2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷2（新高考專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷02（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填

寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求.

1.（5分）（2023?西藏拉薩?統(tǒng)考一模）已知全集0={-1,3,5,7,9},C/={T,9},B={3,7,9},貝U

ACIB=（）

A.{3,7}B.{3,5}C.{3}D.{9}

【解題思路】根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識求得正確答案.

【解答過程】因?yàn)閁={—1,3,5,7,9},C?X={-1,9},所以4={3,5,7},

因?yàn)锽={3,7,9},所以4nB={3,7}.

故選：A.

2.（5分）（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，若非零復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=|z『，則后=

A.1B.-1C.iD.-i

【解題思路】設(shè)2=。+歷(。力￡/?),利用復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)的模長公式以及復(fù)數(shù)相等可得出。、b的值，可

得出z的值，由此可求得已的值.

【解答過程】設(shè)z=Q+bi(a,bER),則(l-i)z=(l-i)(a+bi)=(a+b)+(b-a)if

由(1—i)z=可得(a+b)+(b—a)i=a2+b2,

22

所以，［bZ^Ob'又因?yàn)閦70,所以，a=b=l,則z=l+i,故含=L

故選：A.

3.(5分)(2023?全國?模擬預(yù)測)已知向量2=(%,1),b=(2,y),c=(x,y).^(a+K)1(a-b),且之〃石

，則向=()

A.也B.FC.A/5D.A/6

【解題思路】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算將向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為(Z+b).(a-b)=a2-fa2=0,然后利用向量

的模的坐標(biāo)運(yùn)算公式和向量共線的坐標(biāo)關(guān)系得到方程組，求解即得的值，進(jìn)而計(jì)算向量"=0,y)的模.

【解答過程】因?yàn)?=(X,l),b=(2,y),

—>—>—>—?__—>—>—>—>—>2—>2

由(a+b)_L(a—b)可得，(a+b)?(a—b)=a—b=0,

即(j+l)-(4+y2)=o,整理得j一；/=3

又因?yàn)閆II無所以町=2,

聯(lián)巾蓑片,解得口或疼；

故+j/=木,

故選C.

4.(5分)(2023?江蘇蘇州?校聯(lián)考模擬預(yù)測)江南的周莊、同里、角直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南潺古鎮(zhèn)，并稱

為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水

鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的

有3處.某家庭計(jì)劃今年暑假從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

2314

A.B.5C.gD.j

【解題思路】應(yīng)用組合數(shù)求出所有可能情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率即可.

【解答過程】從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游的可能情況有d=15種情況，

C1C1Q

只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為p=F=+

故選：B.

5.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知。2=1,S4=8.若與―2%=6

,貝!!幾=（）

A.5B.6C.7D.8

【解題思路】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前幾項(xiàng)和公式列方程組，解方程求出內(nèi)

,d，即可求出品,Sn,代入%—2%=6即可得出答案.

【解答過程】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d.由條件可知4a；+6d=8,解得［%=2；

142n2

所以%i=—1+2（n—1）=2n—3,Sn=^_n_2n.

由5n—24=6,得？12—2幾—2（2兀—3）=6,即九之―6幾=0,解得n=65=0舍去）.

故選：B.

6.（5分）（2023?山東?山東省校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=Asin（a%+⑼5>0⑷>0）的部分圖

象，則/6）=（）

A.-1B.-V2C.-D.-2

【解題思路】由圖象求得函數(shù)解析式，可求fg).

［解答過程】函數(shù)/(%)=Asin(ajx+cp),

由圖象可知,4=2,

函數(shù)最小正周期為T,有［=2一卜2)=0則7=5=1，3=3,

得/(%)=2sin(3x+(p),

由/(一/=2sin)3(—/+司=2sin(—g+g)=2,取口=

則/(%)=2sin(3x+司,

7TC

=2sin彳=

故選：B.

22

7.(5分)(2023?全國?模擬預(yù)測)已知雙曲線C:?！?l(a>0力>0)的右焦點(diǎn)與實(shí)軸的右端點(diǎn)分別為點(diǎn)

ab

F,A,以點(diǎn)力為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)P,。為坐標(biāo)原點(diǎn).若AOPF為等腰三角

形，則雙曲線C的離心率e=()

A.平B.72C.率D.遂或科

【解題思路】設(shè)漸近線版一@=0,由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)2(a,0)到漸近線的距離，得出1?！?,再分

類討論aOPF為等腰三角形，分別求解即可.

【解答過程】如圖，不妨取漸近線bx-ay=O,則點(diǎn)4(a,0)到漸近線的距離d

yjb+ac

22

所以|。P|=2yja-d=~~y

2Q2C

若|。尸|=|0F|,則2=c,所以離心率？=￡=”；

cccbe

若|0P|=|PF|,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=2，將％=5代入bx-ay=0,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(目元)，

若|OF|=|PF|,取。P的中點(diǎn)E,連接EF,

由等腰三角形三線合一知，EF1OP,

連接E4由垂徑定理知，EA1OP,顯然矛盾，故|OF|=|PF|不成立;

綜上，雙曲線C的離心率為”或退，

故選：D.

->

X

8.(5分)(2023?河北邢臺?寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知/(%)=￥+cos%,xER,若a=/,￡)/=/

力則

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】借助導(dǎo)數(shù)先分析函數(shù)/(x)的性質(zhì)，由偶函數(shù)性質(zhì)可得=構(gòu)造函數(shù)先比較sin：

1―1

與4的大小關(guān)系，結(jié)合/(%)單調(diào)性可得a、c之間的大小關(guān)系，同理比較e4與4的大小關(guān)系即可得b、c之間的

大小關(guān)系.

【解答過程】f(%)=2%—sin%,令g(%)=2x—sinx,則g(%)=2—cosx>0,

故g(%)=2%—sin%在％ER上單調(diào)遞增，又g(0)=0—0=0,

故當(dāng)％NO時(shí),/(%)=g(x)>0,故/(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(-%)=￥+cos(-x)=x2+cosx=/(%),故f(%)為偶函數(shù)，

故a-c=小星)-/卜：)=《sin：)—用，

I

令無(%)=sinx—x,則九(%)=cosx—1<0,

故M%)在R上單調(diào)遞減，故外)Vh(0)=0,即有sin［v］,

由/(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，故/卜也［)一/6)<0,

即a<c-

由e4>e-1=|>故/(e即b>c,

綜上可得：a<c<b.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）為了實(shí)現(xiàn)教育資源的均衡化，某地決定派遣480名教師志愿者（480

名教師情況如圖）輪流支援當(dāng)?shù)氐慕逃ぷ?若第一批志愿者采用分層抽樣的方法隨機(jī)派遣150名教師，

則（）

老年教師30%中隼教師40%

-青年女教師

青年男教師96人

A.派遣的青年男、女教師的人數(shù)之和與老年教師的人數(shù)相同

B.派遣的青年女教師的人數(shù)占派遣人員總數(shù)的10%

C.派遣的老年教師有144人

D.派遣的青年女教師有15人

【解題思路】利用分層抽樣結(jié)合各比例關(guān)系求解

96

【解答過程】因?yàn)殪?0.2,

所以派遣的青年男教師的數(shù)量占派遣總數(shù)的20%,

則派遣的青年女教師的人數(shù)占派遣人員總數(shù)的1-30%-40%-20%=10%,

則派遣的青年男、女教師的人數(shù)之和與老年教師的人數(shù)相同，均占總數(shù)的30%,故A,B正確；

派遣的老年教師人數(shù)為150X0.3=45,故C錯(cuò)誤；

派遣的青年女教師的人數(shù)為150x0.1=15,故D正確.

故選：ABD.

10.（5分）（2023?山西臨汾??？寄M預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體2BCD-力避￡。1中，點(diǎn)E,尸

分別為棱D%，的。1的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.ArGLBJ）

1

B.三棱錐的體積為§

4

C.直線4方與直線所成角的余弦值為§

D.直線&G與平面所成角的正弦值的最大值為孚

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決位置關(guān)系的角度距離問題.

【解答過程】以。為原點(diǎn)，石?，沆，西的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

貝|」。（0,0,0）/（2,0,0）夙2,2,0）,式0,2,0）,。1（0,0,2）/1（2,0,2）凡（2,2,2）￡（0,2,2）,￡（0,0,l）,F（0,l,2）,

=(-2,-2-2),A￡=(—2,2,0),BC1=(-2,0,2),

=4-4=0,=4-4=0,則時(shí)1人「1BC[,

1BCrAiCyBC]u平面AiBCpA1C1nBC1=C1；

B/J.平面&BC],&Gu平面A/C],A1G1B^D,A選項(xiàng)正確；

正方體中有AB"%6,4Bu平面4BE,平面ABE,/C]〃平面4BE,

1112

V=VVV=S

B-AEFF-ABE=D^-ABE=B-AED±3AAED1=

即三棱錐B-4EF的體積為I，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

--*/、--*/、rt/----->-----AF-BE4—2+24

AF=(-2,1,2),BE=(-2,-24),則cos(4F,BE)=?麗〔函=3x3=;

4

所以直線4廠與直線BE所成角的余弦值為亨C選項(xiàng)正確；

礪=(2,2,0),西=(0,2,2),設(shè)平面的一個(gè)法向量7=(%,z),

An-DB=2%+2y=0,一

則t有1?西=2y+2z=0,令A(yù)y=-l，則"=Lz=l,n=(1-1,1),

設(shè)LG=AgB,0</l<1,貝必iG=A1C1+CrG=711cl+XC^B=(-2,2,0)+4(2,0,—2)=(22-2,2,-22)

直線4G與平面BDq所成角的正弦值等于|cos(碇川I=平=23；/+；

當(dāng)4=1時(shí)，直線41G與平面BDC1所成角的正弦值的最大值為竽，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

11.(5分)(2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知拋物線C:￥=4y,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),

準(zhǔn)線與y軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作不垂直于y軸的直線Z與C交于4B兩點(diǎn).設(shè)P為y軸上一動點(diǎn)，Q為4B的中

點(diǎn)，且4B1PQ,貝I]()

A.當(dāng)|4F|=3|FB|時(shí)，直線2的斜率為士1

B.\AB\>2|PF|

C.\BF\(\MA\+\MB\)=2\MB\\PF\

D.若正三角形△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，則△ODE的周長為4平

【解題思路】設(shè)直線I的方程為丫=入+1,聯(lián)立方程，禾U用根與系數(shù)的關(guān)系及M川=3由8|求后，可判斷

A,由點(diǎn)差法及垂直關(guān)系，拋物線的定義可得以川=2|PF|判斷B,由心”+嫌兇=0可得時(shí)?平分N4M8,

據(jù)此可判斷C,根據(jù)正三角及拋物線的對稱性求出DE坐標(biāo)即可判斷D.

【解答過程】如圖,

對于選項(xiàng)A,設(shè)過焦點(diǎn)F（O,1）的直線1的方程為y=依+1,8（%2必），

（y=kx+1/2

由24，得%—4々%—4=0,???％i+%o=4k,x.x=-4,

x=4y1212n

由以尸I=3|尸川可知一勺=3%2,代入久1+%2=4匕得%1=6k,x2=-2fc,

由久1%2=-4，#-12k2=-4,/.fc2=I，則4=±',故A正確.

對于選項(xiàng)B,F（0,l）,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（X。,%），則2%0=叼+2，2yo=、1+、2.

2.

XI=4%,.、y-L-yixi+x2xoxo

由‘久“得君7—經(jīng)軟為一左），所以;虧則直線/的斜率為不

七=4巧12

27

因?yàn)?B1PQ,所以直線PQ的斜率為一彳，則直線PQ的方程為、一%==（%-和）-

x0u“0u

令x=0,則丫=%+2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0%+2）,

則招尸1=%+2—1=%+1.

由拋物線的定義可知，MB|=\AF\+\BF\=yi+y2+2=2y0+2,

所以MB|=2|P"，故B錯(cuò)誤.

%+1+1

對于選項(xiàng)C,因?yàn)?”+與“=父+二1

fcVi+2kx2+22fct52+2&i+々)2kx(-4)+2x(-4。

=~=--------------------------=---------------=4-------------=。，

所以直線2M與直線BM關(guān)于y軸對稱，即MF平分N4MB,

UMI\AF\\AM\+\BM\|4F|+\BF\\AB\2\PF\

所以歷歷=麗，則一\BM\—=―\BF\—=麗=而「

整理得|BF|(|M4|+\MB\)=2\MB\\PF\,故C正確.

對于選項(xiàng)D,設(shè)。(叼)3)，?(%4/)，因三角形。0E為正三角形，

則|。。|=|OE|=x；+y：=xj+yj,

T72A

又叼=4丫3，x4=4y4,

則4(丫3->4)=城一/二小「內(nèi)乂九+為+4)=。.

因丫3，丫4>0，則口4=丫3=%4+%3=0?

,”=典,=4向

則――3=?112，則。(-4&12),E(4p,12).

得△ODE的周長為240，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.(5分)(2023?河北保定?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)fO)=aJ_3%+1,則()

A.”x)在［—1,1］單調(diào)遞減，貝心>1

B.若a>0,則函數(shù)”0存在2個(gè)極值點(diǎn)

C.若a=l,則/'(%)有三個(gè)零點(diǎn)

D.若/(%)20在［-1,1］恒成立,則a=4

【解題思路】依題意若f(x)在［-1,1］單調(diào)遞減可求得aW1,可知A錯(cuò)誤；若a>0,可判斷出函數(shù)/G)的單

調(diào)性，即可求出函數(shù)/(%)存在2個(gè)極值點(diǎn)，即B正確；將a=1代入可得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性并畫出圖象即

可知C正確；利用參變分離并根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)最值即可得出D正確.

【解答過程】易知函數(shù)/G）的定義域?yàn)镽,且/（x）=3a7—3,

若"x）在［—1,1］單調(diào)遞減，可得/（X）<0在［—1,1］上恒成立，

即ajw1在［_U］上恒成立，當(dāng)％=0時(shí)，a為任意值時(shí)都成立，

11

當(dāng)xe［-1,0）u（0,1］時(shí)，可得aw下，易知xe［—1,0）u（0,1］時(shí)，-^e［1,+℃）；

XX

1

即函數(shù)y=”在xe［―1,0）u（0,1］上的最小值為1,

X

所以可得aS1即可，可得A錯(cuò)誤；

若a>0,令八幻=3a/-3=0,可知方程3ax3=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和一任,

所以當(dāng)久G（-8,一上）ud+8）時(shí)f⑺>0；xe（-Jl，心時(shí)八公<0；

即八功在卜8,一4），（4,+8）上單調(diào)遞增,在卜上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)八%）存在2個(gè)極值點(diǎn)，即B正確；

若a=l,則/'（尤）=3%2-3,易知xe（-8,-1）U（1,+8）時(shí)/（久）>o；xe（-1,1）時(shí)/（%）<0；

即/（X）在（一8,-1）和（1,+8）上單調(diào)遞增，在（一1,1）上單調(diào)遞減，

所以f（x）的極大值為八一1）=3>0,極小值f（l）=一1<0；

畫出其函數(shù)圖象如下圖所示：

即可知/（無）有三個(gè)零點(diǎn)，所以C正確;

若/(%)>0在［-1,1卜恒成立，易知當(dāng)％=0時(shí)，無論Q取何值時(shí)，/(X)>0恒成立；

31

當(dāng)%>0,即0<%<1時(shí)，需滿足一下恒成立，

XX

?，、、r/、31/1_，/、633(1—2x)

不妨設(shè)M%)=”一萬%E(0,1］,可得h(%)=一行+7=4—，

XXXXX

所以當(dāng)0V%V；時(shí)，/l(x)>0,所以九(%)單調(diào)遞增；

11

當(dāng)2<久41時(shí)，h(x)<0,此時(shí)h(%)單調(diào)遞減；

所以h(%)W/iQ)=%可得a24；

31

當(dāng)久<0時(shí)，即一1<％<0,需滿足aW下一后恒成立，

XX

3113(1—2x)'

易知函數(shù)y=超一萬%E［-1,0)的導(dǎo)函數(shù)y=-4—，顯然一1<x<0時(shí)y>0,

XXX

31

即函數(shù)y=三一個(gè)在［-1,0)上單調(diào)遞增，所以Vmin=%

可得aW4；

綜上可得a=4,

所以，若f0)20在［―1,1卜恒成立，則a=4,即D正確.

故選：BCD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)(2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測)二項(xiàng)式(乂-2)(1+x)n的展開式中，所有項(xiàng)系數(shù)和為-256,則

久2的系數(shù)為_-48—(用數(shù)字作答).

【解題思路】利用賦值法求得小再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【解答過程】令x=l可得二項(xiàng)式(x—2)(1+以的所有項(xiàng)系數(shù)和為—2“=—256,所以n=8.

二項(xiàng)式(1+x)'的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C>r=0,1,8,

所以(x—2)(1+x)”的展開式中，￥的系數(shù)為c；—24=-48.

故答案為：-48.

14.(5分)(2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測)四棱錐P-力BCD的底面/BCD是平行四邊

形，點(diǎn)￡、尸分別為尸C、/D的中點(diǎn)，平面2斯將四棱錐P-4BCD分成兩部分的體積分別為乙,七且滿足

V1>V2'則5=

7

―5—,

【解題思路】利用椎體的體積公式求解.

如圖，延長BF,CD交于點(diǎn)G,連接GE交PD于點(diǎn)M,

因?yàn)榈酌?8C。為平行四邊形，所以與△凡48全等,

且△FDG與aBCG相似，相似比為：

設(shè)△FDG的面積為S,則四邊形BCDF的面積為3S,

設(shè)點(diǎn)P到底面的距離為八,

則％-BCDF=1x3Sx%=Ish,

又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以，E—DFM=17C-DFM=G-DFM9

而囁-DFG=拉XE-DFG=G-DFM+'f-DFM=^E-DFMf所以“E-DFM=行見

所以“2=^MECBFD=^E-BCDF+E-DFM=

所以/=VP-ABCD~V2=：x4Sxh-^Sh=[sh,

匕7

所以弓=g，

7

故答案為:王

15.(5分)(2023上?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知0。1：K2+8-2)2=1,。。2：(%-3)2+(y-6)2

=9,過x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是"，N,當(dāng)|PM|+|PN|取到最小值時(shí)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為

【解題思路】P(t,0),貝i||PM|+|PN|=卅+3+J(.3)2+27=J(t-0)2+[。—(一兩廣+

J(t-3)2+(0_3同,可看成點(diǎn)P到兩定點(diǎn)力(0,-4)，8(3,30)的距離和，而4B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，所以

AB連線與光軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)P.

【解答過程】。。1，+(37-2)2=1的圓心為01(0,2),半徑q=l,

O。2：0一3)2+(y-=9的圓心為。2(3,6),半徑々=3,

設(shè)P(t,0),則|PM|=J|PO『-1=a2+4-1=舊+3,

2

IPN|=^|PO2|-3=3)2+6「-9=J(t-3)2+27

所以|PM+\PN\=舊+3+J(t-3)2+27=J(t-O)2+[0-(-A/3)]2+J(t—+(0—3同,

取2(0,—4)，5(3,373)

則|PM|+\PN\=\PA\+\PB\>L4B|=京*帚=@,

當(dāng)P/,B三點(diǎn)共線時(shí)取等號,

此時(shí)4B直線：y+P=￥（x—O）

令y=0,則％=取"（刈,

故答案為：（|,0）.

16.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=sin（3x-§（3>0）在卜，亨）上單調(diào)遞減，在（0,2ir）上恰

有3個(gè)零點(diǎn)，貝必的取值范圍是—儲

【解題思路】先通過有3個(gè)零點(diǎn)列不等式求3的取值范圍，再通過在卜上單調(diào)遞減列不等式求3的取值

范圍，綜合可得3的取值范圍.

【解答過程】設(shè)t=sx-g,當(dāng)xe（0,2n）時(shí)，te卜三,2113-1，

因?yàn)楹瘮?shù)/（%）在（0,2冗）上恰有3個(gè)零點(diǎn),

貝!]2冗<2713—：工3ir,解得1V3Ml.

,（3ir\（n3116）n\

當(dāng)％E（冗，2）時(shí)t，tE

因?yàn)楹瘮?shù)/（久）在卜，?）上單調(diào)遞減，

'IT71

T13—QZ5+2fell5114k

所以3冗3IT3n,fc6Z,解得％+2kW34豆+.,kEZ,

~2~~J<2+2々豆

L.511

取k=0,則//

-711

綜上，石＜34百

故答案為：Q瓦

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

222

17.（10分）（2023?山東?山東校聯(lián)考模擬預(yù)測）記△4BC的內(nèi)角4SC的對邊分別為見hc,已知"

=4.

⑴求be：

acosB—bcosA=1+1,求△ABC面積.

⑵若acosB+bcosA

【解題思路】（1）由余弦定理化簡已知等式，可求尻；

（2）由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡等式，求出角力，面積公式求△力BC面積.

???,b2,c2a2zoccos力.

【解答過程】（1）由余弦定理a=b+c-2bccos4得一-—7一=4=2bc=4,

所以be=2.

acosB—bcosAb，一、、

（2）右acosB+bcos4=，+l'由正弦無理，

acosB—bcosAsin^cosB-sinBeos^sinAcosB—sinBcosAsinAcosB—sinBcosA

acosB+bcosA—sin4cosB+sinBeosA—sinQ4+8）—sinC

bb+csinB+sinCsinB+sin（A+B）sinB+sinAcosB+sinBeosA

一c+1=---c--=-----si-n-e----=--------s-i-ne------=-------------si-ne------------

所以一2cos4sinB=sinB,

1

因?yàn)锽W（0m）,故0<sinBMl,所以cos/=-5,

又Ov/vm所以sin4=*,

故△2BC的面積為S^ABC='bcsinA=^義2乂"=!.

18.（12分）（2023?全國?模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足％=3,a2+a3=36,an=an_1

%+1（n22）,等差數(shù)列｛bj滿足與=bu=a3-

⑴求數(shù)列｛4｝和｛￡｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛bj的前幾項(xiàng)和為與，求數(shù)列1%,+最贏）的前n項(xiàng)和7優(yōu)

【解題思路】（1）根據(jù)條件可知數(shù)列｛aJ是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合題中條件解出即可求

得｛%｝的通項(xiàng)公式，繼而可求得｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）化簡數(shù)列［4+占）的通項(xiàng)公式，分成兩組進(jìn)行求和，其中一組用公式求和，另一種？二=；

In°n旬'Jn+2n”

6-+），采用裂項(xiàng)相消求和即可?

【解答過程】（1）因?yàn)閿?shù)列｛、｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，且［=4_］?%+22）,

所以數(shù)列｛aj是等比數(shù)列.

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q（9〉0且勺大1）.

2

由%=3,g+%=36，得3q+3q=36,

BPq2+q-12=0,解得q=3或q=-4舍去），

所以a九=3x3n-1=371.

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d.

=61+d=3=9,

由題意，得，

%=+10d=3=27,

所以%=7+(n-1)X2=2九+5.

n(n—1)2

(2)因?yàn)镾”=7n+2x2=n4-6n,

]111

所以，+聲=3建+=3"+/-洋

n2+2n

“I/121/11111111

所以7n=(3+3+-+3)+2(1-3+2-4++-+n-^2.

3(l-3n)1/311\

1-3+2\2~n+l~n+2)

3n+132n+3

2~4-2(n+l)(n+2)-

19.(12分)(2023?四川自貢?統(tǒng)考一模)2025年四川省將實(shí)行3+1+2的高考模式，其中，“3”為語

文、數(shù)學(xué)，外語3門參加全國統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學(xué)，生物6門,

由考生根據(jù)報(bào)考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實(shí)際，首先在物理，歷史中2選1,再從政治、地理、化

學(xué)、生物中4選2,形成自己的高考選考組合.

(1)若某小組共6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，求恰好選到“物化生”組合的人數(shù)的期望；

(2)由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求.隨機(jī)選取100名高一新生進(jìn)行調(diào)

查，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，寫出下列聯(lián)表中”的值，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？

選擇物理選擇歷史合計(jì)

男生a10

女生30d

合計(jì)30

2n(ad—bcY

K—(a+b)(c+d)(a+c)(力+d)，

pQO0.100.050.0250.010.005

fc02.7063.8415.0246.6357.879

【解題思路】(1)根據(jù)列舉法求出一個(gè)學(xué)生恰好選到“物化生”組合的概率，確定6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨

機(jī)選科，符合二項(xiàng)分布，即可求得答案；

(2)由題意確定a,d的值，計(jì)算/的值，與臨界值表比較，即得結(jié)論.

【解答過程】(1)設(shè)物理、歷史2門科目為小刀，政治、地理、化學(xué)、生物科目為e,b,c,f,

則根據(jù)高考選考組合要求共有組合為O，e,b)，0n,e,c),(7n,e,f),(?n,b,c),

(m,b,f),(m,c,f),(n,e,b\(n,e,c\(n,e,f),(n,b,c\(n,b,f),(n,c,f'),共12種，

1

所以一個(gè)學(xué)生恰好選到“物化生，，組合的概率為P=

1

則6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，符合二項(xiàng)分布8(6,適)，

11

故恰好選到“物化生”組合的人數(shù)的期望為6x運(yùn)=矛

(2)由題意可得a=40,d=20；

所以有95%的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”.

20.(12分)(2023?四川涼山?統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是邊長為4的正方

形，PD=2,PB=2^7.

(1)證明：平面PAD1■平面ABCD；

⑵若E為PC的中點(diǎn)，求二面角4-BE-C的余弦值.

1T

【解題思路】(1)在△P4D中，利用正弦定理證得乙4PD=E，再結(jié)合面面垂直的判定定理證得結(jié)果;

(2)利用空間向量法，求平面4BE與平面力BE的法向量，利用兩個(gè)法向量的余弦值得到結(jié)果.

24

【解答過程】(1)證明：在△PAD中，由—=藏而5,得sin〃PD=L乙4PQe(O,Tr),

sin%

所以=p貝Ijp力=4cos。=2四

又PB=2j,AB=4,

所以PB?=r儲+啟，即4B_Lpa,

因?yàn)閍B_LAO,又4。,PAu平面PAD,ADCtPA^A,所以ABI平面PAD,

因?yàn)?Bu平面4BCD,所以平面P4D_L平面2BCD

(2)因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，則CDII4B,

又因?yàn)?BJ.平面P40,貝UCD1平面PAD,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。人DC所在直線分別為x、y軸，

平面PAD內(nèi)過點(diǎn)D且與直線4。垂直的直線為z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則力（4,0,0）,5（4,4,0）,C（0,4,0）,P（l,0,弗），￡（f,2,y）,

所以，（0-4,0）,BE=（-1-2，Y）.BC=（-4,0,0）.

設(shè)平面/BE的法向量為]=（勺必/1）,

'u-BA=-4y1=0

貝小一一＞7y/3，取%1=平，則&=（避,0,7）.

u-BE=—^x1—2y1+yZ]=0

設(shè)平面BCE的法向量為石=（%2》2/2），

'u.BC=_4x-0

則—亦72邪,取丫2=-群，可得”=（。,一木,一4）,

v-BE=—2%2—2y2+yz2=0

設(shè)二面角/-BE-C的平面角大小為氏

u-v—2814,247

則cose=而同=際乖=一二4^，

14A/247

所以，二面角4一BE-C的余法值為—

22

21.（12分）（2023?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線C2-（=l（a＞0力＞0）的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為24

ab

，雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)p（4,6）.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）若過點(diǎn)P的直線P4P8分別與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)4,8,線段4B的中點(diǎn)為M,且直線P4PB的傾斜角

互補(bǔ)，則雙曲線上是否存在定點(diǎn)M使得△PMN的面積為定值？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)和△PMN的面

積；若不存在，請說明理由.

【解題思路】（1）利用雙曲線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離計(jì)算即可；

3

（2）設(shè)直線P4PB方程，利用其斜率表示48、M坐標(biāo)，得出點(diǎn)M在直線y=-嚴(yán)上，從而判定PN與y=-

3

產(chǎn)平行，求出N的坐標(biāo)，再求出面積即可.

【解答過程】（1）由題意不妨設(shè)一焦點(diǎn)為尸（c,0）,

易知雙曲線的一條漸近線為=即bx-ay=0,

則點(diǎn)尸到，的距離d=7：2=b=2后

（b+a

??,點(diǎn)尸(4,6)在雙曲線C上，

1636，工人有，口

=1,結(jié)合b=2G,得a=2,

ab

22

雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)顯然直線P4PB的斜率均存在且不為0,設(shè)直線P4的斜率為匕

貝U直線PB的斜率為一m直線PA的方程為y—6=晨x—4),

,y—6=fc(x—4)

聯(lián)立直線PA與雙曲線方程，得，￥y2,

TF=1

化簡得(3—久2—2雇軌一6)久一(16必—48k+48)=0(3—必力0,且A>0).

,、/、/、-(16fc2-48fc+48)

設(shè)4(叼%),以%2)2)"(々),匕)),則4、=----然----,

4k2-12fc+124(kZ-3fc+3)

侍"1=A='

6(k2-4k+3)f4(k2-3k+3)6(k2-4k+3)\

將,代入直線PA的方程，得力=…2，則4,2：，…2.

oK'\KJoKJ

/4(/+3々+3)6(/+4k+3)\

同理可得B小，一2.

\k—33—K)

/4(fc2+3)6(k2+3)\

???4B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,2,

\k-33-kj

記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接。M,

3

"koM=~r

3

???點(diǎn)M在直線y=一三上，

-e

又k°M-2(SF)，

故經(jīng)過點(diǎn)尸且與直線OM平行的直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn),

則除點(diǎn)P外的另一個(gè)交點(diǎn)即為定點(diǎn)N,且滿足△PMN的面積為定值,

3Q

易知直線PN的方程為y=-/+12,代入雙曲線C的方程，化簡得/+48刀-208=0,即(x-4)(x+52)

=0,xN=-52,

3

把%可=一52代入、=一產(chǎn)+12,得yN=90,即定點(diǎn)N(—52,90),

此時(shí)|PN|=J(-52-4心+(90-6心=28713,

?-?OM//PN,

???點(diǎn)M到直線PN的距離d”等于點(diǎn)。到直線PN的距離d。，

1224

則dM="°=Jg二=豆，

1c24

???S^PMN=2x28gx展=336，

故存在定點(diǎn)N(-52,90),使得△PMN的面積為定值336.

22.(12分)(2023上?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)外幻=K111%-￡1(2/+1)(￡1€/?).

(1)若。=一1,求人幻的圖象在％=1處的切線方程；

2).

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)Xpx2(叼<%

①求