-1

所以f（X）在（1,+8）有唯一零點(diǎn)XI,即f（X!）=0.

又/（_L）=—ln++%+1=—/（卡）=0,

XXX-1

1

故/（x）在（0,1）有唯一零點(diǎn)一.

綜上，/（X）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）因?yàn)橐?e加”，故點(diǎn)B（-law,

一）在曲線產(chǎn)e*上.

?%

由題設(shè)知/（x）=0,即Inx_%+1

0o..1

_/+1

故直線AB的斜率1=兩"0_x0-l_1_

一所/一廂/+1丫X

曲線產(chǎn)e'在點(diǎn)B（-ln%）」）處切線的斜率是,，曲線y=lnx在點(diǎn)A（小，In用）處切線的

%為

1

斜率也是一，

所以曲線）'二,n”在點(diǎn)Aa。/11%）處的切線也是曲線產(chǎn)甘的切線.

6.解析(I)因?yàn)椤?/?=c,所以f(x)=(x-a)(x-/?)(x-c)=(x-

a)".因?yàn)閒(4)=8,所以(4一4)3=8,解得。=2.

(2)因?yàn)槿?c,

所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x}-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,

從而/"(x)=3(上一。)，一.令/1'(1)=0,得工=〃或x=2。；，.

因?yàn)椤?，駕2都在集合［—3,1,3}中，且。工〃，

所以空L1,4=3*=—3.

此時(shí)fM=(x-3)U+3尸，f(x)=3(x+3)(x-1).

令/。)=0,得工=-3或x=l.列表如下：

X(-8,-3)-3(-3,1)1（1，+8）

f'M+0—0+

/(x)□極大值□極小值□

所以/’(工)的極小值為/(l)=(l-3)(I+3)2=-32.

(3)因?yàn)閍=0,c=1,所以/。)二犬(工-〃)(九-1)=/-(〃+\)x1+bx,

f'(x)=Sx2-2(b+1)A+/?.

因?yàn)?<W1,所以44(/7+I)2-12/?=(2b-1)2+3>0,

則/'(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為N，W(N〈4).

2

.r,,.A用6+1-亞一〃+1b+\+y/b-b+\

由〃幻=。，得獷§--------'々)3-------

列表如下:

X(F再)%(不X2)X,(9,+8)

+0—0+

□極大值□極小值□

所以/‘(X)的極大值M=f5).

解法一：M=/(再)=￡_(〃+1)/+Zzx]

)..(x〃+1)2(Z?2-Z?+l)帥+1)

=[3-V—2(Z?4-1)x)+b\[——X|+

1U-o"J9-9

3

—2(〃2_b+i)s+i)b(b+l)2

解法一：因?yàn)镺v〃<1,所以七€(0,1).

當(dāng)xw(0,1)時(shí),f(x)=J(X-Z?)(x-1)<x(x-l)2.

令g(x)=x(X-1)2,x￡(0,1),則gQ)可Q-1J(4-1).

令g'a)=o,得x=’.列表如下:

3

(o，l)1(L1)

X

333

g'(x)+0—

g(x)□極大值□

//、

所以當(dāng)x=I時(shí)，g(x)取得極大值，且是最大值，故g(x)―=g'"=4

44

所以當(dāng)(0,1)時(shí)，f(x)<g(x)<一，因此MW一

2727

13

7.^flf：(I)由f(x)=_x3一x2+x,得/'(x)=_x2-2x4-1.

44

令/'(幻=1，即_幺-2工+1=1，解得x=0或x=_-

Q4Q3

X/(0)=0,/^)=_,

327

所以曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程是y=x與>—_!_=%—_!，

773

.64

即nily="與y=x—-.

27

<n)令g(x)=/(x)7,xe[-2,4].

i,3

由g(x)=_x3-x2得g'(x)=_x2-2x.

44

Q

令g'(x)=0得x=。或x=_?

3

g'(x),g(x)隨A-的變化情況如表所示

X-2(TO)08尸4〕

4

3r

\7

g\x)*-+

64

z0

g(x)-6z0]一百

所以g(x)的最小值為-6：最大值為0,所以一6Wg(x)W0,BPx-6<f(x)<x.

(Ill)由(ID知,

當(dāng)時(shí)，M(a)2廣(0)卜g(0)-|a=—〃>3;

當(dāng)〃>一3時(shí)，M(o)>F(-2)=^(一2)—《|=6+4>3；

當(dāng)。=一3時(shí)，M(a)=3.

綜上，當(dāng)M(a)最小時(shí)，a=—3.

8.解析(I)由已知，有/'(x)=ev(cosx-sinx).因此，當(dāng)

XG2攵兀+兀，2k兀''(攵￡Z)時(shí)，有sinx>cosx,得/'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減:

44

當(dāng)xe2左兀一，2%兀+：(ZEZ)時(shí)、有sinxvcosx，得/'(犬)>0,則/(X)單調(diào)遞

增.

所以，/Q)的單調(diào)遞增區(qū)間為「2人兀-3兀，2kn+7cl

(kGZ),/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

Lw4J

「2力立+”,2"五+'I伏至z).

U4TJ]

(H)記〃(戈)=f(x)+g(x)i-x1依題意及(I),有g(shù)W=e'(cosx-sinx),從而

2

\/

g'(x)=-2e'sinx.

當(dāng)x牛-71曾時(shí)，g'(大)<(),

【42)

故〃'(x)=f\x)+g汽一/+g(x)(-1)=g0)'兀n

-x<0.

bJI2

因此，〃口)在區(qū)間「衣，房上單調(diào)遞減，進(jìn)而/?(A-).../l

=t=0.

行列⑸⑸

所以，當(dāng)xe171,71]時(shí)，/(x)+g(x)'7l-x'

0.

2」[2

\/

(HI)依題意，u(x?)=f(xJ-l=0,即

2sXtl=1.

i己尤=五-2〃兀,貝ij久《左()

且/(y)=ev,,cos>;=e'n-2,mCOS(AJ-2〃兀)=e4Hl(刀eN).

由/(3)=e叱,1=/(%)及(I)，得％?%

由(II)知，當(dāng)xe,"時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)在「九，?！成蠟闇p函數(shù)，因此

匕2-J

g(y)，，g(y)<J眉=o.

n0

<4J

又由(II)知，f(y)+g(y..0,

〃〃)”

71/(汽)=_)<sinJ；os1

故——cju(sin)>-cosy

2g(y)

00000

..7ie2"n

所以，2〃兀+--x?<----一cos-

2sinx。o

2010?2018年

1.A【解析】Vf\x)=［x2+(a+2)x+a-1,Vff(-2)=0,：.a=-1,

所以f(x)=(^-x-\)ex~\(。)=(父+1-2)-7,

令/'(x)=0，解得工二-2或x=l，所以當(dāng)x￡(-oo,-2)，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞

增；當(dāng)不￡(一2,1)時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(l,+oo),f\x)>0,/(x)

單調(diào)遞增，所以/(幻的極小值為川)二(1一1一1)/7=-1,選A.

2.D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，)，=/(x)的單調(diào)性是減f增f減f增，排除A、C；

由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，y=/(x)的極值點(diǎn)一負(fù)兩正，所以D符合，選D.

In4)上單調(diào)遞增，在［In4,2］上單調(diào)遞減,又八0)=-1<0,/(□=2-&>(),

，(1)=4-6>(),f(2)=8-修>0,所以存在x￡((),1)是函數(shù)/(用的極小值點(diǎn)，

°2

即函數(shù)/(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(4,2)上單調(diào)遞增，且該函數(shù)為偶函數(shù)，符合

條件的圖像為

〃一8

D.4.B【解析】(解法一)加工2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為x=_.據(jù)題意，當(dāng)加〉2

時(shí)，/-----

----vV-----rn-2

-n即2m4-//<12.2mn<W<6:.mn<18.由2m=〃且

tn-22

2〃?+〃=12得m=3,〃=6.當(dāng)機(jī)<2時(shí)，拋物線開口向下，據(jù)題意得，一2*KL

八-rn—22

+tlQ1

即m+2n<18.../TTHTT<<9/.mn<_.由2〃=加且加+2〃=18得

'2T

m=9>2,故應(yīng)舍去.要使得〃?〃取得最大值，應(yīng)有機(jī)+2〃=18（〃?<2,〃>8）.所以

〃z〃=（18—2，?）〃<（18—2x8）x8=16,所以最大值為18.選B.

（解法二）由己知得/'（八）=（，〃-2）八十〃一8,對(duì)任意的人￡「一2],廣⑴￡（）,所

‘r（1）W0加2（）,心（）

以12，即?6+2〃<18.畫出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分

[r（x）WOI2,〃+〃W2

所示，

令〃w=f,則當(dāng)〃二°時(shí)，[二°,當(dāng)〃工°時(shí)，m=_f由線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，只有

1

n

當(dāng)直線2〃z+〃=12與曲線，〃=相切時(shí)，，取得最大值，由；,解得n=6,

7T1

9一一〃=

2n

f=18,所以（如選B.

5.A【解析】令/?（幻=上上，因?yàn)?（幻為奇函數(shù)，所以力（工）為偶函數(shù)，由于

x

="⑶/⑶,當(dāng)x>0時(shí)，xf\x）-f（x）<0,所以〃⑴在（0,+s）

JT

上單調(diào)遞減，根據(jù)對(duì)稱性"（X）在（一8,0）上單調(diào)遞增，又/（-1）=0,/（1）=0,

數(shù)形結(jié)合可知，使得/（幻>0成立的X的取值范圍是（70,-1）U（0，l）.

6.D【解析】由題意可知存在唯一的整數(shù)天，使得0%（2%一1）〈說(shuō)一。，設(shè)

g（x）=ex（2xZ?（x）=ax-a,由g'（x）=e'（2x+1）,可知g（x）在（一oo-）

2

上單調(diào)遞減，在（-L+8）上單調(diào)遞增，作出8。）與〃（X）的大致圖象如圖所示，

2

故,(0)>\(0)1,所以三.<].

[M-l)Wg(T)-2aW-—2e

e

7.D[解析]..?/(x)="—Inx,??./'CE)=A_J，'J/G)在(l，+8)單調(diào)遞增，

x

所以當(dāng)x>i時(shí)，ra)=&-22o恒成立，即t與i在a,+8)上恒成立，

XX

1

Vx>l,.-.0<-<1,所以攵21,故選D.

X

8.A【解析】法一由題意可知，該三次函數(shù)滿足以下條件：過(guò)點(diǎn)(0,0),(2,0),在(0,

0)處的切線方程為尸-X,出2,0)處的切線方程為j=3x-6,以此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn).A

113

選項(xiàng)，y=x3-x2-x,顯然過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，Xy='x2-x-1,

222

則y'Lo=T，VlE=3，故條件都滿足，由選擇題的特點(diǎn)知應(yīng)選A.

法二設(shè)該三次函數(shù)為f(x)=ax'+bx2+cx-^-d,則/'(x)=3ax^+2bx+c

1

?f?=8,hl,c\,d0

由題設(shè)有>(0)=T,解得a=2=F=-=.

/2)=3

故該函數(shù)的解析式為y=_d——x,選人.

22

9.C【解析】由正弦型函數(shù)的圖象可知：/(x)的極值點(diǎn)/滿足/(與)=±妒

則犯)=「2攵萬(wàn)(女三2),從而得x=(k+1MkeZ).所以不等式

m71T\

x2+[f(x)]2<m2,即為(&+)2/w2+3<m2,變形得一伙+)1>3,

00r爹

其中AwZ.由題意，存在整數(shù)Z使得不等式〃?2口_伏+1月>3成立.

2

當(dāng)攵￥-1且攵工0時(shí)，必有伙+L)2>1,此時(shí)不等式顯然不能成立，

2

故Z=-1或4=0,此時(shí)，不等式即為3nr>3,解得m<-2或加>2.

4

10,A【解析】設(shè)所求函數(shù)解析式為y=/(x),由題意知/(5)=-2,/(—5)=2,

Iq

且r(±5)=o,代入驗(yàn)證易得)，=[丫符合題意，故選人.

(255

11.C【解析】當(dāng)xu(0,1]時(shí)，得a>-3()3-4￡^)2+}?令,貝

xxxx

a^-3r3-4/2+/,令gQ)=-3/一4廣+z,tG[1,+OO),

則(。)=-9/-8/+1=-(，+1)(%-1),顯然在[1,+8)上，g'(/)<0,

g")單調(diào)遞減，所以g(t)max=g(l)=-6,因比〃2-6；

同理，當(dāng)XE[—2,0)時(shí)，得〃W-2.由以上兩種情況得一6W。W

-2,顯然當(dāng)x=0時(shí)也成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[―6,-2].

12.C【解析】設(shè)/(x)=e-lnx,則=故在(0,1)上有一個(gè)極值點(diǎn)，

x

即/(X)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù)，無(wú)法判斷了(修)與/(々)的大小，故A、8錯(cuò)?；構(gòu)造

函數(shù)g(x)=e：g，a)=e、a-i),故8(幻在Qi)上單調(diào)遞減，所以以工)>8(工)，

7,2

選C.

13.[解析】B當(dāng)。=()，可得圖象D；記/(/)=av2-七F,^(x)=a2x3-2ax2+

[]]22

x+a(aG/?),取。=,f(x)=(x-1)2-.令g'(x)=O,得x=,2,易知

2243

g(x)的極小值為g(2)=],又/(2)=J,所以g(2)>/(2),所以圖象A有可能；

24

同理取a=2,可得圖象C有可能；利用排除法可知選B.14.C

【解析】若c=()則有/(0)=0,所以A正確.由/(幻=./+ar?+/zr+c得

/(x)-c=r+aF+A，因?yàn)楹瘮?shù)y=1'+4/2+汝的對(duì)稱中心為(o,o),

所以/(幻=爐+成：2+云+，的對(duì)稱中心為(0,0),所以B正確.由三次函數(shù)的圖象可

知，若不是的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在七的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間(-8,小)單調(diào)

遞減是錯(cuò)誤的，D正確.選

C.15.A【解析】法一：由題意可得，jo=sinx()

J--------

而由/(x)=，

當(dāng)a=()時(shí)，f(x)=e'+.E/曾函數(shù)，

二光￡［0,1］時(shí),

???/(/(No))，”1>L

???不存在券1］使/J(如))三即成立，故B,D錯(cuò)；

當(dāng)。=e+l時(shí)，/*)=e'+x-e-1,

當(dāng))，oW［O,l］時(shí)，只有%=1時(shí)/(x)才有意義，而/(1)=0,

???/(/(D)=/(0),顯然無(wú)意義，故C錯(cuò).故選A.

法二：顯然，函數(shù)/(x)是增函數(shù)，/(幻20,從而以題意知必直0』］.

于是，只能有/()，0)=)’0?不然的話，若/()，0)>%，得/(/(丁0))>/()'0)>%，

與條件矛盾；若/(必)<%，得/(/(%))</(%)<%，與條件矛盾.

于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為=f在［0,1］上有解.

由/=e'+t-a,得產(chǎn)=d+f—a,分離變量，得。=g(f)=d—〃+/,/$［0/］

因?yàn)間\t)=e,-2t^\>0,rG［0,1J,

所以，函數(shù)g(f)在［0,1］上是增函數(shù),于是有l(wèi)=g(0)Wg⑺Wg(l)=e,

即〃￡H,eJ，應(yīng)選A.

16.D【解析】A.VXGR,/(X)</(X0),錯(cuò)誤.公(工0工0)是/(x)的極大值點(diǎn)，并不是

最大值點(diǎn)；B.-凡是/(-用的極小值點(diǎn).錯(cuò)誤.f(r)相當(dāng)于/(幻關(guān)于y釉的對(duì)稱

圖像，故一X。應(yīng)是/(-x)的極大值點(diǎn)；C.-%是-/(用的極小值點(diǎn).錯(cuò)誤.-/(外相

當(dāng)于/(X)關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像，故/應(yīng)是一/(好的極小值點(diǎn).跟-見(jiàn)沒(méi)有關(guān)系；D.-x0

是-f(-幻的極小值點(diǎn).正確.-/(-外相當(dāng)于fix)先關(guān)于y軸的對(duì)稱，再關(guān)于x軸

的對(duì)稱圖像.故D正確.

17.B【解析】???丁=_爐一皿尤???)，'=工—_,由)，',，0,解得—1麴k1,又x>0，

2x

???0<X?1故選B.

18.D【解析】/(x)=xel,f'(x)=ex(x+1),e、>0恒成立，令則尤=-1

當(dāng)大<一1時(shí)，F(xiàn)(x)<0,函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)x>-l時(shí)，f\x)>0,函數(shù)單調(diào)增，

貝ijx=—l為/(x)的極小值點(diǎn),故選D.

19.D【解析】f,(x)=\2x2-2ax-2b,由/(1)=(),即12—2〃-26=0,

得。+〃=6.由a>0,b>0所以abW('￡52=9,當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=3時(shí)取等號(hào).選

2

D.20.

D【解析】若x=—1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則易知a=c,???選項(xiàng)A,B的函數(shù)

為/(x)=a(x+l)2,/.[/(x)ex]=[f\x)+f(x)]ex=a(x+1)(x+3)e\

???x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)滿足條件；選項(xiàng)C中，對(duì)稱軸x=-八°,

2a

且開口向下，<。<0力>0,???/(-1)=2。一8<0,也滿足條件；

選項(xiàng)D中，對(duì)稱軸工=-0,且開口向上，,a>0,b>2a,

2a

???f(-1)=2a-b<0,與題圖矛盾，故選

D.21.D【解析】由題|MN|=V-Inx,(x>0)不妨令〃(x)二爐一In

1?2

則”。))2工一，令〃(E)=0解得/=,J3AG(0,)時(shí)，h\x)<0,

VX2±_2

22

當(dāng)X￡(L，+8)時(shí)，"'。)>°，所以當(dāng)x=時(shí)，|MN|達(dá)到最小.

V22

即，=2

2

22.①??⑤【解析】令/(1)=/+。工+4/'(幻=3/+。，當(dāng)時(shí)，f\x)>0,

則/(x)在R上單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)d+or+〃=0僅有一個(gè)實(shí)根，所以(4)(5)對(duì)：

當(dāng)。=一3時(shí)，由/'次)=3/-3<0得Tvxv1,所以x=1是的極小值點(diǎn).

由/(1)>0,得13-3」+〃>0,即〃>2,(3)對(duì).工二一1是/(x)的極大值點(diǎn)，

由/(—1)<0,得(一1)3—3?(-1)+力<0,即人<一2,(1)對(duì).

23.①④【解析】(1)設(shè)5>玉，函數(shù)2V單調(diào)遞增，所有2、>2"，M-占乂)，

則"?二色匕△")=2±2二X),所以正確；

x-X,X|-x2

(2)設(shè)M>/，則占-占>0，則〃二以再)"。2…J枷區(qū)?")

X]-x2X]-X,

二°「?‘°t'*')-=可+毛+々，可令再=1,x,=2,〃=一4,

-2

貝I」H=-l<(),所以錯(cuò)誤；

(3)因?yàn)榧佣?，?2)得：八、)*")=x+x+。，分母乘到右邊，

七一々

右邊即為g(Xj-g(&)，所以原等式即為/(演)-/。2)=8(M)一。2)，

即為了(再)一以工2)=/(2)?晨修)，令〃(X)=/(/)-&*)，

則原題意轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的。，函數(shù)/7(x)=/(X)-g(x)存在不相等的實(shí)數(shù)司,

當(dāng)使得函數(shù)值相等，h(x)=2x-x2-ax,貝ijh\x)=2x]n2-2x-a,

則〃'。)=2?1112)-2,令〃'(x0)=0,且可得"(%)為極小

值.若〃=—10000,則〃'(心)>0,即〃'(x0)>0,〃(x)單調(diào)遞增，不滿足

題意，所以錯(cuò)誤.

(4)由(3)得/(再)一/a2)=g(H])-g(x2)，則/(%))+g(X[)=g。2)+/。2)'

設(shè)〃(X)=/(%)+g(x),有和W使其函數(shù)值相等，則〃(X)不恒為單調(diào).

/?5)=2'+12+內(nèi),〃'(x)=2'ln2+2x+a,6'口)=2%ln2)2+2>0恒成立，

“(X)單調(diào)遞增且〃(-8)<0,h'(+00)>0.所以Mx)先減后增，滿足題意,所以正

確.

24.4【解析】當(dāng)0<xW1時(shí),/(x)=-Inx,g⑴=0,此時(shí)方程If(x)+g(x)|=1

即為lnx=l或lnx=-l,故x=e或x=l，此時(shí)尤=：符合題意，方程有一個(gè)實(shí)根.

ee

當(dāng)lvx<2時(shí)，/Or)=Inx,^(X)=4-X2-2=2-X2,方程|/(x)+g(x)|二1

2

即為1g+2?/=1或mx+2?W=-1,即L工+1?/=()或］11工+3?；1=0,

令)，=Inx+l-f,則法=一-2%<(),函數(shù))，=1111+1-寸在/1(1,2)上單調(diào)遞減,

x

且x=l時(shí)y=(),月f以當(dāng)l〈xv2時(shí)，方程lnx+1-工2=()無(wú)解；令)，=hix+3?/,

則y^=_-2x<0,函數(shù)y=lnx+3?x2在xi(1,2)上單調(diào)遞減，且大=1時(shí))，=2>0,

x

x=2時(shí)y=ln2-1<0,所以當(dāng)l<x<2時(shí)，方程lnx+3-x2=0有一個(gè)實(shí)

根.當(dāng)x22時(shí)，f(x)=\nx,g(x)=f-6,方程|/(x)+g(x)|=l即為Inx+x2-

6=1

sElnx^x2-6=-1,BPlnx+x2-7=0sElnx+X2-5=0,-^y=lnx+x2-7,

x

y=In2-3<0,x=3時(shí)y=ln3+2>0,所以當(dāng)x/2時(shí)方程Inx+V-7=。

)有1個(gè)實(shí)根.

故方程|/W+g(x)|=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為4個(gè).

25,2【解析】由題意/'比)=3/-6x=3工(,E-2),令/(x)=。得匯=0或x=

2.因柒<0或x>2時(shí)，7(x)>0,0vxv2時(shí)，/(x)<0.

x=2時(shí)/(x)取得極小值.

26(D/U)(0,+8)尸(幻二一111"W-or+1

.【解析】的定義域?yàn)椋?

x

(i*W2,則/a)W0,當(dāng)且僅當(dāng)4=2,x=l時(shí)八/=0,所以/。)在(0,+8)

單調(diào)遞減.

/-4cr-4

(ii)若。得或工=

22

/JJo

當(dāng)X￡(0,“一4)u(〃+,+00)時(shí)，f'M<0；

22

當(dāng)甲)時(shí)/W>(),所以/⑴在((),匕手)，

(竺叵三,一)單調(diào)遞減，在("必三，”?三)單調(diào)遞增.

222

(2)由(1)知，/。)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)X1,W滿足V-aY+1=0，所以再入2=1，不妨設(shè)再<々，

則1.由于

〃陽(yáng))-/(々)__1_1+fl1g-1匹__2+/呼-1眸__2+a-21nx2,

X.-XoX,x,x,-x-yX|-X,1_Y

一人2

X2

月〒以J--11一,"J2等價(jià)于-招+21nxW0.

外一4七

設(shè)函數(shù)g(x)=--x+21nx,由⑴知,g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減,又-1)=0,從而

x

當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，g[X)<0.

所以,一々+2皿%40,即/因)_"“2)<4_2.

X2-X1-x2

27.【解析】(1)當(dāng)4=1時(shí),f⑴21等價(jià)于d+i)eT_lW0.

設(shè)函數(shù)g(x)=(f+1)夕'-1,則屋(#=一(/一21+1)二=一(工一1)2溶

1當(dāng)xwl時(shí)，g'a)〈o,所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減.

而g(0)=0,故當(dāng)x20時(shí)，g(x)W0,即/(x)2l.

(2)設(shè)函數(shù)A(x)-\-ax2e~x.

/(X)在(0,+QO)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)〃(X)在(0,4-00)只有一個(gè)零點(diǎn).

(i)當(dāng)aW0時(shí)，/?(x)>0,h(x)沒(méi)有零點(diǎn)：

(ii)當(dāng)〃>0時(shí)，h'(x)=ax(x-2)eK

當(dāng)xG(0,2)時(shí)，/?V)<0；當(dāng)x￡(2,+8)時(shí)，h\x)>0.

所以/?(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增.

故爪2)=1-蘭_是〃(x)在［0,+00)的最小值.

e2

2

e

①若力(2)>0,即〃(屋，力(幻在(0,+oo)沒(méi)有零點(diǎn)；

^2

②若〃(2)=0,即〃=丁，〃(外在(0,+m)只有一個(gè)零點(diǎn)；

4

③若力(2)<0,即〃>一，由于力(0)=1,所以力(勸在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn),

4

由⑴知,當(dāng)x>0時(shí),el>^2,

\6a16/16/1

所凄曲口一一訴"一砌

故力。)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此人⑴在(0,+oo)有兩個(gè)零點(diǎn).

2

綜上，/(X)在(0,-HO)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。三士.

4

28.【解析】⑴當(dāng)4=0時(shí),f(x)=(2+x)\n(l+x)-2x,f(x)=ln(l+x)-

1+x

xX

設(shè)函數(shù)g(x)-/(％)-ln(1+x)--一，則/@)一——h

1+x(i+xy

當(dāng)一IvxvO時(shí)，g'(x)<0：當(dāng)x>0時(shí)，g\x)>0.

故當(dāng)在>一1時(shí),g(x)故g(0)=0,且僅當(dāng)x=01,g(%)=0,從而廣(x)20,且

僅當(dāng)x=0時(shí)，ff(x)=0.

所以f(X)在(-1.+00)單調(diào)遞增.

又/(0)=0,故當(dāng)一1<XVO時(shí)，<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.

(2)⑴若420,由⑴知,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)2(2+x)In(l+x)—2x>0=/(0),

這與x=0是的極大值點(diǎn)矛盾.

f(x)2x

(ii)若〃<0,設(shè)函數(shù)〃(x)=1f.=ln(l+x)-----------

2+x+ax~2+x+ar

由于當(dāng)|x|<min{1,時(shí)，2+x+ax2>0,故〃(x)與/(x)符號(hào)相同.

又〃(0)=/(0)=0,故工=0是/。)的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)工=0是人。)的極大值點(diǎn).

,12(2+x+ax2)-2r(l+2ax)x2(?2x2+4ax+6a+1)

h(x)=——.