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文檔簡介
教學(xué)準(zhǔn)備1.
教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能目標(biāo)1、體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用,能解決利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題,2、形成求解優(yōu)化問題的思路和方法。二、過程與方法:1、通過逐步形成用到導(dǎo)數(shù)知識分析問題和解決問題,進一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。三、情感、態(tài)度、價值觀:培養(yǎng)學(xué)生用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題地積極態(tài)度2.
教學(xué)重點/難點教學(xué)重點:利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題。教學(xué)難點:理解導(dǎo)數(shù)在解決實際問題時的作用,并利用其解決生活中的一些優(yōu)化問題。3.
教學(xué)用具多媒體、板書4.
標(biāo)簽
教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入【師】問題一:導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中有哪些應(yīng)用?問題二:聯(lián)系函數(shù)在實際生活中的作用,你認(rèn)為導(dǎo)數(shù)對于解決生活中的什么問題有什么作用呢?問題三:通過預(yù)習(xí),我們把導(dǎo)數(shù)能解決的這些問題通常稱為什么問題呢?【生】學(xué)生討論回答【師】生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學(xué)習(xí),我們知道,導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大(小)值的有力工具.這一節(jié),我們利用導(dǎo)數(shù),解決一些生活中的優(yōu)化問題.二、新知學(xué)習(xí)問題1:導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題,主要有幾個方面?1、與幾何有關(guān)的最值問題;2、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題;3、效率最值問題。【生】學(xué)生討論回答問題2:解決優(yōu)化問題的方法有哪些?首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系,并確定函數(shù)的定義域,通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境,即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),提出優(yōu)化方案,使問題得以解決,在這個過程中,導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.【生】學(xué)生討論回答問題3:解決優(yōu)化問題的的步驟是怎樣的?
【生】學(xué)生討論回答典例探究(一)海報版面尺寸的設(shè)計
【例題1】學(xué)?;虬嗉壟e行活動,通常需要張貼海報進行宣傳。現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報,要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸,才能使四周空心面積最???【分析】先建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】設(shè)版心的高為xdm,則版心的寬為dm,此時四周空白面積為
因此,x=16是函數(shù)的極小值,也是最小值點。所以,當(dāng)版心高為16dm,寬為8dm時,能使四周空白面積最小。答:當(dāng)版心高為16dm,寬為8dm時,海報四周空白面積最小?!疽晁伎肌吭诒绢}解法中,“x=16是函數(shù)S(x)的極小值點,也是最小值點?!睘槭裁??【生】學(xué)生討論回答【師】一個函數(shù)在某個區(qū)間上若只有一個極值,則該極值即為這個區(qū)間上的最值。在實際問題中,由于f'(x)=0常常只有一個根,因此若能判斷該函數(shù)的最大(?。┲翟诘淖兓瘏^(qū)間內(nèi)部得到,則這個根處的極大(?。┲稻褪撬蠛瘮?shù)的最大(小)值?!疽活}多解】對于本題的最值你是否還有別的解法?【探究解答】由解法一可得:【變式練習(xí)】在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底箱子,箱底的邊長是多少時,箱底的容積最大?最大容積是多少?【規(guī)范解答】解法一:由題意可知,當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子容積很小,因此,16000是最大值
答:當(dāng)x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3解法二:設(shè)箱高為xcm,則箱底長為(60-2x)cm,則得箱子容積由題意可知,當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小,所以最大值出現(xiàn)在極值點處.【反思提高】事實上,可導(dǎo)函數(shù)在各自的定義域中都只有一個極值點,從圖象角度理解即只有一個波峰,是單峰的,因而這個極值點就是最值點,不必考慮端點的函數(shù)值
(二)飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響【問題引領(lǐng)】(1)你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?(2)是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?【例題2】【背景知識】某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中是瓶子的半徑,單位是厘米。已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.【問題】(1)瓶子的半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?(2)瓶子的半徑多大時,每瓶的利潤最???【分析】先建立目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】由于瓶子的半徑為,所以每瓶飲料的利潤是【新視角解答】我們已經(jīng)求出利潤和瓶子半徑之間的關(guān)系式:圖象如圖,能否根據(jù)它的圖象說出其實際意義?【合作探究】(三)磁盤的最大存儲量問題【例題3】【背景知識】計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤,并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道,扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元,根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1,這個基本單元通常被稱為比特(bit)。為了保障磁盤的分辨率,磁道之間的寬度必需大于m,每比特所占用的磁道長度不得小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利,磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)?!締栴}】現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤,它的存儲區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域.(1)
是不是r越小,磁盤的存儲量越大?(2)
r為多少時,磁盤具有最大存儲量(最外面的磁道不存儲任何信息)?【規(guī)范解答】由題意知:存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r
與R之間,由于磁道之間的寬度必需大于m,且最外面的磁道不存儲任何信息,故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同,為獲得最大存儲量,最內(nèi)一條磁道必須裝滿,即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以,磁盤總存儲量(1)它是一個關(guān)于r的二次函數(shù),從函數(shù)解析式上可以判斷,不是r越小,磁盤的存儲量越大.【思考】根據(jù)以上三個例題,總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題的基本步驟.【例題總結(jié)】(3)比較函數(shù)在各個根和端點處的函數(shù)值的大小,根據(jù)問題的實際意義確定函數(shù)的最大值或最小值?!咎釀e提醒】由問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時,如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點,那么這個極值就是所求最值,不必再與端點值比較.四、課堂練習(xí)1.某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法:達到100人的團體,每人收費1000元。如果團體的人數(shù)超過100人,那么每超過1人,每人平均收費降低5元,但團體人數(shù)不能超過180人,如何組團可使旅行社的收費最多?(不到100人不組團)【分析】先列出問題的文字模型(標(biāo)準(zhǔn)收費數(shù)-降低的收費數(shù)),再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.【規(guī)范解答】設(shè)參加旅游的人數(shù)為x,旅游團收費為y所以當(dāng)參加人數(shù)為150人時,旅游團的收費最高,可達112500元。2.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時,它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省?【規(guī)范解答】因為S(R)只有一個極值,所以它是最小值
答:當(dāng)罐的高與底直徑相等時,所用材料最省【變式練習(xí)】當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時,它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取才能使所用材料最?。?/p>
課堂小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題,主要有以下幾種類型:(1)與幾何(長度、面積、體積等)有關(guān)的最值問題;(2)與物理學(xué)有關(guān)的最值問題;(3)與利潤及其成本(效益最大、費用最小等)有關(guān)的最值問題;(4)效率最值問題。2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路:
課后習(xí)題課本37頁A組1,2;B組第1題
板書1.4生活中的優(yōu)化問題舉例5.1復(fù)習(xí)引入5.2新
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