《數字信號處理》課件第4章

第4章數字濾波器的基本結構4.1數字濾波器的結構特點與表示方法4.2IIR濾波器的結構4.3FIR濾波器的結構4.1數字濾波器的結構特點與表示方法

數字濾波器是數字信號處理的一個重要組成部分。數字濾波實際上是一種運算過程，其功能是將一組輸入的數字序列通過一定的運算后轉變?yōu)榱硪唤M輸出的數字序列，因此它本身就是一臺數字式的處理設備。數字濾波器一般可以用兩種方法實現(xiàn)：一種是根據描述數字濾波器的數學模型或信號流圖，用數字硬件裝配成一臺專門的設備，構成專用的信號處理機；另一種方法就是直接利用通用計算機，將所需要的運算編成程序讓計算機來執(zhí)行，這也就是用軟件來實現(xiàn)數字濾波器。

數字濾波器是離散時間系統(tǒng)，所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統(tǒng)或網絡可以用差分方程、單位脈沖響應以及系統(tǒng)函數進行描述。如果系統(tǒng)輸入、輸出服從N階差分方程(4-1)則其系統(tǒng)函數，即濾波器的傳遞函數為(4-2)

為了用專用硬件或軟件實現(xiàn)對輸入信號的處理，需要把式（4-1）或式(4-2)變換成一種算法。對于同一個系統(tǒng)函數H(z)，對輸入信號的處理可實現(xiàn)的算法有很多種，每一種算法對應于一種不同的運算結構（網絡結構）。例如：(4-3)觀察式(4-3)可知，對應于每一種不同的運算結構，我們都可以用三種基本的運算單元：乘法器、加法器和單位延時器來實現(xiàn)。這三種基本運算單元的常用流圖表示方法如圖4-1所示。圖4-1三種基本運算的流圖4.2IIR濾波器的結構4.2.1直接型（Ⅰ型）一個N階的IIR濾波器的輸入輸出關系可以用如式（4-1）所示的N階的差分方程來描述。把式（4-1）重寫如下：

從這個差分方程表達式可以看出，系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構成：第一部分 是一個對輸入x(n)的M階延時鏈結構，每階延時抽頭后加權相加，構成一個橫向結構網絡。第二部分 是一個對輸出y(n)的N階延時鏈的橫向結構網絡，是由輸出到輸入的反饋網絡。由這兩部分相加構成輸出，取M=N可得其結構圖如圖4-2。從圖上可以看出，直接Ⅰ型結構需要2N個延時器和2N+1個乘法器。圖4-2直接Ⅰ型結構4.2.2直接Ⅱ型直接Ⅱ型結構又稱為正準型結構。由圖4-2，直接Ⅰ型結構的系統(tǒng)函數H(z)也可以看成是兩個獨立的系統(tǒng)函數的乘積。輸入信號x(n)先通過系統(tǒng)H1(z)，得到中間輸出變量y1(n)，然后再把y1(n)通過系統(tǒng)H2(z)得到輸出信號y(n)。即式中,對應的差分方程為:對應的差分方程為

假設所討論的IIR數字濾波器是線性非時變系統(tǒng)，顯然交換H1(z)和H2(z)的級聯(lián)次序不會影響系統(tǒng)的傳輸效果，即若系統(tǒng)函數H(z)的分子階數和分母階數相等，即M=N時，其結構如圖4-3所示。輸入信號x(n)先經過反饋網絡H2(z)，得到中間輸出變量然后，將y2(n)通過系統(tǒng)H1(z)，得到系統(tǒng)的輸出y(n)

結構圖4-3中有兩條完全相同的對中間變量y2(n)進行延遲的延時鏈，我們可以合并這兩條延時鏈，得到如圖4-4所示的直接Ⅱ型結構（圖中取M=N）。比較圖4-2和圖4-4可知:直接Ⅱ型比直接Ⅰ型結構延時單元少，用硬件實現(xiàn)可以節(jié)省寄存器，比直接Ⅰ型經濟；若用軟件實現(xiàn)則可節(jié)省存儲單元。但對于高階系統(tǒng)直接型結構都存在調整零、極點困難，對系數量化效應敏感度高等缺點。圖4-3直接Ⅰ型的變形結構圖4-4直接Ⅱ型結構［例4－1］用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型結構實現(xiàn)系統(tǒng)函數：解：分母首系數歸一化后，可得直接Ⅰ型結構如圖4-5所示。圖4-5例4-1IIR系統(tǒng)的直接Ⅰ型結構直接Ⅱ型結構：圖4-6例4-1IIR系統(tǒng)的直接Ⅱ型結構4.2.3級聯(lián)型

若把式(4-2)描述的N階IIR濾波器的系統(tǒng)函數H(z)的分子和分母分別進行因式分解，得到多個因式連乘積的形式(4-4)式中：A為常數，ci和di分別表示H(z)的零點和極點。由于H(z)的分子和分母都是實系數多項式，而實系數多項式的根只有實根和共軛復根兩種情況。將每一對共軛零點（極點）合并起來構成一個實系數的二階因子，并把單個的實根因子看成是二次項系數等于零的二階因子，則可以把H(z)表示成多個實系數的二階數字網絡Hj(z)的連乘積形式，如式(4-5)所示:(4-5)式中：

若每一個實系數的二階數字網絡的系統(tǒng)函數Hj(z)的網絡結構均采用前面介紹的直接Ⅱ型結構，則可以得到系統(tǒng)函數H(z)的級聯(lián)型結構，如圖4-7所示。圖4-7級聯(lián)型結構

在級聯(lián)型結構中，每一個一階網絡只關系到濾波器的一個零點、一個極點；每個二階網絡只關系到濾波器的一對共軛零點和一對共軛極點。調整系數β0j、β1j和β2j只會影響濾波器的第j對零點，對其他零點并無影響；同樣,調整分母多項式的系數α1j和α2j也只單獨調整了第j對極點。因此，與直接型結構相比，級聯(lián)型結構便于準確地實現(xiàn)濾波器零、極點的調整。此外，因為在級聯(lián)結構中，后面的網絡的輸出不會流到前面，所以其運算誤差也比直接型小。[例4-2]用級聯(lián)型結構實現(xiàn)系統(tǒng)函數解：級聯(lián)型結構：圖4-8例4-2IIR系統(tǒng)的級聯(lián)型結構當然將上式中的因式進行不同的組合，我們還可以得到不同的網絡結構。一般來說，我們通常把階數相同的零極點放到同一個子濾波器中，這樣可以減少單位延遲的數目。顯然一個系統(tǒng)的級聯(lián)型結構網絡并不是唯一的。級聯(lián)型網絡結構的MATLAB實現(xiàn)：若已知數字濾波器的直接型結構，要把直接型轉換為級聯(lián)型就必須將系統(tǒng)函數的分子、分母進行因式分解。隨著系統(tǒng)階數的增大，因式分解的難度增加，實際上當階數大于3時，手工進行因式分解已經比較困難，必須借助MATLAB語言編程計算。信號處理工具箱中提供了函數tf2sos(transferfunctiontosecond-order-section)，該函數可以實現(xiàn)由系統(tǒng)函數轉換為多個二階網絡的級聯(lián)型式。矩陣中每一行代表一個二階網絡，前三項是分子系數，后三項為分母系數。二階網絡為：最后得到的級聯(lián)型形式：所以：和例4－2計算結果相同。4.2.4并聯(lián)型把傳遞函數H(z)展開成部分分式之和的形式，就可以得到濾波器的并聯(lián)型結構。當N=M時，展開式為

和級聯(lián)型結構的方法類似，將上式中的共軛復根部分兩兩合并得到實系數的二階網絡，則有(4-6)式中,N=E+2F。由式（4-6）知，濾波器可由E個一階網絡、F個二階網絡和一個常數支路并聯(lián)構成，其結構如圖4-9所示。并聯(lián)型結構也可以單獨調整極點位置，但對于零點的調整卻不如級聯(lián)型方便，而且當濾波器的階數較高時，部分分式展開比較麻煩。在運算誤差方面，由于各基本網絡間的誤差互不影響，沒有誤差積累，因此比直接型和級聯(lián)型誤差稍小一點。圖4-9并聯(lián)型結構[例4-4]

用并聯(lián)型結構實現(xiàn)系統(tǒng)函數解：圖4-10例4-4IIR系統(tǒng)的并聯(lián)型結構4.3FIR濾波器的結構4.3.1直接型

設FIR數字濾波器的單位脈沖響應h(n)的長度為N，其傳遞函數和差分方程分別為:(4-7)(4-8)根據式（4-7）或式（4-8）可直接畫出如圖4-11所示的FIR濾波器的直接型結構。由于該結構利用輸入信號x(n)和濾波器單位脈沖響應h(n)的線性卷積來描述輸出信號y(n)，所以FIR濾波器的直接型結構又稱為卷積型結構，有時也稱為橫截型結構。圖4-11FIR的直接型結構4.3.2級聯(lián)型當需要控制系統(tǒng)傳輸零點時，將傳遞函數H(z)分解成二階實系數因子的形式：(4-9)圖4-12FIR的級聯(lián)型結構圖4-13例4-5FIR系統(tǒng)的直接型結構圖4-14例4-5FIR系統(tǒng)的級聯(lián)型結構4.3.3頻率采樣型

由頻域采樣定理可知，對有限長序列h(n)的Z變換H(z)在單位圓上做N點的等間隔采樣，N個頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對應的時域信號hN(n)是原序列h(n)以采樣點數N為周期進行周期延拓的結果，當N大于等于原序列h(n)長度M時hN(n)=h(n)，不會發(fā)生信號失真，此時H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內插得到，內插公式如下：(4-10)式中：

k=0,1,2,…,N-1式(4-10)為實現(xiàn)FIR系統(tǒng)提供了另一種結構。H(z)也可以重寫為(4-11)式中：顯然，H(z)的第一部分Hc(z)是一個由N階延時單元組成的梳狀濾波器，如圖4-9所示。它在單位圓上有N個等間隔的零點i=0,1，2,…,N-1圖4-15梳狀濾波器因此，H(z)的第二部分是一個有N個極點的諧振網絡。這些極點正好與第一部分梳狀濾波器的N個零點相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應等于H(k)。把這兩部分級聯(lián)起來就可以構成FIR濾波器的頻率采樣型結構，如圖4-16所示。

第二部分是由N個一階網絡組成的并聯(lián)結構，每個一階網絡在單位圓上有一個極點圖4-16FIR濾波器的頻率采樣型結構FIR濾波器的頻率采樣型結構的主要優(yōu)點：首先，它的系數H(k)直接就是濾波器在ω=2πk/N

處的響應值，因此可以直接控制濾波器的響應；此外，只要濾波器的N階數相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分的結構完全相同，N個一階網絡部分的結構也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結構便于標準化、模塊化。但是該結構也有兩個缺點：（1）該濾波器所有的系數H(k)和WN-k一般為復數，復數相乘運算實現(xiàn)起來較麻煩。（2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的，如果濾波器的系數稍有誤差，極點就可能移到單位圓外，造成零極點不能完全對消，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為了克服上述缺點，對頻率采樣結構作以下修正。首先，單位圓上的所有零、極點向內收縮到半徑為r的圓上，這里r稍小于1。此時H(z)為(4-12)式中，Hr(k)是在r圓上對H(z)的N點等間隔采樣之值。由于r≈1，所以，可近似取Hr(k)=H(k)。因此(4-13)

根據DFT的共軛對稱性，如果h(n)是實序列，則其離散傅里葉變換H(k)關于N/2點共軛對稱，即H(k)=H*(N-k)。又因為 ，為了得到實系數，我們將Hk(z)和HN-k(z)合并為一個二階網絡，記為Hk(z)式中:

該二階網絡是一個諧振頻率為ωk=2πk/N的有限Q值的諧振器，其結構如圖4-17所示。

除了共軛復根外H(z)還有實根。當N為偶數時，有一對實根z=±r，除二階網絡外尚有兩個對應的一階網絡:圖4-17二階諧振器Hk(z)

這時的H(z)如式(4-14)，其結構如圖4-18所示。圖中Hk(z),z=1,2,…,N/2-1的結構如圖4.11所示。(4-14)當N為奇數時，只有一個實根z=r，對應于一個一階網絡H0(z)。這時的H(z)為(4-15)顯然，N等于奇數時的頻率采樣修正結構由一個一階網絡結構和(N-1)/2個二階網絡結構組成。

一般來說，當采樣點數N較大時，頻率采樣結構比較復雜，所需的乘法器和延時器比較多。但在以下兩種情況下，使用頻率采樣結構比較經濟。（1）對于窄帶濾波器，其多數采樣值H(k)為零，諧振器柜中只剩下幾個所需要的諧振器。這時采用頻率采樣結構比直接型結構所用的乘法器少，當然存儲器還是要比直接型用得多一些。（2）在需要同時使用很多并列的濾波器的情況下，這些并列的濾波器可以采用頻率采樣結構，并且可以大家共用梳狀濾波器和諧振柜，只要將各諧振器的輸出適當加權組合就能組成各個并列的濾波器。圖4-18頻率采樣修正結構[例4-6]用頻率采樣型結構實現(xiàn)以下系統(tǒng)結構:采樣點數，修正半徑。

解：因為為偶數，所以根據公式（4-15）可得：故：因而：則：頻率采樣型結構如圖4-19所示。

圖4-19例4-6的頻率采樣型結構頻率采樣型結構的MATLAB實現(xiàn)由上面的分析可知的頻率采樣型結構為：(4-16) end k=[1:L]'; B=zeros(L,2); A=ones(L,3); A(1:L,2)=-2*r*cos(2*pi*k/N); A(1:L,3)=r^2; A=[A;A1]; B(1:L,1)=cos(phaH(2:L+1)); B(1:L,2)=-r*cos(phaH(2: