北師大版2024-2025學年北京豐臺第二中學初中數(shù)學九年級第一學期末模擬測試（解析版）

2024-2025學年初中數(shù)學九年級第一學期期末模擬測試卷（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、單選題（每題2分，共20分）1．從1~9這九個自然數(shù)中任取一個，是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】從1到9這9個自然數(shù)中任取一個有9種可能的結果，其中是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的有2，3，4，6，8，9共計6個．【詳解】解：從1到9這9個自然數(shù)中任取一個有9種可能的結果，是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的有6個結果，因而概率是．故選：C．【點睛】用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．正確寫出是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的數(shù)有哪些是本題解決的關鍵．2．對于拋物線y=-x2+1，下列判斷正確的是（

）．A．頂點坐標為 B．有最小值C．與x軸無交點 D．開口向下【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可判斷A，B，D，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系可判斷C．【詳解】解：∵，∴頂點坐標為，故A不正確；∵二次項系數(shù)，∴拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，故B不正確，D正確；∵對于方程，，∴拋物線與x軸有2個交點，故C不正確．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)(a，h，k為常數(shù)，)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解答本題的關鍵．是拋物線的頂點式，a決定拋物線的形狀和開口方向，其頂點是，對稱軸是y軸．3．由4個棱長均為1的小正方形組成如圖所示的幾何體，這個幾何體的表面積為（

）A．18 B．15 C．12 D．6【答案】A【分析】幾何體的表面積是幾何體正視圖，左視圖，俯視圖三個圖形中，正方形的個數(shù)的和的2倍．【詳解】解：正視圖中正方形有3個；左視圖中正方形有3個；俯視圖中正方形有3個．則這個幾何體表面正方形的個數(shù)是：2×（3+3+3）=18．則幾何體的表面積為18．故選：A．【點睛】本題考查了幾何體的表面積，這個幾何體的表面積為露在外邊的面積和底面積之和．4．如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在網(wǎng)格的格點上，連接，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長到點D，連接，根據(jù)題意可得，，然后利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．本題考查了解直角三角形，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【詳解】如圖：延長到點D，連接由題意得∶，，∴故選：B．5．某個亮度可調節(jié)的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節(jié)總電阻控制電流的變化來實現(xiàn)．如圖所示的是該臺燈的電流與電阻的關系圖象，該圖象經(jīng)過點．根據(jù)圖象可知，下列說法正確的是（

）A．當時，B．與的函數(shù)表達式是C．當時，D．當時，則【答案】D【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的應用，求反比例函數(shù)的表達式是解決問題的關鍵，根據(jù)題意求出函數(shù)表達式，根據(jù)函數(shù)表達式結合圖象逐個分析選項即可完成求解．【詳解】設反比例函數(shù)的解析式為，把點坐標代入得：，解得：，即函數(shù)解析式為：，故B不正確；當時，即，解得：；故A不正確；當時，，由圖象知，當時，，故C不正確；當時，，當時，，圖象表明當時，則，故D正確；故選：D．6．如圖，△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似中心，相似比為，下列結論中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了位似的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．根據(jù)，利用位似的性質判斷解答即可．【詳解】解：∵，相似比為，∴，∴，∵位似圖形的對應線段平行且比相等；位似圖形的任意一對對應點到位似中心的距離比等于位似比；∴，∴．∴，故ACD正確，B錯誤，故選：B．7．如圖，△ABC的邊與相切于點，點在上，經(jīng)過圓心，且，為劣弧上一動點，連接，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質、圓周角定理，連接，由切線的性質得出，求出所對的圓心角度數(shù)，再由圓周角定理即可得出答案．【詳解】解：連接，如解圖所示，則．．．點在劣弧上，所對的圓心角為．，故選：A．8．二次函數(shù)與坐標軸交點情況是（）A．一個交點 B．兩個交點 C．三個交點 D．無交點【答案】C【分析】令求得與的交點，令，計算一元二次方程根的判別式，進而即可求解．【詳解】解：當x＝0時，y＝1，當y＝0時，0＝，∴＝8＞0．∴與x軸有兩個交點∴即該函數(shù)圖象與坐標軸共有三個交點．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸交點問題，求得方程的判別式是解題的關鍵．9．某數(shù)學興趣小組在學習相似多邊形時，三位同學分別將邊長為4，6，6的等腰三角形、邊長為4的正方形和長、寬分別為6，4的矩形按如圖所示的方式向外擴張，各得到一個新圖形，它們的對應邊間距均為1，則畫出的三組圖形中，新圖形和舊圖形是相似多邊形的有（

）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】C【分析】本題考查了相似多邊形的定義，理解并掌握相似多邊形的定義是解題的關鍵．根據(jù)相似多邊形的定義“對應角相等，對應邊成比例”進行分析即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長CB交于點，延長交于點，過點作交于點，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，同理，四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，即同理可得，，∴，∵，，∴，同理，，∴，∴；如圖所示，延長AB交于點，延長交于點，延長交于點，延長CB交于點，∵四邊形是正方形，邊長為，四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，且對應角都是90°，都相等，∴正方形∽正方形；如圖所示，矩形，，計算方法同上述正方形，∴矩形，，∴，∴矩形于矩形不是相似圖形；綜上所述，新圖形和舊圖形是相似多邊形的有2組，故選：C．10．如圖，邊長為2的正六邊形的對稱中心點P在函數(shù)的圖象上，邊在x軸上，點B在y軸上．平移正六邊形，使點B、C恰好都落在該函數(shù)的圖象上，則平移的過程為（

）A．左平移2個單位 B．右平移1個單位，上平移個單位C．右平移2個單位 D．右平移個單位，上平移1個單位【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的性質可得，因為點P在函數(shù)的圖象上，因此可求出函數(shù)解析式，利用正六邊形平移設，，根據(jù)平移后點B、C恰好都落在該函數(shù)的圖象上，將這兩個點代入函數(shù)解析式即可求出m、n的值，即可得出答案．【詳解】過點P作軸于點G，連接，由題意可知，G是的中點，，，點P在函數(shù)的圖象上，，，正六邊形中，，在中，，，，，，設正六邊形向右平移m個單位，向上平移n各單位，則，使點B、C恰好都落在該函數(shù)的圖象上，，解得或，又，，即正六邊形右平移1個單位，上平移個單位，故選：B．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，正六邊形的性質，反比例函數(shù)的圖像和性質，將正六邊形的邊角關系和反比例函數(shù)上點的坐標結合起來是解題的關鍵．評卷人得分二、填空題(每題3分，共24分）11．如圖，測量小玻璃管口徑的量具，的長為，被分為60等份．如果小玻璃管口正好對著量具上20等份處，那么小玻璃管口徑是．【答案】8【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，證得是解題的關鍵．先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質列比例式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，解得：．故答案為：8．12．已知在△ABC中，∠A、∠B為銳角，且sinA＝，cosB＝，∠C＝．【答案】75°【分析】分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A和∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內角和定理求得∠C的度數(shù)．【詳解】∵sinA＝，cosB＝，∠A、∠B為銳角，∴∠A＝45°，∠B＝60°，則∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．故答案為75°．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．13．圓錐底面圓的半徑為5cm，母線長為8cm，則它的側面積為．【答案】40πcm2【分析】圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2．【詳解】解：底面半徑為5cm，則底面周長=10πcm，側面面積=×10π×8=40πcm2．故答案為40πcm2.【點睛】本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．14．如圖，中，E是邊的中點，交對角線于點F，那么的值為．【答案】15【分析】證明，推出，設，則，，求出四邊形的面積，可得結論．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵E是邊的中點，∴，∴，∴，設，則，，∴，∴，；故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．15．如圖是一條水平鋪設的直徑為20米的通水管道橫截面，其水面寬為16米，交圓與點D，垂足為點C，則這條管道中此時水深為米．

【答案】4【分析】連接，由勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：連接，如下圖所示，

∵的直徑為20米，∴，又∵交圓與點D，垂足為點C，為16米，∴，在中，，則水深，故答案為：4．【點睛】此題考查了垂徑定理的運用、勾股定理；通過作輔助線運用垂徑定理和勾股定理是解決問題的關鍵．16．在△ABC中，，，將△ABC繞點逆時針旋轉得到△DEF，旋轉角為，點的對應點落在△ABC邊上時，旋轉角的度數(shù)為．

【答案】或72°/72°或【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和可求出，分為點C的對應點落在邊和邊兩種情況討論，①當點C的對應點落在邊，根據(jù)旋轉的性質和等腰三角形的性質可得，再次利用三角形的內角和定理求出即可；②當點C的對應點落在邊，直接可得到旋轉角的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，①當點C的對應點落在邊，如圖所示，∴，∴，∴；②當點C的對應點落在邊，如圖所示，∴故答案為：或．【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質和三角形的內角和定理，正確理解題意、熟練掌握上述知識、明確即為旋轉角是解題的關鍵．17．如圖所示的陰影部分是由拋物線y＝﹣x2+4的像與x軸所圍而成．現(xiàn)將背面完全相同，正面分別標有數(shù)﹣2，﹣1，0，1，2的5張卡片洗勻后，背面朝上，從中任取一張，將該卡片上的數(shù)作為點P的橫坐標，將該數(shù)的相反數(shù)作為點P的縱坐標，則點P落在該陰影部分內（包含邊界）的概率為．【答案】【分析】首先根據(jù)題意求得所有點的坐標，由陰影部分是拋物線y＝﹣x2+4在x軸上的部分與x軸所圍而成，可得（1，﹣1），（2，﹣2）不在陰影部分內部，然后分析剩余3個點即可求得答案．【詳解】由題意知，點P的坐標為（﹣2，2），（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），（2，﹣2），∵陰影部分在x軸上方，∴（1，﹣1），（2，﹣2）不在陰影部分內部，當x＝﹣2時，y＝﹣x2+4＝0＜2，點（﹣2，2）不在陰影部分內；當x＝﹣1時，y＝﹣x2+4＝3＞1，點（﹣1，1）在陰影部分內；當x＝0時，y＝﹣x2+4＝4＞0，點（0，0）在陰影部分內；∴點P落在該陰影部分內（包含邊界）的概率為，故答案為．【點睛】此題考查了拋物線中點與拋物線的關系與古典概率的知識．題目綜合性較強，解題時要注意數(shù)形結合思想的應用．18．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上的一點，經(jīng)過點A的直線與坐標軸分別交于點C和點D，過點A作軸于點B，，連接，若的面積為2，則k的值為．【答案】6【分析】本題考查的是利用圖形面積求解反比例函數(shù)中的，相似三角形的判定與性質，設，證明，可得，，再利用三角形的面積建立方程求解即可．【詳解】解：設，∴，．∵軸，軸，∴．∴，∴．∴，．又∵，∴．故答案為：6．評卷人得分三、解答題(共76分）19．（8分）（1）計算：（2）解方程:【答案】（1）；（2）x1=x2=?1.【分析】（1）將特殊銳角三角函數(shù)值代入、計算絕對值、零指數(shù)冪、化簡二次根式，再進一步計算可得；（2）方程左邊利用完全平方公式變形后，開方即可求出解．【詳解】（1）原式===.（2）方程變形得：(x+1)2=0，開方得：x+1=0，解得：x1=x2=?1.【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，零指數(shù)冪，絕對值，化簡二次根式，配方法解一元二次方程.解答本題的關鍵是（1）熟記特殊角的三角函數(shù)和任何非0數(shù)的零指數(shù)冪等于1，會化簡二次根式和會求絕對值.（2）熟練掌握用配方法解一元二次方程的方法和步驟.20．（8分）如圖所示，在學習《圖形的相似》時，小華利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標系中畫出了△ABC的位似圖形．(1)在圖中標出△ABC與的位似中心點的位置；(2)若以點為位似中心，在圖中軸的左側畫出的位似圖形，且與的位似比為；(3)在中，若邊上一點的坐標為，則點在上的對應點的坐標為．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】本題考查了作圖-位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．也考查了位似的性質．連接、、，、、的交點就是位似中心；連接、、，分別取、、的中點、、，連接、、得到，即為所求；因為與的位似比為，點的坐標為，則點在上的對應點的坐標為．【詳解】（1）解：如下圖所示，連接、、，、、的交點就是位似中心；（2）解：如下圖所示，連接、、，分別取、、的中點、、，連接、、得到，即為所求；（3）解：與的位似比為，點的坐標為，則點在上的對應點的坐標為．21．（9分）某工廠加工一批茶葉罐．設計者給出了茶葉罐的三視圖如圖所示（單位：）．

(1)圖中的立體圖形的名稱是：_________．(2)請你按照視圖確定制作一個茶葉罐所需鐵皮的面積．【答案】(1)圓柱(2)【分析】本題主要考查了由三視圖確定幾何體，計算圓柱的表面積：（1）根據(jù)左視圖和主視圖是長方形，則該幾何體是柱體，再由俯視圖為圓可知該幾何體是圓柱；（2）根據(jù)圓柱表面積計算公式求出圓柱的表面積即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，主視圖和左視圖都是長方形，俯視圖是圓，則該立體圖形是圓柱，故答案為：圓柱；（2）解：，，∴制作一個茶葉罐所需鐵皮的面積為．22．（9分）某菜農搭建了一個橫截面為拋物線的大棚，尺寸如圖:(1)如圖建立平面直角坐標系，使拋物線對稱軸為y軸，求該拋物線的解析式；(2)若需要開一個截面為矩形的門（如圖所示），已知門的高度為1．60米，那么門的寬度最大是多少米（不考慮材料厚度）?（結果保留根號）【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意設出二次函數(shù)的解析式，把圖象上點的坐標代入即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）令y=1.6，求出x的值，即可確定門的最大寬度．解：（1）由圖可設拋物線的解析式為：y=ax2+2，由圖知拋物線與x軸正半軸的交點為（2，0），則：a×22+2=0，∴a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2；（2）當y=1.60時，知1.6=﹣x2+2，解得：x=，所以門的寬度最大為2×=米．考點：二次函數(shù)的應用．23．（10分）鄂州市某校數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行50米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段的長為無人機距地面的鉛直高度，點M、C、D在同一條直線上．其中米．（1）求無人機的飛行高度；（結果保留根號）（2）求河流的寬度．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）米；（2）263米【分析】（1）根據(jù)正切的定義即可求出AM的長；（2）過點B作BH⊥MD，根據(jù)三角函數(shù)求出DH的長，利用CD=DH-CH即可求解．【詳解】（1）由題意可得AF∥MD∴∠ACM=∠FAC=在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米);（2）如圖，過點B作BH⊥MD，在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=∴DH=BH÷tan30°=÷=300米，∵AM⊥DM，AM⊥AF∴四邊形ABHM是矩形∴MH=AB=50米∴CH=CM-MH=-50(米)∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米）故河流的寬度為263米．【點睛】此題主要考查三角函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟知解直角三角形的方法．24．（10分）如圖，在等邊三角形中，點是邊上一動點（點不與端點重合），作，交邊于點，交邊于點．(1)求證：△BPD∽△CEP；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題重點考查等邊三角形的性質、三角形內角和定理、相似三角形的判定與性質等知識，推導出，進而證明是解題的關鍵．（1）由等邊三角形的性質得，而，則，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明；（2）由，，求得，，由相似三角形的性質得出，求得，得出答案．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴的長是．25．(10分）某公司銷售一種進價為20元/個的計算器，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化滿足；同時，銷售過程中的其他開支（不含進價）總計40萬元．（1）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？（2）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？【答案】（1），當銷售價格50元/個時，最大利潤為50萬元；（2），40．【分析】（1）總凈利潤=單件利潤×銷售量-40，首先求出單件利潤（x-20），然后乘以銷售量y，將解析式化為頂點式即可求解；（2）令（1）中解析式的值為40，然后作出函數(shù)圖像示意圖，根據(jù)示意圖即可求解x的取值范圍，然后結合銷售量和銷售價的關系即可判斷x的值．【詳解】（1）根據(jù)題意得：＝＝將其化為頂點式：＝＝＝∴銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元．（2）當公司要求凈得利潤為40萬元時，即解得：x1＝40，x2＝60如圖，通過觀察函數(shù)y＝的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：40≤x≤60而y與x的函數(shù)關系式為：，y隨x的增大而減少，因此，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為40元/個．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，在本類題型中，將二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關鍵．26．（12分）[證明體驗]（1）如圖1，在△ABC和△BDE中，點A，B、D在同一直線上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求證：△ABC∽△DEB．（2）如圖2，圖3，AD＝20，點B是線段AD上的點，AC⊥AD，AC＝4，連結BC，M為BC中點，將線段BM繞點B順時針旋轉90