2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】全稱量詞與存在量詞-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題1.5全稱量詞與存在量詞教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.通過豐富的例子理解全稱量詞、存在量詞、全稱量詞命題、存在量詞命題的含義，會(huì)判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假，會(huì)寫出其否定形式；2.使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的歸納方法，體驗(yàn)從具體到抽象的認(rèn)知發(fā)展過程；3.培養(yǎng)學(xué)生邏輯用語的理解能力和表達(dá)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：理解全稱量詞命題和存在量詞命題的含義.教學(xué)難點(diǎn)：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，寫出全稱量詞命題和存在量詞命題的否定形式.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)一、引入新課二、建構(gòu)新知三、深化認(rèn)識(shí)四、課堂小結(jié)五、布置作業(yè)請(qǐng)同學(xué)們閱讀下列兩組命題，看看語言上有什么特點(diǎn)？A組：(1)對(duì)任意一個(gè)xZ，2x+1是整數(shù).(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù).(3)所有的矩形都是平行四邊形.B組：(1)有些三角形是等腰三角形.(2)至少有一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直.(3)存在一個(gè)xR，使得x2>0.我們發(fā)現(xiàn)，A組中的短語“任意一個(gè)”、“每一個(gè)”、“所有的”指的是事物的全部，B組中的短語“有些”、“至少有一個(gè)”、“存在一個(gè)”指的是事物的一部分。這兩種短語就是我們今天要學(xué)習(xí)的全稱量詞與存在量詞。1.短語“任意一個(gè)”，“每一個(gè)”，“所有的”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.A組命題都是全稱量詞命題，為了更好地觀察命題的結(jié)構(gòu)，我們把A組命題改用集合語言敘述：(1)對(duì)于整數(shù)集合中的任意一個(gè)元素x，2x+1是整數(shù).(2)素?cái)?shù)集合中的任意一個(gè)元素x都是奇數(shù).(3)矩形集合中的任意一個(gè)元素x都是平行四邊形.不難發(fā)現(xiàn)，全稱量詞命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：集合M中的任意一個(gè)元素x，都滿足條件p.因此全稱量詞命題的一般形式就可以寫成：“對(duì)M中任意一個(gè)x，都有p(x)成立”，用符號(hào)簡(jiǎn)記為“，p(x)”.2.短語“有些”、“至少有一個(gè)”、“存在一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.B組命題都是存在量詞命題，同理，從集合的角度看，存在量詞命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：集合M中至少存在一個(gè)元素x，滿足條件p.它的一般形式可以寫成：“存在M中的元素x，使得p(x)成立”，用符號(hào)簡(jiǎn)記為“，p(x).”為了更好地理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義及關(guān)系，我們進(jìn)一步研究命題的真假與命題的否定.1.判斷命題的真假例１判斷下列全稱量詞命題的真假：(1)x∈R，|x|＋1≥1；(2)對(duì)任意一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù).分析要判定全稱量詞命題“，p(x)”為真，就需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判定全稱量詞命題“，p(x)”為假，舉一個(gè)反例即可:在集合M中找一個(gè)x0，使得p(x0)不成立．解(1)x∈R，總有|x|≥０，因此|x|＋1≥1．所以該命題是真命題.(2)是無理數(shù)，但是有理數(shù)，即至少有一個(gè)無理數(shù)的平方不是無理數(shù)，所以該命題是假命題.例2判斷下列存在量詞命題的真假:(1)有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù);(2)存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和不等于1800.分析要判定存在量詞命題“x∈M,p(x)”為真，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可(找特例).要判定存在量詞命題“x∈M,p(x)”為假，就需要證明M中不存在使p(x)成立的元素,即對(duì)M中的任意一個(gè)元素x，p(x)都不成立.解(1)因?yàn)榕紨?shù)2是素?cái)?shù)，所以該命題是真命題.(2)因?yàn)槿我庖粋€(gè)三角形的內(nèi)角和都等于1800，所以內(nèi)角和不等于1800的三角形不存在，所以該命題是假命題.練習(xí)判斷下列命題的真假：(1)所有能被３整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(2)任意兩個(gè)等邊三角形都相似；(3)有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0；(4)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線.解(1)舉反例：6能被3整除，但是6不是奇數(shù)，所以該命題是假命題.(2)因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等(都是600)，所以它們相似，所以該命題是真命題.(3)分析：“有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0”的含義是“方程x2+2x+3=0有解”.因?yàn)?，所以方程x2+2x+3=0無實(shí)根，因此使x2+2x+3=0的實(shí)數(shù)x不存在.所以該命題是假命題.(4)因?yàn)槠矫鎯?nèi)過一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有且只有一條，所以平面內(nèi)任意兩條相交直線都不可能垂直于同一條直線，即平面內(nèi)不存在兩條相交直線垂直于同一條直線.所以該命題是假命題.另：由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，因此平面內(nèi)不可能存在兩條相交直線垂直于同一條直線．所以該命題是假命題.小結(jié)：判斷全稱量詞命題、存在量詞命題的真假，關(guān)鍵在于讀懂命題的含義.在研究命題含義的過程中，我們會(huì)經(jīng)常遇到與原命題意義想反的命題，即命題的否定.比如例1第(2)題原命題是“對(duì)任意一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”，舉反例，就說明“存在一個(gè)無理數(shù)x，x2不是無理數(shù)”，這個(gè)命題就是原命題的否定.再如例2第(2)題原命題是“存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和不等于1800”，相反意義的命題是：“內(nèi)角和不等于1800的三角形不存在”，即“任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都等于1800”.2.命題的否定(1)全稱量詞命題的否定原命題：對(duì)M中任意一個(gè)x，都有p(x)成立，記為，p(x).命題的否定：“存在M中的元素x，使得p(x)不成立”，記為，p(x).(2)存在量詞命題的否定原命題：存在M中的元素x，使得p(x)成立，記為，p(x).命題的否定：對(duì)M中任意一個(gè)元素x，p(x)都不成立，記為，p(x).(3)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．例3寫出下列命題的否定：(1)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有平方根;(2)對(duì)任意x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)字不等于３;(3)x∈R，使得x2-2x+2<0;(4)有些四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上.解(1)命題的否定：有的實(shí)數(shù)沒有平方根.(2)命題的否定：x∈Z，使得x2的個(gè)位數(shù)字等于３.(3)命題的否定：x∈R，都有x2-2x+2≥0.(4)命題的否定：任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都不在同一個(gè)圓上.思考將下列命題改寫成含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題，并寫出它們的否定：(1)平行四邊形的對(duì)角線互相平分；(2)三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是６的倍數(shù)；(3)三角形不都是中心對(duì)稱圖形；(4)一元二次方程不總有實(shí)數(shù)根．解(1)原命題：任意一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線都互相平分.命題的否定：存在一個(gè)平行四邊形，它的對(duì)角線不互相平分.(2)原命題：任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是６的倍數(shù).命題的否定：存在三個(gè)連續(xù)整數(shù)，它們的乘積不是６的倍數(shù).(3)原命題：有些三角形不是中心對(duì)稱圖形.命題的否定：任意一個(gè)三角形都是中心對(duì)稱圖形.(4)原命題：有的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．命題的否定：所有的一元二次方程都有實(shí)數(shù)根．全稱全稱量詞全稱量詞命題存在量詞存在量詞命題概念含義關(guān)系本質(zhì)作用本節(jié)課先從認(rèn)識(shí)具體的量詞短語開始，形成初步的概念，再通過判斷命題的真假進(jìn)一步理解了全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，通過寫命題的否定理解了兩種命題的關(guān)系，即全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題：“，p(x)”的否定