2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：一元二次方程和它的解法（京改版）

2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

一元二次方程和它的解法（京改版）

一、單選題

1.（2024北京海淀初二下期中）如圖，E,F,G,H分別是邊長為4的正方形ABCD四條邊上的點

（不與頂點重合），且滿足AE=O〃=CG=3產(chǎn)，記AF=x,則下列四個變量中，不存在最小值的是

（）

A.BFB.FEC.FHD.S四邊形EFGH

2.（2024北京十一學(xué)校初二下期中）若一元二次方程/+；m+1=（）有兩個相等的實數(shù)根，則機(jī)的值是

（）

A.2B.±2C.±8D.±2也

3.（2024北京交大附中初二下期中）用配方法解一元二次方程/+4尤-1=0,配方后得到的方程是

（）

2

A.（x-l）2=5B.（x+2y=5C.（X+1）2=5D.（x-1）=5

二、填空題

4.（2024北京交大附中初二下期中）若關(guān)于x的一元二次方程皿2+2x_i=o有兩個不相等的實數(shù)根，則

m的取值范圍為.

5.（2024北京十一學(xué)校初二下期中）關(guān)于x的方程/+〃a+8=0的一個根為T,則另一個根是—；關(guān)

于龍的方程Y+p尤+q=0的兩個根分另IJ為—2、5,則P+4的值為.

6.（2024北京海淀初二下期中）如果機(jī)是方程必-2》-6=0的一個根，那么代數(shù)式2蘇-4m-7的值

為.

7.（2024北京交大附中初二下期中）一元二次方程無2=3無的根是.

8.（2024北京清華附中初二下期中）設(shè)4，馬是方程無2+2x-3=0的兩個實數(shù)根，則呼+月的值

為.

三、解答題

9.（2024北京十一學(xué)校初二下期中）已知關(guān)于尤的一元二次方程如2+（2+3加卜+（29+2）=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若加為整數(shù)，當(dāng)此方程有兩個互不相等的負(fù)整數(shù)根時，直接寫出根的值.

10.（2024北京H^一學(xué)校初二下期中）解下列一元二次方程

(1)丁-64=0;

⑵x2=2024x;

(3)2%2-4X-2=0(配方法);

(4)2/一3元-2=0(公式法).

n.（2024北京十一學(xué)校初二下期中）定義：若再、尤2是方程分2+M+c=0Qr0）的兩個實數(shù)根，若滿足

后r21Txi為，則稱此類方程為“差積方程”.例如：=0是差積方程.

（1）下列方程是“差積方程”的是」

①6元2_5X+1=0

②3尤2+8無+4=0

③d—4x=0

⑵若方程（加+2卜+2根=。是“差積方程”，直接寫出機(jī)的值；

⑶當(dāng)方程加+bx+c=0（aw0）為“差積方程，，時，寫出“b、c滿足的數(shù)量關(guān)系并證明.

12.（2024北京交大附中初二下期中）解方程：N—2x—3=0

13.（2024北京十一學(xué)校初二下期中）已知"z是方程N-2x-3=0的一個根，求（根-2）2+（機(jī)+3）（加-

3）的值.

14.（2024北京交大附中初二下期中）已知關(guān)于龍的一元二次方程X2+（〃L1）X-〃7=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程的一根為負(fù)數(shù)，求機(jī)的取值范圍.

參考答案

1.A

【分析】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).先證四邊形EFG"是正方形，可得

2

FH=y/2EF,SmEFGH=EF,由勾股定理可求EF，=2(AE-2>+8,即可求解.

【詳解】解：四邊形A38是正方形，

.-.AB^BC^CD^AD,ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

AE=DH=CG=BF,

：.DE=AF=BG=CH,

AEF咨BFG(SAS),

同理可得：BFG%CGH(SAS),CGH工DHE(SAS),

EF=FG=GH=EH,ZAFE=NFGB,

四邊形EFG”是菱形，

ZBFG+ZBGF=90°,

ZAFE+NBFG=90°,

:.ZEFG=90°,

二四邊形EFGH是正方形，

FH=-J2EF,S四邊形EFGH=EF-,

EF2=AE2+AF2=AE2+(4-AE)2=2(AE-2>+8,

...當(dāng)x=2時，E尸有最小值，$四邊形郎GH有最小值，

二"F有最小值，

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)一元二次方程%2+皿+1=0有兩個相等的實數(shù)根，得出A=]-4=0,解關(guān)于機(jī)的方程，即

可得出答案.

【詳解】解：二?一元二次方程尤2+儂+1=0有兩個相等的實數(shù)根，

A=m2—4=0,

解得：m=+2,故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程

a^+bx+c=O(a^O),當(dāng)△=()時方程有兩個相等的實數(shù)解，A<0時，無實數(shù)解，△>()時，有兩個不相

等的實數(shù)解.

3.B

【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的方法求解即可.

【詳解】解：X2+4X-1=0

x2+4x=l

x2+4x+4=5

(X+2)2=5.

故選：B.

【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法解一元二次方程的方

法.

4.機(jī)〉一1且機(jī)

【分析】本題考查了由一元二次方程根的判別式求參數(shù)的值；4=4+4機(jī)，由一元二次方程有兩個不相等

的實數(shù)根，可得A>0即可求解；掌握根的判別式“A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；A=。時，方程

有兩個相等的實數(shù)根；A<0時，方程無實數(shù)根.”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得

A=22-4x(-l)xm

=4+4機(jī),

「方程有兩個不相等的實數(shù)根,，

/.A>0,m^O,

即：4+4m>0

解得：m>-l,

加〉一1且相.

故答案為：相>-1且加。0.

5.-2-7

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)方程/+如+8=0的另一個根為s,根據(jù)根與

系數(shù)的關(guān)系可得Ts=8,即s=-2；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得-2+5=p,-2x5=9,即p=3,^=-10,據(jù)

此可得答案.對于一元二次方程依2+法+。=0(。中0),若知馬是該方程的兩個實數(shù)根，則

bc

%]+W---,=—.

aa

【詳解】解：設(shè)方程/+如+8=()的另一個根為s,

.??-45=8,

：.s=-2；

???關(guān)于x的方程%之+px+q=。的兩個根分別為-2、5,

?，.-2+5=p,—2x5=q,即p=3,^=-10,

夕+g=3—10=—7,

故答案為：-2；-7.

6.5

【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.先把加代入方程二―2X-6=0,得到加一2機(jī)=6,再代入代數(shù)式247,即可求出答案.

【詳解】解：把機(jī)代入方程/一2》一6=0,

得至(Jm2—2m—6=0,

所以m2-2m=6，

所以代數(shù)式2m2—4機(jī)—7=2x6—7=5;

故答案為：5.

7.X]—0,X]—3/Xy=3,%2=0

【分析】首先把3x移至方程左邊，再把方程左邊的多項式進(jìn)行因式分解，即可得到答案.

【詳解】解：d=3x,

移項得：x2—3x=0f

x(x-3)=0,

x=0或x—3=0,

??X]—0,%2=3.

故答案為：&=。，々=3.

【點睛】本題考查一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，

因式分解法，本題運用的是因式分解法.結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

8.10

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得到西+無2=-2,西丐=-3,然后根據(jù)完全平方公式變形求值，即可得到答

案.

【詳解】解：根據(jù)題意，

%是方程尤2+2x-3=0的兩個實數(shù)根，

玉+々=—2,=-3,

:.獰+x；=+%2)~—2網(wǎng)工2=(—2)2—2x(—3)=10；

故答案為：10.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握得到

+x2=—2,占?x2=-3.

9.⑴見解析

(2)%=1或m=2

【分析】本題考查根的判別式，因式分解法解方程：

(1)求出判別式的符號，進(jìn)行判斷即可；

(2)因式分解法求出方程的解，根據(jù)方程有兩個互不相等的負(fù)整數(shù)根，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：A=(2+3m)--4m(2/??+2)=4+12/?7+9/?J2—8m2—8/?i=zn2+4ZM+4=(/??+2)">0；

方程總有兩個實數(shù)根；

(2)mx2+(2+3m)x+(2/H+2)=0,

[mx+(2根+2)](x+l)=0,

???方程有兩個互不相等的負(fù)整數(shù)根，

二?機(jī)=1或機(jī)=2.

10.⑴巧=8,x2=-8

(2)再=0，9=2024

(3)玉=+1,%2=-+l

(4)石=2,x2=——

【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)先移項再直接開平方解方程，即可作答.

(2)先移項再運用因式分解法進(jìn)行解方程，即可作答.

(3)先把二次項系數(shù)化1,再移項，然后配方，再解方程，即可作答.

(4)運用公式法解方程，即可作答.

【詳解】(1)解：x2-64=0

爐=64,

解得巧=8,0=-8.

(2)解:X2=2024X,

x2—2024%=0,

x(x-2024)=0,

解得玉=0,%=2024；

(3)解：2f—4x—2=0,

x2—2x—1=0,

—2x=1,

x2—2x+l=l+l=2

：.(X-1)2=2

??x—1=±、/5，

解得Xy=A/2+1,X2=—A/2+1；

(4)解：2f—3%—2=0,

a=2,b=—3,c=—2,

\=b1-4ac=9-4x2x(-2)=25>0,

3土后3±5

Y-----------........

2x24

解得玉=2,x2=――

11.⑴①②

2、

(2)機(jī)=］或—2,

(3)/?2—4ac=c2

【分析】(1)分別根據(jù)因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)定義判斷即可求解；

(2)先根據(jù)因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)定義列出絕對值方程，解方程即可求解;

(3)根據(jù)求根公式求得不，/根據(jù)新定義列出方程即可求解.

本題考查了新定義運算，解一元二次方程，理解新定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：@6X2-5X+1=0,

即(21)(31)=0,

解得：玉=5,%2=§'

231'23

/.6x2-5x+l=0是差積方程；

②3爐+8%+4=0,

即(3x+2)(x+2)=0,

2.

解得占=-§，%2=-2，

-2+浦=(?(-2),

/.3x2+8x+4=0是差積方程；

③—4%=0,

即x(x-4)=0,

解得：芯=。，9=4,故③不是差積方程；

故答案為：①②；

(2)解：x2~(m+2)x+2m=0,

gp(x-2)(x-m)=0,

解得：項=2,%=加，

x2—(m+2)x+2m=0是差積方程，

/.|2—m|=|2m|,

即2—m=2相或2—nz=-2徵.

2

解得：加=耳或-2,

(3)神尾：ax2+bx+c=0(aw0),

解得：x=』土曲ic

2a

—b+y/b2—4ac—b—y/b2—4ac

-------------,x2-

2a----------2a

ax2+hx+c=0(QwO)是差積方程,

|x,—x21=|七引

即應(yīng)三#

aa

BPb2-4ac=c2.

12.玉=—1,%?=3

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【詳解】解：X2-2X-3=0,

(x+l)(x-3)=0,

x+l=0或%—3=0,

%=—1或尤=3,

故方程的解為芯=-I,%=3.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法(配方法、因式分解法、公式

法、換元法等)是解題關(guān)鍵.

13.1

【分析】根據(jù)方程的根的定義，得到/-2相-3=0,化簡得/-2M=3,再化簡原式得原式二2(m2-

2m)-5,將m2-2m=3代入原式