湖南省頂級(jí)名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué)試題含答案

數(shù)學(xué)得分：__________本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共6頁.時(shí)量120分鐘.滿分150分.第I卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的傾斜角是（）A.B.C.D.2.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則等于（）A.5B.C.D.3.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.或D.或4.已知方程表示雙曲線，則的取值范圍為（）A.B.C.D.5.在正四棱錐中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A.B.C.D.6.已知橢圓的右焦點(diǎn)為是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最大值為（）A.B.14C.D.7.已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為（）A.B.6C.D.8.已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的差是2，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A.B.C.D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則的值可?。ǎ〢.B.C.D.10.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，若，且，則（）A.B.C.雙曲線的漸近線方程為D.直線的斜率為411.已知橢圓，將繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到橢圓，將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)?縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)到原來的2倍得到橢圓，動(dòng)點(diǎn)在上，且直線的斜率為，則（）A.順次連接的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形B.的面積為的4倍C.的方程為D.線段的中點(diǎn)始終在直線上第II卷三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.過點(diǎn)作直線，使它被直線和截得的線段被點(diǎn)平分，則直線的方程為__________.13.直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則__________.14.設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的內(nèi)切圓與軸切于點(diǎn)，且，則的離心率為__________.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）將點(diǎn)和點(diǎn)并入點(diǎn)的軌跡得曲線，若過點(diǎn)的直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程.16.（本小題滿分15分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面所成夾角的正切值.17.（本小題滿分15分）已知頂點(diǎn)為的拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）若直線過點(diǎn)，且其傾斜角，求的取值范圍；（2）是否存在斜率為1的直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.18.（本小題滿分17分）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線上，且.（1）求證：直線平面；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.19.（本小題滿分17分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，的邊上的中線長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）直線過右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為，設(shè)和分別與橢圓交于點(diǎn)和.若分別是線段和的中點(diǎn)，求面積的最大值.數(shù)學(xué)參考答案一?二?選擇題題號(hào)1234567891011答案CACBDBCAACBCABD1.C【解析】因?yàn)椋?，所以直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選C.2.A【解析】由條件知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.故選A.3.C【解析】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，方程為，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，短半軸長(zhǎng)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，方程為，所以橢圓方程為或.故選C.4.B【解析】由條件可得或，故的取值范圍為.故選B.5.D【解析】設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為點(diǎn)，由題意知，，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以，，所以.故選D.6.B【解析】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).的周長(zhǎng)的最大值等于14.故選B.7.C【解析】直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則得，即，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意可知，如圖所示，點(diǎn)都在直線上，由對(duì)稱性可知，，所以光線經(jīng)過的路程.故選C.8.A【解析】設(shè)，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.故選A.9.AC【解析】當(dāng)直線過線段中點(diǎn)時(shí)，有，得，當(dāng)直線時(shí)，有，得.故選AC.10.BC【解析】由，設(shè)，由，得，則，而，解得，因此，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然，則，B正確；對(duì)于C，易知，在中，由，得，則，即，因此雙曲線的漸近線方程為，C正確；對(duì)于D，由，結(jié)合對(duì)稱性，圖中位置可互換，則直線的斜率為，D錯(cuò)誤.故選BC.11.ABD【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，將繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到橢圓，則橢圓的焦點(diǎn)為，所以順次連接的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，故A正確；將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)?縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)到原來的2倍得到橢圓，所以與為相似曲線，相似比為2，所以的面積為的面積的倍，故B正確；且的方程為，即，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則，又，所以，即，所以，即，所以，所以線段的中點(diǎn)始終在直線上，故D正確.故選ABD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.【解析】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則由題意知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，代入直線的方程得，解得，即點(diǎn)在直線上，所以直線的方程為.13.0【解析】由可得，設(shè)，則有，所以，所以.13.【解析】由雙曲線的漸近線方程為，即，又由雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，則直角的內(nèi)切圓的半徑為，如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，則，因?yàn)?，可得，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.【解析】（1）法一：設(shè)，因?yàn)椋杂?，得，所以?dòng)點(diǎn)軌跡方程為.法二：由題，所以點(diǎn)的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓去掉兩點(diǎn)得到的，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由題設(shè)知曲線的方程為，因?yàn)橹本€與曲線有只有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖），①若直線斜率不存在，此時(shí)直線方程為：，與曲線切于點(diǎn)，②當(dāng)直線斜率存在且與曲線相切時(shí)，設(shè)，即，根據(jù)圓心到切線距離等于半徑可得，得，所以此時(shí)直線方程為.綜上，直線方程為或.16.【解析】（1）如圖，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令，且，所以，則，故，所以，即.（2）由（1）可得三棱錐體積取最大，即面積最大，所以當(dāng)時(shí)，，故分別為的中點(diǎn)，所以，故，若為平面的法向量，則令，得，又平面的法向量為，所以，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，所以，所以，所以平面與平面所成夾角的正切值為.17.【解析】（1）由題可知，且直線的斜率不為0，設(shè).設(shè)直線的方程為，因此點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立則，顯然，所以，則，所以，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以的取值范圍為.（2）設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立得，故，即，又，易知，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋?，即，解得或，故存在斜率?的直線，使得，此時(shí)直線的方程為或.18.【解析】（1）設(shè)，連接，為底面圓的內(nèi)接正三角形，為中點(diǎn)，，又.，且.平面平面，平面平面平面.（2）為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè).設(shè)平面的法向量，則令，解得，設(shè)直線與平面所成夾角為，，令，則，，當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)，點(diǎn)到平面的距離.19.【解析】（1）由題意，因?yàn)闉橹苯侨切?，所?又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由