2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：特殊的平行四邊形（解答題）

2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

特殊的平行四邊形（解答題）1

一、解答題

1.（2024北京人大附中初二下期中）如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,/BCD=90。,對(duì)角線8。平分

ZABC,過點(diǎn)A作3。的垂線AE,分別交BC,BD于點(diǎn)E,O,連接￡）及

（1）求證：四邊形ASED是菱形；

（2）連接CO,若AB=3,CE=2,求CO的長(zhǎng).

2.（2024北京房山初二下期中）如圖，在ABCD^,對(duì)角線延長(zhǎng)。C到點(diǎn)E,使CE=DC,連

接AE,交BC于點(diǎn)F.連接BE.

（1）求證：四邊形ABEC是矩形.

⑵若CD=3,CF=3,求BE的長(zhǎng).

3.（2024北京第一??fc—中學(xué)初二下期中）如圖，在正方形中，E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/在邊

BC的延長(zhǎng)線上，且CF=AE,連接。E、DF.

（1）求證：DELDF；

（2）連接跖，取E尸中點(diǎn)G,連接￡>G并延長(zhǎng)交3C于H,連接BG.

①依題意，補(bǔ)全圖形；

②求證：BG=DG；

③若ZEGB=45。,用等式表示線段3G、形與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4.(2024北京八一學(xué)校初二下期中)已知：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、80相交于

點(diǎn)。，BD=2AD,E、F、G分別是OC、OD、A8的中點(diǎn).求證：

(1)BE±AC.

⑵EG=EF.

5.(2024北京廣渠門中學(xué)初二下期中)如圖，平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,AD上,

(1)求證：四邊形AEb是矩形；

(2)連接8尸，若AB=4,ZABC=60°,M平分NABC,求AD的長(zhǎng).

6.(2024北京海淀初二下期中)已知正方形ABCD中，點(diǎn)￡是射線BC上一點(diǎn)，連接AE,作AE的垂直平

分線交直線CD于點(diǎn)交直線A3于點(diǎn)M交AE于點(diǎn)孔

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在正方形的邊BC上時(shí).

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：MN=AE；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí).連接8D并延長(zhǎng)交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接PE.

①直接寫出ZPE4的度數(shù)為一；

②用等式表示線段尸尸，PM,尸N之間的數(shù)量關(guān)系

7.(2024北京匯文中學(xué)初二下期中)如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的6x4的網(wǎng)格，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)

圖1圖2

（1）在圖1中畫出以A8為邊且周長(zhǎng)為8+2石的平行四邊形且C點(diǎn)和。點(diǎn)均在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即

可）；

（2）在圖2中畫出以A8為對(duì)角線的菱形尸，且點(diǎn)E和點(diǎn)廠均在格點(diǎn)上.

8.（2024北京海淀初二下期中）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)

B惶BE〃CD,過點(diǎn)C作CE〃AB,BE、CE相交于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形CEBD是菱形；

（2）過點(diǎn)。作DFLCE于點(diǎn)E交CB于點(diǎn)G,若AB=10,CF=3,求DG的長(zhǎng).

9.（2024北京海淀初二下期中）已知：在△AOD中，ZAOD=90°.求作：菱形A3CD.

作法：

①延長(zhǎng)AO,以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與49的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C；

②延長(zhǎng)。O,以點(diǎn)。為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作弧，與。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)8；

③連接

所以四邊形ABCD即為所求作的菱形.

（1）使用直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：VAO=,DO=,

四邊形ABCO是平行四邊形.

???NAOD=90。，

ACJ.BD.

平行四邊形A58是菱形.（—）（填推理的依據(jù)）.

10.（2024北京清華附中初二下期中）如圖，VA3C中，AB^BC,過A點(diǎn)作2C的平行線與—ABC的平

分線交于點(diǎn)3,連接CO.

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）連接AC與80交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DEL3c交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接E0,若EO=2#,

DE=4,求CE的長(zhǎng).

11.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）如圖1,將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD壓扁為邊長(zhǎng)為1的菱形

圖1圖2

（1）請(qǐng)補(bǔ)全表格：

a30°45°60°90°120°135°150°

S1在

2

（2）填空：由（1）可以發(fā)現(xiàn)單位正方形在壓扁的過程中，菱形的面積隨著NA大小的變化而變化，不妨把

單位菱形的面積S記為5（a）.例如：當(dāng)a=30。時(shí)，5=5（30。）=：；當(dāng)々=135。時(shí)，

5=5（135。）=孝.由表格可以歸納出5（180。-。）=5（_）.

（3）兩塊相同的等腰直角三角板按圖2的方式放置，AD=^2,ZAOB^a,試探究圖中兩個(gè)帶陰影的三角

形面積是否相等，并說(shuō)明理由.（注：可以利用（2）中的結(jié)論）

12.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）如圖，在菱形A2CZ）中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使=延長(zhǎng)

C。到點(diǎn)片使OP=CD,連接AC、CE、EF、AF.

（1）求證：四邊形ACEF是矩形；

⑵若/3=60。，AB=1,求四邊形ACEP的周長(zhǎng).

13.(2024北京第十八中學(xué)初二下期中)如圖，在四邊形ABC。中，AB^AD,CB=CD,我們把這種兩

組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形.請(qǐng)?zhí)骄抗~形的性質(zhì).

小南根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)箏形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.

(1)根據(jù)箏形的定義，寫出一種你學(xué)過的滿足箏形的定義的四邊形是」

(2)小南通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明得到箏形角的性質(zhì)是“箏形有一組對(duì)角相等”.

請(qǐng)你幫他將證明過程補(bǔ)充完整.

已知：如圖，在箏形ABCD中，AB=AD,CB=CD,

求證：

證明：

(3)連接箏形的兩條對(duì)角線，探究發(fā)現(xiàn)箏形的另一條性質(zhì)；箏形的一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線.結(jié)合圖

形，角，對(duì)角線等方面寫出箏形的其他性質(zhì)(一條即可)

14.(2024北京第十八中學(xué)初二下期中)如圖，在VABC中，AB=AC,D,E分別是AB,的中點(diǎn),

BFDE,EF//DB.

(1)求證：四邊形8DEF是菱形；

(2)連接CD,若BE=4,AC=2^5,求CD的長(zhǎng).

15.(2024北京日壇中學(xué)初二下期中)如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=3,將矩形ABC。沿對(duì)角線AC

折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)￡處，短交。。于點(diǎn)E

(1)寫出折疊后的圖形中的等腰三角形：;

(2)求b的長(zhǎng).

16.(2024北京廣渠門中學(xué)初二下期中)在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)8,C

重合)，連接AE,點(diǎn)尸在對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線上，連接E尸，使得跖=AE.作點(diǎn)廠關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)

G,連接CG,EG.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：ZBAE=ZGEC；

(3)用等式表示線段AC,CE,CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

17.(2024北京海淀初二下期中)正方形ABC。中，點(diǎn)P是射線8。上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,過戶作

PE±AP,交射線CO于E,連結(jié)AE.

(1)如圖①，請(qǐng)補(bǔ)全圖形：

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在CZ)的延長(zhǎng)線上時(shí)，試確定線段與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，若AB=3,DP=母,直接寫出四邊形ADPE的面積.

18.(2024北京十一學(xué)校初二下期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)尸和正方形。4BC,給出如下定

義：若點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'到正方形。43G的邊所在直線的最大距離是最小距離的2倍，則稱點(diǎn)P

是正方形OABC,的“最佳距離點(diǎn)”.

八歹Jky

8-8-

7-7-

6-6-

5-5-

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

????????________->

-8-7-6-5-4-3-2-1^_12345678X—8—7—6—5—4—3—2—1^12345678x

-2--2

-3--3

-4-4

-5--5

-6--6

-7--7

-8--8

備用圖備用圖

己知：點(diǎn)力（a,0）,B（a,a）.

（1）當(dāng)a=6時(shí)，①點(diǎn)C的坐標(biāo)是一;

②在耳（-1,1）,￡（-2,2）,月（T4）,月（-3,2）四個(gè)點(diǎn)中，一是正方形。4BC,的“最佳距離點(diǎn)”;

（2）當(dāng)a=9時(shí)，點(diǎn)尸（一6,2”）（其中〃>0）是正方形OABC,的“最佳距離點(diǎn)”，求n的取值范圍;

⑶點(diǎn)M（-3,3）,N（-5,5）,若線段MN上存在正方形Q4BC,的“最佳距離點(diǎn)”，直接寫出。的取值范圍.

19.（2024北京西城初二下期中）如圖，平行四邊形中，AS=6cm,BC=10cm,/3=60。，點(diǎn)G

是。的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，連接CE,DF.

⑴求證：四邊形C￡Zm是平行四邊形.

請(qǐng)補(bǔ)全證明過程：

.點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，

①=?

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.BC//AD（依據(jù)：②）.

?*.③Z=N.

又NFGC=NEGD,

FCGm￡?G（ASA）.

/.CF=DE.

又，CF//DE,

二?四邊形C瓦甲是平行四邊形（依據(jù)：④）.

（2）直接寫出：當(dāng)隹二⑤cm時(shí)，四邊形CEZ*是菱形;

當(dāng)鉆二⑥cm時(shí)，四邊形CEZ用是矩形.

20.（2024北京第八十中學(xué)初二下期中）在菱形ABC。中，ZBAD120°,動(dòng)點(diǎn)尸在直線BC上運(yùn)動(dòng)，作

NAPM=60。，且直線PM與直線C。相交于點(diǎn)G,G點(diǎn)到直線BC的距離為GH.

（2）若P在線段上運(yùn)動(dòng)，求證：CP=DG；

（3）若尸在線段2C上運(yùn)動(dòng)，探求線段AC",CH的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

21.（2024北京日壇中學(xué)初二下期中）下面是小明設(shè)計(jì)的作菱形的尺規(guī)作圖過程.

已知：四邊形ABCD是平行四邊形.

求作：菱形AB￡F（點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)產(chǎn)在AD上）.

作法：如圖，

①以A為圓心，48長(zhǎng)為半徑作弧，交AO于點(diǎn)尸；

②以B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E；

③連接EP,所以四邊形ABEF為所求的菱形.

（1）根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明.

證明：VAF^AB,BE=AB,

在平行四邊形ABCD中，AD//BC,即Ab〃3E,

二四邊形ABEF為形，

,/AF=AB,

四邊形ABE尸為菱形.

22.（2024北京第一六六中學(xué)初二下期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正

方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫圖：

ffll圖③

（1）在圖①中畫一條線段MN,使得血W=JQ；

（2）在圖②中畫一個(gè)菱形ABC。，使其周長(zhǎng)為4君；

（3）在圖③畫一個(gè)等腰RtABC,使得它的面積為4.

23.（2024北京海淀初二下期中）如圖，四邊形ABC。是菱形，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)。，E是C4延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，MAE-AO,BC=5,BD=8,求BE的長(zhǎng)度.

24.（2024北京大興初二下期中）我們知道：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.類似地，我們定

義：至少有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做對(duì)角直角四邊形.

⑴下列圖形：①有一個(gè)內(nèi)角為45。的平行四邊形；②矩形；③菱形；

④直角梯形，其中對(duì)角直角四邊形是一（只填序號(hào)）；

（2）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)在菱形ABCD的外部以CD為斜邊作等腰直角

ACDN,連接MV.

①求證：四邊形DMCN是對(duì)角直角四邊形；

②若點(diǎn)N到8。的距離是2,求四邊形DMCN的面積.

25.（2024北京大興初二下期中）己知：如圖，正方形AC8。的邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)P（與點(diǎn)8,C不重

合），連接AP,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)。，使得CQ=CP,過點(diǎn)。作。以，A尸于點(diǎn)交正方形的對(duì)角線于點(diǎn)

M.若Z.PAC=a.

（1）求ZAMQ的大小（用含a的式子表示）；

（2）用等式表示線段MB與P。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

26.（2024北京大興初二下期中）如圖，在A3CD中，BD=AD,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E,使BE=BD,連接

27.（2024北京大興初二下期中）如圖，在ABCD中，ZBAC=90°,點(diǎn)E為2C邊中點(diǎn)，AD=8,求AE

的長(zhǎng)度.

28.（2024北京大興初二下期中）已知：RtAABC,ZABG=90°.

求作：矩形ABCD.作法：如圖，

①作線段AC的中點(diǎn)。；

②連接8。并延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取8=03；

③連接AD,CD.

四邊形ABCD即為所求作的矩形.

證明：OA=_,OD=OB,

四邊形A5CZ）是平行四邊形（_）（填推理的依據(jù)）.

/ABC=90。，

..?四邊形ABC。是矩形（_）（填推理的依據(jù)）.

29.（2024北京日壇中學(xué)初二下期中）如圖，矩形ABC。的對(duì)角線AC,班＞相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)CD到E,使

DE=CD,連接

(1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形：

(2)若AT)=DE=4,求OE的長(zhǎng).

30.(2024北京西城初二下期中)如圖，四邊形ABCD是正方形.過點(diǎn)C在正方形A5C。的外側(cè)作射線

CN,"CV=a(0°<a<90。).作點(diǎn)。關(guān)于射線CN的對(duì)稱點(diǎn)E,線段。E交射線CN于點(diǎn)M,連接房

交直線CN于點(diǎn)P.

mi笛川陽(yáng)

⑴當(dāng)0。<。<45。時(shí)，依題意補(bǔ)全圖1,并直接寫出NERV的度數(shù)；

(2)在(1)的條件下，用等式表示廠氏尸C,巫之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)若Cb=l,FM=2,直接寫出線段EB的長(zhǎng).

31.(2024北京西城初二下期中)如圖，在RCABC中，ZACB=90°,。為A8的中點(diǎn)，AE//DC,

CE//DA.

(1)求證：四邊形ADCE是菱形；

(2)連接OE,若/E=120。，BC=2,求線段AC的長(zhǎng).

32.(2024北京海淀初二下期中)已知，矩形ABC。，AD>AB,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、O,

4MC=a，點(diǎn)M在射線2C上，滿足NDMC=2a,作DEIAC于E,OE的延長(zhǎng)線交BC于尸

⑴如圖1,點(diǎn)M在線段上

①依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出NCDb=（用含a的式子表示）

②連接OM,請(qǐng)用等式表示線段與加的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）當(dāng)夕二30。時(shí)，設(shè)AD=〃z,CF=n,請(qǐng)直接寫出線段FN的長(zhǎng)（用含加、w的式子表示）

4

33.（2024北京海淀初二下期中）如圖，一次函數(shù)>=-耳尤+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,

點(diǎn)。為x軸上的點(diǎn)（在點(diǎn)A右側(cè)），AC為8。的垂直平分線，垂足為點(diǎn)E,且BC連接CO.

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）連接OE,求OE的長(zhǎng).

34.（2024北京海淀初二下期中）如圖.在VABC中，點(diǎn)。、E、尸分別是邊A3、AC、BC的中點(diǎn)，且

BC=2AF.求證：四邊形ADFE為矩形.

35.（2024北京豐臺(tái)初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,2）,S（4,2）,C（4,0）.若尸為矩形

ABCO內(nèi)（不包括邊界）一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和'軸的平行線，這兩條平行線分矩形ABCO為四個(gè)小

矩形，若這四個(gè)小矩形中有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)等于。4的長(zhǎng)，則稱尸點(diǎn)為矩形A8C0的矩寬點(diǎn).

例如：下圖中的點(diǎn)尸］|,|J為矩形ABCO的一個(gè)矩寬點(diǎn).

137

⑴在點(diǎn)。中，矩形的矩寬點(diǎn)是

T54ABCO

⑵若點(diǎn)九gj為矩形ABCO的矩寬點(diǎn)，求優(yōu)的值.

參考答案

1.（1）證明見解析；

（2）回.

2

【分析】（1）先證明AB=AD,再由等腰三角形的性質(zhì)得05=0。，然后證一O8E—OZM（ASA）,得

OE=OA,則四邊形至瓦＞是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由勾股定理得8=6，BD=圓,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出CO.

【詳解】（1）證明：??,4）〃3C,

ZADB=ZDBE,

平分2ABC,

ZABD=ZDBE,

:.ZABD;ZADB,

:.AB=AD,

?；AE_LBD,

:.BO=DO,

'：AD//BC,

在石和M0D4中，

ZDBE=ZADB

OB=OD,

ZBOE=ZDOA

OBE紹ODA（ASA）,

/.OE=OA,

四邊形ABED是平行四邊形，

又.AB=AD,

,平行四邊形A5ED為菱形；

（2）解：：四邊形ABED為菱形，

ABE=DE=AB=3,BO=DO,

,?/BCD=90。，

:.CD=y/DE2-CE2=V32-22=如，

BC=BE+CE=3+2=5,

.?.在RtZXBCD中，根據(jù)勾股定理得：

BD=VBC2+CD2=J5?+（灼?=癡,

VBO=DO,△BCD為直角三角形,

CO=-BD=->/30.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理、直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

2.(1)證明見解析

⑵3有

【分析】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定和性

質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)禾用平行四邊形的性質(zhì)得到鉆=C￡>,ABCD,得到CE〃AB,再利用CE=DC得至ljCE=M,則四

邊形ABEC是平行四邊形.再利用AC_LDC得到NACE=90。，即可證明四邊形ABEC是矩形.

(2)證明CE=AB=CD=3,BC=2CF=6,NBEC=90。,利用勾股定理即可得到答案.

【詳解】(1)證明：在ABCD中，AB=CD,ABCD,

：.CE//AB,

"：CE=DC,

CE=AB,

.??四邊形ABEC是平行四邊形.

ACA.DC,

：.NACE=90。，

四邊形WC是矩形.

(2)解：VCD=3,CE=DC,CE=AB

：.CE=AB=CD=3,

,:CF=3,四邊形ABEC是矩形，

/.BC=2CF=6,NBEC=90。,

在RtBCE中,BE=A/BC2-CE2=V62-32=373；

3.(1)證明見解析

(2)①作圖見解析；②證明見解析；③BG2+HG2=4AE2,證明見解析

【分析】(1)證，ADE絲.CDF(SAS),得ZADE=/CDF,再證N￡DF=90。，即可得出結(jié)論；

(2)①依題意，補(bǔ)全圖形即可；

②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得。G=[w,BG=〈EF,即可得出結(jié)論；

22

③先證iDE尸是等腰直角三角形，得NOEG=45。，再證OGLE尸，DG=-EF=EG,

2

BG=LEF=EG=FG,得NGDF=45°,NEDG=NDEG=45°,NGBF=NGFB,然后證

2

CDH^CDF(ASA),得CH=CF,再由勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：四邊形ABC。是正方形,

:.AD=CD,ZA=ZB=ZBCD=ZADC=90°,

:.ZDCF=9Q0,

又AE=CF,

:.^ADE^CDF（SAS）,

\?ADE?CDF,

ZADE+NCDE=90°,

ZCDF+ZCDE=90°,即NED方=90。，

,\DE±DF；

（2）解：①解：依題意，補(bǔ)全圖形如圖所示：

②證明：由（1）可知，.QEF和△呂跖都是直角三角形，

G是EF的中點(diǎn)，

DG=-EF,BG=-EF,

22

:.BG=DG；

③解：BG2+HG2=4AE2,

證明如下：

由（1）可知，-ADEWCDF（SAS）,DE1DF,

:.DE=DF,

.?._DEF是等腰直角三角形，

ZDEG=45°f

G為跖的中點(diǎn)，

:.DG上EF,DG=-EF=EGBG=-EF=EG=FG,

2f2

:.NEGD=NHGF=NDGF=9V,NGDF=45。,NEDG=NDEG=45。,/GBF=/GFB,

NEGB=45。,

NGBF=ZGFB=22.5°,

ZDHF+ZHFG=ZDHF+/CDH=90。,

NHFG=NCDH=22.5°,

ZCDF=NGDF-ZHDC=22.5°=NCDH,

又?.NDCH=NDCF=90°,CD=CD,

CDH^CDF(ASA),

:.CH=CF,

在RtAGHF中,由勾股定理得GF1+HG2=HF2,

HF=2CF=2AE,GF=BG,

BG2+HG1=(2AE^,

BG2+HG2=4AE2.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三

角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

4.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形

的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)由已知條件易證OB=BC,再根據(jù)等腰三角形中底邊上的高與中線合一的性質(zhì)知跖，AC.

(2)利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半及中位線定理可證所=GE.

【詳解】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD^BC,OD=OB,

BD=2AD,

OB=BC,

...△BCO是等腰三角形，

E是OC的中點(diǎn)，

(2)證明：由(1)知N8E4=90。，

.二川是直角三角形，

G是A8的中點(diǎn)，

:.GE=-AB,

2

.E、廠分別是OC,的中點(diǎn)，

:.EF=-DC=-AB,

22

:.EF=GE.

5.(1)詳見解析

(2)6

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線

的定義，熟練以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)已知條件先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)/A￡C=90。即可得證；

（2）由所平分/ABC,可求得=在RtA4J3E中，ZABC=60°,則Z&4E=30。，根據(jù)含30度角

的直角三角形的性質(zhì)，求得BE,由已知5E=O/進(jìn)而即可求得AD.

【詳解】（1）證明：平行四邊形ABC。，

:.BC=AD,BC//AD,

又一BE=DF,

:.BC-BE=AD-DF,

即EC=AF,

,EC//AF,EC=AF

四邊形AECP為平行四邊形，

又,ZAEC=90°,

四邊形AEC歹是矩形.

（2）解：平分

:.ZABF=ZFBC,

BC\AD,

:.ZAFB=ZFBC,

:.ZAFB=ZABF,

.-.AF=AB^4,

在RtZWE中，

ZAEB=90°,ZABE=60°,AB=4,

.-.ZBAE=30°,

:.BE=2,

:.FD=BE=2,

:.AD=AF+FD=6.

6.（1）①見解析；②見解析

⑵①45°；?FN=PF+PM

【分析】（1）①根據(jù)題意畫圖即可；

②證明四邊形BCHN是矩形，得出NH=BC,ZANH=ZBNH=9Q°,證明.ABE紂麗0（ASA）,得出

=即可；

（2）①過尸作尸T_LAB交BA延長(zhǎng)線于T,過E作EK_LPT于K,證明四邊形3EKT是矩形，得出

BT=EK,NK=90。，證明Rt.APT咨RtPEK（HL）,得出ZAPT=NPEK,證明VAPE是等腰直角三角

形，得出/A￡P(guān)=45。；

②根據(jù)VAPE是等腰直角三角形，PFYAE,得出瓶=EF=PF,求出

AE=2PF=2（PM+MF）=2PM+2MF,根據(jù)肱V=2PM+2MF,得出

MN-MF=2PM+MF=（PM+MF，+PM=PF+PM,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）①解：補(bǔ)全圖形如下：

②證明：過N作NHLCD于H,

：?4NHM=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

AZB=ZC=90°,AB=BC,

：.NCHN=NB=NC=90。,

???四邊形3cMV是矩形，

：?NH=BC,ZANH=/BNH=90。,

:?NH=AB,

9：NM±AE,

：.ZAFN=9Q°,

：.ZBAE+ZANF=ZANF+ZHNM=90°,

ZBAE=ZHNM,

在一和ANHM中,

ZBAE=ZHNM

<AB=MH,

ZB=ZNHM

???_ABE^NHM(ASA),

???AE=MN；

(2)解：①過尸作PT_LAB交BA延長(zhǎng)線于T,過E作砍_LPT于K,如圖:

N

???四邊形ABC。是正方形，

：.ZABD=45°,

??.△即7是等腰直角三角形，

BT=PT,

*：Z.TBE=ZBTK=Z.TKE=90°,

J四邊形是矩形，

ABT=EK,NK=90。，

:.PT=EK,

?/PF是AE1的垂直平分線，

：?AP=EP,

ARtAPT^RtP￡X（HL）,

JZAPT=ZPEK,

:ZPEK+ZEPK=90°,

ZAPT+ZEPK=90°,

：.ZAPE=90°f

.W是等腰直角三角形，

：.ZAEP=45°；

故答案為：45°；

②由①可知，V是等腰直角三角形，

*.?PF±AE,

：.AF=EF=PF,

：.AE=2PF=2（PM+MF）=2PM+2MF,

同（1）可得=

：.MN=2PM+2MF,

.??MN-MF=2PM+MF=（PM+MF）+PM=PF+PM,

即FN=PF+PM.

N

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定

和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

7.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判斷，菱形的判定，勾股定理：

(1)由Afi=CD=4,則A￡>=BC=如，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)作圖即可；

(2)根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，結(jié)合AE=8E=AF=8P作圖即可.

【詳解】(1)解：如圖1所示：四邊形ABCD即為所求；

圖1

(2)解：如圖2所示，四邊形尸即為所求.

■"F...........

圖2

8.(1)見解析

(2)1

【分析】本題考查了菱形的判定及性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的特征，熟練

掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求證結(jié)論；

(2)利用直角三角形的特征及勾股定理求得DF=4,利用菱形的性質(zhì)及SAS可得DCG—ECG,進(jìn)而可

得DG=GE,根據(jù)尸G2+E尸?即可求解；

【詳解】(1)證明：：5E〃a),CE//AB,

四邊形CEBD是平行四邊形，

在RtAABC中，ZACB=90°,且點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

：.CD=BD=-AB,

2

:?四邊形CEB。是菱形.

(2)解：AB=10,

:.CD=-AB=5,

2

DF1CE,

.\Z￡>FC=90°,

在RtAC。尸中，CF=3,

:.DF=[CD2-CF2=4,

???四邊形CEB。是菱形，

:.CE=CD=5,NDCG=NECG,

:.EF=CE-CF=2,

在△DCG與々ECG中，

CD=CE

<NDCG=NECG,

CG=CG

"CG空ECG（SAS）,

:.DG=GE,

FG2+EF2=EG2,

/.（4-Z）G）2+22=DG2,

DG=~,

2

故DG的長(zhǎng)為

2

9.⑴見詳解

（2）見詳解

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題

意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

（1）根據(jù)要求作出圖形；

（2）根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可.

【詳解】（1）解：如圖，菱形A8CD即為所求；

（2）證明：VAO=OC,DO=OB,

:.四邊形ABC。是平行四邊形.

???ZA(9D=90°,

AC.LBD.

平行四邊形ABCD是菱形(對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形).

故答案為：OC,OB,對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形.

10.(1)證明見解析

(2)3

【分析】(1)由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得=可得==由菱形的判定

可證四邊形ABCD是菱形；

(2)由勾股定理求得8￡=不薩二5F=8，設(shè)CE=X，則CD=8—x,在RtACDE中，

CD2=CE2+DE2,代入數(shù)據(jù)解答即可得解.

【詳解】(1)解：證明：Q8D平分，ABC,

:.ZABD=ZDBC,

AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

:.ZABD=ZADB

:.AB=AD,且AB=BC,

:.AD=BC,且AD〃3C,

，四邊形ABC。是平行四邊形，且AB=3C,

，四邊形ABC。是菱形；

(2)解：'：BO=DO,DEA.BC,

:.OE=-BD=245,

2

BD=4A/5,

BE=yjBD2-DE2=J(4A/5)2-42=8,

設(shè)CE=x,貝!18c=5E_CE=8_x,

CD=BC=8—x,

在RtaCDE中，CD2=CE2+DE2,

(8-尤)2=x2+42,

解得：x=3,

.【CE的長(zhǎng)為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

H.(疇，立，B,B,L

22222

⑵a

(3)相等，見解析

【分析】(1)a=45°,h=AD-sinZA,a=60°,h=AD-sinZA,a=120°,h=AD-sinZZME,a—150°,

/z=AD.sinZZME,可補(bǔ)全表格;

(2)觀察上表可得，5(30°)=5(150°),S(45°)=5(135°),S(60。)=S(120。)，S(90。)=S(90。)，所以

S(180°-a)=S(a)；

（3）因?yàn)椤鰽OD、3OC是兩塊相同的等腰直角三角板，ADg，可得圖中兩個(gè)帶陰影的三角形都是

等腰三角形，且兩個(gè)等腰三角形的腰相等，ZCOD=180°-af因?yàn)?（180。-。）=S（a）,所以圖中兩個(gè)帶陰影

的三角形面積相等.

本題考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形、等腰三角形的面積公式.

【詳解】（1）解：依題意，1=30。，/i=Ar>sinZA=1,

5

a=45。，h=ADsinZA=-

2

a-60°,h=AD?sinZA=,

2

?

a=135°,fi=ADsin/DAE=也,

2

a=150°,h=AD-sinZDAE=—

2

故答案為:1,冬當(dāng),將I

(2)解：5(30°)=5(150°),5(45。)=5(135。)，5(60。)=5(120。)，5(90°)=5(90°),

.-.S(180°-a)=5(?),

故答案為：a;

（3）解：:△AOD、3OC是兩塊相同的等腰直角三角板，AD=V2,

ZAOD=ZBOC=90°,OA=OD=OC=OB=2,

.-.ZAOfi+ZCO￡>=180°,即NC8=180。-。，圖中兩個(gè)帶陰影的三角形都是等腰三角形，且兩個(gè)等腰三角

形的腰相等,

5(180°-a)=5(?),

,圖中兩個(gè)帶陰影的三角形面積相等.

12.⑴見解析

⑵2+2石

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得=根據(jù)題意可得AD=OE,CO=DF,則/歸=B,即可判斷四

邊形AC燈是矩形；

（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得AC,在RtACE中，勾股定理求得CE,進(jìn)而即可求得四

邊形AC砂的周長(zhǎng).

【詳解】（1）四邊形ABC。是菱形，

/.AD=CD,

AD=DE,CD=DF,

二?四邊形ACMACE尸是平行四邊形；

AE=CF；

.??四邊形ACEb是矩形；

（2）四邊形ABC。是菱形，

:.AB=CD=AD=BC=1,

?四邊形ACE尸是矩形；

.\ZACE=90°,AC=EF,AF=CE,

ZB=60°,AB=\,

:.ZADC=60°9

AD=CD,AB=BC,

「.AC?是等邊三角形，

:.ZCAD=6009AC=1,

:.ZAEC=30°,

AC=-AE,

2

:.AE^2,

在RtACE中，CE=《A￡2-AC。=5

四邊形ACM的周長(zhǎng)=2（AC+CE）=2（1+班）=2+2/.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

13.（1）菱形或正方形

⑵見解析

（3）箏形的兩條對(duì)角線互相垂直

【分析】（1）根據(jù)箏形的定義知，正方形和菱形都符合題意；

（2）首先根據(jù)圖形，寫出已知求證；然后證明；首先連接AC,由SSS,易證得即可證

得結(jié)論；

（3）易得箏形的其他性質(zhì)：①箏形的兩條對(duì)角線互相垂直；②箏形是軸對(duì)稱圖形等.

【詳解】（1）解：因?yàn)閮山M鄰邊分別相等的四邊形是箏形，所以菱形或正方形符合題意.

故答案為：菱形或正方形；

（2）己知：如圖，在箏形ABC。中，AB^AD,CB=CD,

求證：ZB=ZD,

證明：連接AC,

在VABC和△ADC中，

AB=AD

<AC=AC,

BC=DC

二ABC烏.ADC（SSS）,

:.ZB=ZD-,

故答案為：ZB=ZD-,

（3）解：箏形的其他性質(zhì)：①箏形的兩條對(duì)角線互相垂直；②箏形是軸對(duì)稱圖形.

故答案為：箏形的兩條對(duì)角線互相垂直（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題.屬于新定義類題目，考查了軸對(duì)稱圖形的定義、線段垂直平分線的性

質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

14.⑴見解析

⑵后

【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理.掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)，三

角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意可直接證明四邊形fiD所是平行四邊形.根據(jù)三角形中位線定理和線段中點(diǎn)的性質(zhì)可證

BD=DE,即得出平行四邊形3D卯是菱形；

（2）連接CD,DF.由菱形性質(zhì)可得出BE，。產(chǎn)，BM=EM=^BE=2.結(jié)合（1）可求出=6,

BC=8,CE=4,從而可求出C0=6,最后先根據(jù)勾股定理求出DM=1,再根據(jù)勾股定理即可求出

CD=A^7.

【詳解】（1）證明：：3尸DE,EF//DB,

二四邊形BDEF是平行四邊形.

VD,E分別是A3,2C的中點(diǎn)，

BD=-AB,DE=-AC.

22

,/AB=AC,

，BD=DE,

.?.平行四邊形是菱形；

(2)解：如圖，連接CO,DF.DF與BC交于點(diǎn)M.

,四邊形BDEF是菱形,

BEIDF,BM=EM=-BE=2.

2

由(1)可知￡>E=1AC=?,BC=2CE=2BE=8,

2

；.CM=EM+CE=2+4=6.

在RtOEM中，DM=J/)。?_EM^=J(扃—2?=1,

.?.在RtACDM中，CD=4CM。+DM2=>/62+l2=歷.

15.(l)AACF

25

(2)CF=—

【分析】本題考查矩形與折疊，等腰三角形的判定，勾股定理：

(1)依據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可得到AF=b,進(jìn)而得出△AB是等腰三角形;

(2)設(shè)B=x,則AF=x,DF=4-x,依據(jù)勾股定理即可得到了的值.

【詳解】(1)解：由折疊可得，NBAC=NEAC,

?.,矩形ABCD,

AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA,

：.ZEAC=ZDCA,

：.AF=CF,

ACF是等腰三角形.

故答案為：ACF

(2)解：設(shè)CF=x,則=DF=4-x,

V?D90?,

ARt仞9中，AD2+DF2=AF2,即32+(4—力2=爐,

解得x=U2s，

o

16.⑴見解析

(2)見解析

(3)AC=7^CE+CG,證明見解析

【分析】⑴作用L3C交2C延長(zhǎng)線于X,延長(zhǎng)成f到G,使HG=FH,連接CG,EG即可；

(2)根據(jù)AE=EF,得NEAC=/EFC,再根據(jù)Za4E+ZE4C=ZBAC=45。，ZFEC+ZEFC=ZACB=45°,

得到ZBAE=ZHEF,再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得NGEC=ZHEF,即可得出結(jié)論；

(3)先證明AC=Jl45，CH=^-CG,不規(guī)則證明ABE當(dāng)EHG(AAS),得AB=￡H,根據(jù)

EH=CE+CH=CE+—CG,代入即可得出結(jié)論.

2

【詳解】(1)解：如圖所示，

R7Z.^-***

A^---1。

(2)解：???正方形ABC。，

AZBAC=ZACB=45°,?B90?,

?；AE=EF,

JZEAC=ZEFC,

ZBAE+Z.EAC=ABAC=45°,

/.AFEC+ZEFC=ZACB=45°,

：?ZBAE=/FEC,

???點(diǎn)/與點(diǎn)G關(guān)于直線5C的對(duì)稱,

：.ZHEF=/GEC

：.ZBAE=ZGEC

(3)解：AC=42CE+CG

證明：???正方形ABC。，

：.AB=BC,NACB=45。，?B90?,

???AC=4^AB,

ZFCH=ZACB=45°

???點(diǎn)/與點(diǎn)G關(guān)于直線5C的對(duì)稱,

：.ZGCH=ZFCH=45°fEF=EG,

：.AE=EG,

丁FH_LBC交BC延長(zhǎng)線于H,

JZGHC=90°

/.ZHGC=ZHCG=45°

：.CH=GH

CG=42CH

???CH=—CG,

2

在」4B￡和￡"G中，

ZBAE=ZGEH

<ZB=ZEHG,

AE=EG

ABE^EHG(AAS),

JAB=EH

9：EH=CE+CH

(歷、

:.AC=4^(CE+CH)=6CE+—CG=V2CE+CG,

即AC=6CE+CG.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三我的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)，

軸對(duì)稱的性質(zhì).熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.(1)見解析

⑵垃BP=CE

(3)10

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；

(1)根據(jù)題意作出圖形，即可求解；

(2)過點(diǎn)尸分別作COBC的垂線，垂足分別為￡G,PF交AB于點(diǎn)H,則HR〃仞，證明

NPEF=a=NPCF得出PC=PE,FC=^EC,進(jìn)而證明四邊形PGCF是矩形，得出PG=BC,根據(jù)

△P5G是等腰直角三角形，得出PG=^BP=FC=LEC,即可得出結(jié)論；

22

(3)過點(diǎn)尸作尸尸，EC于點(diǎn)/，同理可得PE=PC,則EF=FC,進(jìn)而得出FD=Pb=l,CF=￡F=4,

根據(jù)四邊形ADPE的面積=SADE+S.即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，

(2)近BP=CE

理由如下，如圖所示，過點(diǎn)尸分別作C2BC的垂線，垂足分別為尸,G,PF交AB于點(diǎn)、H,則“F〃AD

H

BGC

：.ZDAP=ZAPH

i^ZDAP=ZAPH=af

???四邊形ABCD是正方形，80是對(duì)角線，

:.AD=CD,ZADP=/CDP,ZPBC=45°

又?：DP=DP

：.AADP^/\CDP

：.PA=PC,ZDCP=ZDAP=a

*.*APLPE

???ZEPF=90°-ZAPH=90°-a

PFLCD,

：.ZPEF=a=ZPCF

：.PC=PE,FC=-EC,

2

,/乙BCD=90°,PF1CD,PG1BC

四邊形PGCB是矩形，

PG=FC,

又NPBC=45。

?*.△PBG是等腰直角三角形，

/.PG=-BP=FC=-EC

22

y/2BP=EC;

(3)解：如圖所示，過點(diǎn)尸作PF_LEC于點(diǎn)尸，

同理可得PE=PC,則所=所，

.P田是等腰直角三角形，

,/AB=3,DP=>fi

：.FD=PF=1,CF=EF=4,

：.DE=DF+EF=l+4=5,

...四邊形ADPE的面積=SADE+SEDP

=-xADxDE+-xDExFP

22

=^xDEx(AD+FP)

=1x5x4=10

2

故答案為：10.

18.(l)@(0,6)；②%修巴;

(2)1.5<n<3；

1535

(3)9<0<15^—<0<—,—<0<—.

【分析】(1)①當(dāng)。=6時(shí)，得點(diǎn)