2024-2025學(xué)年蘇教版高一數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)復(fù)習(xí)：不等式（考題猜想刷10種題型）（解析版）

專題03不等式

盛型大裳合

<_.

理型大通關(guān)

利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假（5題）

1.（23-24高一上?江蘇南京?期中）（多選）若a>b,貝IJ（）

A.a+2>b-\B.2a+1>-2C.2a>-bD.2a2>-b2

【答案】ABD

【解析】由題。>b,

對(duì)于A,a+2-（b-l）=a-6+3>0,所以A正確；

對(duì)于B,2。+1-（2b-2）=2（。-b）+3>0,所以B正確；

對(duì)于C,令。=1,>=-3滿足。,但2a=2<—6=3,所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閍>>，所以a,b不同時(shí)為0,

貝U2a2一（一62）=2標(biāo)+62>0,所以D正確；故選：ABD

2.（23-24高一上.江蘇淮安?階段練習(xí)）（多選）已知實(shí)數(shù)。，6滿足°>爐+1,則下列不等關(guān)系一定正確的

是（）

A.a>2bB.a>2b+\C.a>b-lD.2a>b2-b+l

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,（麻+1卜26=0-1）220,所以a>〃+G26,則a>?，故A正確；

對(duì)于B,W+l)_(26+l)=Z?-26正負(fù)無(wú)法確定，

取a=2.5*=1,貝U滿足a〉Z?2+l=2,但。<2/?+1=3,故B錯(cuò)誤；

3C,W+1)一僅—1)=,一；)+卜。，則0>62+1>6一1,故C正確;

對(duì)于D,由a>^+1,得2a>2〃+2,

又因?yàn)?2/+2)一?一6+1)=62+6+1=,+￡|+：>0,

所以2a>2"+2>〃一6+1,故D正確.故選：ACD

3.（23-24高一上.江蘇鎮(zhèn)江?期中）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a>devO,貝ija2c>人2。B.若a>"evO,則

/l-L1

C.右avbvO,貝!J〃>/口.右a>b>0,貝!J-->—

6Z+1a

【答案】CD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若a=l,b=0,c=-l時(shí)，a2c=-l,b2c=0,即a2c>廣。不成立，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閍3c-/?c=（Q3-b3）c,

當(dāng)a>b,evO時(shí)，a3-b3>01故即故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?一匕）,

當(dāng)avbvO時(shí)，a（a-b）>Of故/>加?,

又因?yàn)?。力一?=b（a—b）,

當(dāng)avbvO時(shí)，b^a-b)>Q,故

所以〃2>必>加，故C正確；

b+1b_a-b

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橐?/p>

aQ(〃+1)

若a>/?>0,貝1］々+1>0,4—。>。，

b+1ba-b八AI5

可得一即匕+［>*，故D正確；故選：CD.

〃+1aa^a+l)a+1a

4.（23-24高一上?江蘇鹽城?期中）（多選）若久權(quán)c為實(shí)數(shù),則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若貝!B.若avZ?v。，貝!J6?>/

hn

C.若a<b,則一D.若avbvO,貝！J—〉—

abab

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,若，>瓦。=。，則叱2=兒2,A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若avZ?vO,貝!J/AabAOqb〉/>0,t^a2>ab>b2B正確；

對(duì)于C,取a=-l,b=2,滿足則工=T<；=!，C錯(cuò)誤；

ab2

對(duì)于D,若a<6<0,貝!>〃>0,ab>0,ik—,D錯(cuò)誤，故選：ACD

ababba

5.（23-24高一上?江蘇徐州?期中）（多選）己知“，b,c,d都是正數(shù)，且0>8，c>d,則下列關(guān)系正確

的有（）

A.a-c<b-dB.a+c>b+d

a+ca+d

D.------<-------

acbdb+cb+d

【答案】BCD

【解析】已知。，b,d都是正數(shù)，且c>d,

對(duì)于A選項(xiàng)，a=4,Z?=l,c=2,d=l滿足已知條件，但此時(shí)。一。>人一［,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng)，由不等式的同向可加性，a>b,時(shí)，有a+c>b+d,B選項(xiàng)正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，由a>Z?>0,c>d>0,有ac>bd>0,所以C選項(xiàng)正確;

acbd

對(duì)于D選項(xiàng)，由a>b>0,c>d>0,

有(Q+c)(Z?+d)—(Z?+c)(a+d)=4+bc—Z?d-QC=(〃—<0,

所以0<(a+c)(b+d)<(b+c)(a+d),得片〈寢，D選項(xiàng)正確；故選：BCD

二.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍（5題）

1.(22-23高一上?江蘇南通?期中)已知實(shí)數(shù)x,y滿足TWx-yW-l,-l<4x-y<5,則9x-y的取值范

圍是()

A.[-7,26]B.[-1,20]C.[4,15]D.[1,15]

【答案】B

[解析]設(shè)9%—y=根(％_y)+〃(4x—y)=(m+4n)x—(m+n)y,

5

m+4n=93

貝I1nQ，

\m+n=l8

1n=—

[3

58

所以9x—y=—](九-y)+§(4x—y),

x—y<-1,-1<4x-<5,

貝亭\（x-y）T，一|427）4手,

S2

所以一lV9x-y=-§（尤一y）+§（4尤一y）<20,故選：B.

2.（22-23高一上?江蘇南通?期中）（多選）已知〃>0,6>0,且2a+86=l,則（）

]]

A.2<2—8Z?>—1B.y[-a+2y/b>1C.ctb<D.u2+16/?2>—

【答案】ACD

【角星析】對(duì)于A,因?yàn)?a+8b=l,所以2a=1—8/?,又因?yàn)閍>0,b>0,

所以2。=1一86>0,§po<&<-,所以24—86=1—86—86=1—16%,

8

又因?yàn)?<b<L所以-Lv2a-8。<1,可知A選項(xiàng)正確；

8

對(duì)于B,因?yàn)椋?+26『=a+4b+4而J"：昉+缶.助4+2"；%=1,

當(dāng)且僅當(dāng)2a=86,即a=1,人時(shí)等號(hào)成立，

416

所以&+2揚(yáng)VI,可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?a+8b=12242。?勖=8族,解得

64

當(dāng)且僅當(dāng)2a=86,即。=,，6=工時(shí)等號(hào)成立，可知C選項(xiàng)正確；

416

對(duì)于D,因?yàn)?a+8Z?=l,所以。+46=1,

2

Srrl2/+16從+。2+16必+16/?+2??-4Z?（a+4bV1

2228

11

當(dāng)且僅當(dāng)。=4人即。=:，8=7時(shí)等號(hào)成立，可知D選項(xiàng)正確.故選：ACD.

416

3.（23-24高一上?江蘇鹽城?期中）若—lva+b<3,2<a-b<4,t=2a+3b,貝心的取值范圍為

【答案】

x+y=2

【解析】設(shè)，=2。+3/?=%（〃+人）+y（。一/?）,貝ij

x-y=3

解得：x=—,y=――,則/=2Q+3Z?=5（々+/?）_5（々一萬(wàn)），

而由-l<a+b<3,pT^--<-（a+M<—

22、72

再由2va—Z?v4,可得-2〈一;（〃一/?）<一1,

所以

22V72V72

9cc,13___/口913

1即4n——<2a+3b<——，可得——<t<-.

2222

故答案為：

4.（23-24高一上?江蘇揚(yáng)州?期中）若-l<a+A<3,2<a-b<4,則3°-力的取值范圍為.

【答案】（3,11）

【解析】由于一l<a+6<3,2<a-b<4,貝I]4<2（。-6）<8,

而3o—8=（a+b）+2（a—b）,故3<（a+6）+2（。-6）<11,

故3。一6的取值范圍為（3,11）,

故答案為：（3,11）

5.（22-23高一上?江蘇淮安?期中）若14x43,-2<y41,則尤-國(guó)的取值范圍為.

【答案】（-L3]

【解析】因?yàn)橐?<”1,所以0<可<2,則一2<—僅區(qū)0,

又因?yàn)?WXW3,所以一1<》一卜歸3,

故x-|y|的取值范圍為（-L3].

故答案為：

三.利用基本不等式求最值（8題）

1.（23-24高一上.江蘇?期中）（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)a,%滿足a+6=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.?有最小值4B.有最小值:

ab2

C.&+揚(yáng)有最大值&D./+〃有最小值;

【答案】ACD

【解析】A：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿足a+匕=1,所以工+!=伍+6）[工+工]=2+2+322+2、反=4,

ab\ab）ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=?時(shí)取等號(hào)，即4=6=（時(shí)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)正確；

ab2

B：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿足a+Z?=l,

所以1=。+/?22，^=>（g,當(dāng)且僅當(dāng)。=力=；時(shí)，取等號(hào)，

即癡有最大值g,因此本選項(xiàng)不正確；

C：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿足a+b=l,

2

所以《;切產(chǎn)）;函二丹4二&+外收

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=；時(shí)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)正確；

D：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿足a+b=l所以、歸±^2”2=工=〃+622工，

V2222

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=；時(shí)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)正確，故選：ACD

2.（23-24高一上?江蘇無(wú)錫?期中）（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)機(jī),“滿足加+〃=2,則下列說(shuō)法正確的是（

A.Jnm的最小值為1B.1"一的最小值為二+>/^

mn2

C.而+冊(cè)的最大值為2D.療+〃2的最大值為2

【答案】BC

【解析】因?yàn)樗健檎龑?shí)數(shù)，m+n=2,則而=當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=1時(shí)，等號(hào)成立,

故y]mn的最大值為1,則A錯(cuò)誤;

12112In2m31.

—I—二一(—I—)(m+〃)=—(3-I----1------)>——|——x2=-+V2,

mn2mn2mn222

當(dāng)且僅當(dāng)2=生，即m=2四-2,〃=4-2正時(shí)，等號(hào)成立，

mn

故1+2的最小值為則B正確；

mn2

因?yàn)椋╘/而+?）2=m+n+2y[mn<m+n+（m+n）=4,

當(dāng)且僅當(dāng)m=孔=1時(shí)，等號(hào)成立，所以++6的最大值為2,故C正確;

因?yàn)閙2+*=（加+〃）2_2mn=4-2mn,

由A項(xiàng)知mn<1,貝ij-2OTZ>-2,

所以■+/=4-2相〃22,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=1時(shí)，等號(hào)成立，

故/+/的最小值為2,故D錯(cuò)誤，故選：BC.

a+4b

3.（23-24高一上?江蘇常州?期中）已知正實(shí)數(shù)6滿足為+附色產(chǎn)，則9a+6的最小值為

2ab

【答案】辛

,?力上廠■ma+4ba4b12

【解析】因?yàn)?H=F+F=77+一，

lablab2ab2ba

/7+4b12

所以由+^9a+b>4-+-,

2ab2ba

因?yàn)閍>0,Z;>0,

129a12b379a2b37

所以（9〃+b）2＞（9a+b）1O9a2b37乙49

一+—=—+18+-+——=一+2-----------=-------FO=----

2ba2b2〃22b〃一2'2ba22

當(dāng)且僅噫子,即即6考時(shí)取等號(hào),

，苧，當(dāng)且僅當(dāng)”也當(dāng)時(shí)取等號(hào),

所以9〃+/?2

故答案為：羊

12

4⑵3高一上?江蘇鹽城?期中）已知“＞。,。＞。，且信+廠I，那么》的最小值為—

【答案】2+2&

12

【解析】因一-+y=l,

a+1b

則4+6+1=（0+1+6）[，+2]=3+±+2（"+1乂3+21口-.2（"+1）=3+2后,

'3+1b）a+1bV?+lb

則a+622+20,當(dāng)且僅當(dāng)上="R,即q=&,6=2+0時(shí)取等號(hào).

〃+1b

故答案為：2+20

5.（23-24高一上.江蘇宿遷.期中）已知2Vx＜4,則上—的最小值為_(kāi)___________.

x—24—x

【答案】16

x2x22x222

______1_______________________________________________________

【解析】由2＜X＜4,貝1]%_24-苫-。-2）（4-x）-861一1321,

x2xx88

111Q

而:〈一＜7,故當(dāng)x=z時(shí)，目標(biāo)式最小值為16?

4x23

故答案為：16

4

6.（23-24局一上?江蘇南通?期中）（1）已知x>3,求一^十元的最小值及此時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的值;

x-3

13

（2）已知元，y是正實(shí)數(shù)，且％+y=4,求一+一的最小值.

%y

【答案】（1）最小值7；x=5；⑵最小值1+1

2

444

【解析】(1),/x>3,-------\-x=------+x-3+3>2./-------x(%-3)+3=7,

x-3x-3Vx-3

4

當(dāng)且僅當(dāng)一-=(x-3),即x=5時(shí)取公’

x-3

4

故+%最小值是7

x-3

(2)?.?x+y=4,且％,>是正實(shí)數(shù)，-(x+y)=l,

4

,,1.13、/、1Iy3x.1_y3x=1+烏

故;(一十一)(%+y)=l+：(z2+—)=l+2/x一

4xy4xyVxy2

當(dāng)且僅當(dāng)丁=后％,即x=24-2,y=6-2^3,

故工+3的最小值為1+走

元y2

7.(23-24高一上?江蘇南京?期中)已知正數(shù)〃，Z?滿足〃+2人=".

(1)求的最小值；

(2)求烏+魯?shù)淖钚≈?

a—2b—\

【答案】⑴3+2夜；(2)18

21

【解析】(1)因?yàn)椤?gt;0,b>0,且a+2Z?=ab,則一十7=1,

ab

所以a+6=(。+6)(2+1)=2+1+殳+色23+2)絲?q=3+20,

abab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)@=即a=J為，即a=2+&，6=0+1時(shí)等號(hào)成立，

ab

故a+b的最小值為3+2行.

(2)因?yàn)椤！?,b>0,且a+2Z?=",所以(。一2)(6-1)=2,

2a8b2(。-2)+48(Z?-l)+81八48「l~78-

所以----+——=—--------+———--=10+-------+——210+2」---------------=18,

a-2b-1a-2b-1a-2b-1\a—2b-1

當(dāng)且僅當(dāng)」47=78^7,即。=6=3時(shí)等號(hào)成立，

a-2b-1

故口+=!的最小值為此

8.(23-24高一上?江蘇常州?期中)(1)設(shè)X>0,y>0,且盯=4,求'的最小值；

xy

(2)設(shè)x>-l,求"+3)(x+4)的最小值.

X+1

【答案】(1)1；(2)276+5.

【解析】(1)因?yàn)閤>0,y>0,所以上+工22」上=2、口=1,

xyyxyV4

當(dāng)且僅當(dāng)x=V=2時(shí)等號(hào)成立，所以工的最小值為1；

xy

(2)因?yàn)?>-1,所以x+1>0,

所以口+3依+4)=[(x+l)+2][(x+l)+3]=(X+1>+5(X+1)+63山6

x+1x+1x+1X+1

22卜+1).1+5=2娓+5,

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=—，，即x=#-l時(shí)，等號(hào)成立

所以(x+3)口+4)的最小值為2G5.

四.基本不等式恒成立問(wèn)題(5題)

1.(23-24高一上?江蘇南京?期中)若命題“對(duì)任意的xe(O,+w),2x+，-機(jī)>0恒成立"為假命題，則機(jī)的

X

取值范圍為()

A.1m|m>2V2JB.1m|m>2\/2|

C.21D.<21

【答案】B

【解析】由題意得：存在xe(O,a),2x+，一根40成立為真命題，

X

又因?yàn)椋?x+b2」2x>d=2及,當(dāng)且僅當(dāng)2尤=,，即：正取等號(hào)，

xvxx2

所以：m>2y/2，故B項(xiàng)正確.故選：B.

2.(23-24高一上.江蘇鹽城?期中)設(shè)x>y>z,”eN,且'+一匚之"一恒成立，貝心?的最大值為

x-yy-zx-z

()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

[角軍析]因?yàn)閤>y>z,所以x_y>0,y-z>0,x-z>0,

」一+—一2一'一恒成立，等價(jià)于“/」一+」一](x-z)恒成立，

x-yy-zx-zI尤7y-zJ

因?yàn)閤_z=(x_y)+(y_z),

所以[―'-+^-](x-z)=[—'―+^—][(x-y)+(y—z)]=2+^^+^—^>2+2=4,

yx-yy-z)l尤7y-zJx-yy-zyx-yy-z

y—zx—v

當(dāng)且僅當(dāng)‘一二-即％—y=y-z時(shí)等號(hào)成立，

x-yy-z

所以要使〃<(」一+二一](x-z)恒成立，則需〃04(〃wN),所以〃的最大值為4.故選：B

1%—yy-z)

11〃

3.23-24高一上?江蘇南京?期中)設(shè)a>b>c,neN,且--+-->——恒成立，貝伊的最大值為()

a—bb-ca—c

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

n—h+h—c

【解析】因?yàn)?----------,所以a—c>O,a-b>0力一。>0,

a-b

所以一^7+1匚2上-等價(jià)于

a-bb-ca-c\a-bb-cJ

因?yàn)镼-c=(a—Z?)+(Z?-c),

b-ca-b”

[(fl-6)+(b-c)]=2+>2+2.---------二4,

所以1￡+占）（”，）一」a-bb-ca-bb-c

當(dāng)且僅當(dāng)a-b=6-c時(shí)等號(hào)成立,

所以“<4,即〃的最大值為4故選：C

4.（22-23高一上?江蘇南通?期中）若不等式“2-雙力+1）+7..彳，對(duì)一切weN*恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范

圍（）

A.4,3B.4,4C.2強(qiáng)股3D.31R4

【答案】A

【解析】■不等式I-〃（；l+l）+7..4對(duì)一切“eN*恒成立，，川-〃+7..彳（〃+1）,

〃eN*,4,”~+7對(duì)一切〃eN*恒成立.

n+1

石/-〃+7(n+1)2—3(n+1)+9.八92G\(iT9-

而--------=-------------——=(〃+1)+-----3..2J(n+l)------3=3，

n+1n+1n+1vn+1

Q

當(dāng)且僅當(dāng)〃+1=上，即〃=2時(shí)等號(hào)成立，.?.4,3.故選：A

n+1

21

5.(22-23高一上?江蘇南京?期中)已知：x>l,y>0,?+一=1，且尤+>>"怛成立，則〃的取值范

x-1y

圍是?

【答案】"4+2拒

【解析】由題設(shè)，x-l>0,y>0,

/.x+y=(x—l+y)+l=(x—l+y)(H—)+1=(3HH----)+1>4+2/--―=4+20，

x-1yx-1y\x-ly

當(dāng)且僅當(dāng)=尤-1時(shí)等號(hào)成立，

要使x+y>〃恒成立，只需。<4+2夜.

故答案為：a<4+2y/2.

五.基本不等式的實(shí)際應(yīng)用(5題)

1.(23-24高一上.江蘇宿遷?期中)古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底曾研究過(guò)如圖的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)

成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊8C,直角邊AB,AC.若以斜邊8C為直徑的半圓弧長(zhǎng)

為2兀，則VABC周長(zhǎng)的最大值為.

【答案】4+4拒

［解析］設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

以斜邊BC為直徑的半圓弧長(zhǎng)為2兀，則=2兀，即7=16,

?.?△ABC為直角三角形，

/.a2=b2+c2即〃+/=16,

則［皆=

即6+c44應(yīng)，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=20時(shí)，等號(hào)成立,

則a+6+c44+4應(yīng)，即VABC周長(zhǎng)的最大值為4+40.

故答案為：4+4A份.

2.（23-24高一上.江蘇徐州?期中）如圖所示，為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形

海報(bào)紙上設(shè)計(jì)大小相等的左右兩個(gè)矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為450而「，為了美觀，要求海報(bào)上四周

空白的寬度為1力"，兩個(gè)宣傳欄之間的空隙的寬度為2曲z,設(shè)海報(bào)紙的長(zhǎng)和寬分別為北加，弊加

（1）求>關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式

（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少？

450

【答案】（l）y=-7+2">4）；（2）海報(bào)長(zhǎng)34dm,寬17加時(shí)，用紙量最少.

%—4

Y—4

【解析】（1）由題知，兩個(gè)矩形宣傳欄的長(zhǎng)為干，寬為y-2,

所以有2x—x（y-2）=450,整理得y=1^+2（尤>4）.

（2）由（1）矢口（x-4）（y-2）=450,即孫=2無(wú)+4y+442,

因?yàn)閤>4,y>2,所以由基本不等式可得孫=2x+4y+442N47^+442,

令，=如，貝I/一4萬(wàn)/-44220，解得三一13&（舍去）或此17夜.

所以*578,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn),即x=34,y=17時(shí)等號(hào)成立，

［肛=578

所以海報(bào)長(zhǎng)34力九，寬17辦2時(shí)，用紙量最少，最少用紙量為578曲，.

3.（23-24高一上?江蘇?期中）某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買手套和帽子用于獎(jiǎng)勵(lì)在秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中獲獎(jiǎng)的運(yùn)動(dòng)員，其中手

套的單價(jià)為x元，帽子的單價(jià)為y元，且。<尤現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案

方案一：手套的購(gòu)買數(shù)量為。件，帽子的購(gòu)買數(shù)量為6個(gè)；

方案二：手套的購(gòu)買數(shù)量為6件，帽子的購(gòu)買數(shù)量為。個(gè)；

（1）采用方案一需花費(fèi)耳，采用方案二需花費(fèi)昆，試問(wèn)采用哪種購(gòu)買方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若。，b,X,y滿足y=2x-2G^,b=3a+^—,求這兩種方案花費(fèi)的差值S的最小值.（注：差值

a+3

S小Y|）

【答案】（1）采用方案二花費(fèi)更少，理由見(jiàn)解析；（2）54

【解析】（1）方案一的總費(fèi)用為d=ax+6y,方案二的總費(fèi)用為S?=6x+ay,

則S2-51=bx+ay-^ax+by）-^y-x）^a-b）,

因?yàn)?<xvy,0<a<b,所以（y—x/a—b）vO,即S2<\,

所以采用方案二花費(fèi)更少.

（2）由（1）可知，S=5一S2I=（y—x）僅—+

因?yàn)镼>0,x>4

令根=〃+3>3,貝!]1=加一3,

7272I72

所以2aH-------=2mH---------6>2.2mx--------6=18,

Q+3mvm

當(dāng)且僅當(dāng)m=6,即。=3時(shí)，等號(hào)成立，

令〃=A/X-420,貝!]l=*+4,

所以％-2&一4=n2-2n+4=（n-l）2+3>3,當(dāng)〃=1時(shí)，即x=5,等號(hào)成立，

所以差值S的最小值為18x3=54,當(dāng)且僅當(dāng)％=5,y=8,a=3,b=21時(shí)，等號(hào)成立.

故兩種方案花費(fèi)的差值S的最小值為54.

4.（23-24高一上?江蘇南京?期中）第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉

行，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為15

元，年銷售10萬(wàn)件.

⑴據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商

品每件定價(jià)最多為多少元？

⑵為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和

營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到尤元.公司擬投入：（爐-400）萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳

費(fèi)用，投入:萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量。至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使

4

改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).

【答案】（1）50；（2）至少應(yīng)達(dá)到10.25萬(wàn)件，商品的每件定價(jià)為20元

【解析】（1）設(shè)定價(jià)為了（記15）元，則銷售量為10-0.2（x-15）萬(wàn)件，

由已知可得，x[10-0.2（x-15）]>15xl0,

整理可得，^2-65X+750<0,解得154X450,

所以，該商品每件定價(jià)最多為50元.

（2）由已知可得，以N150+；（f-400）+50+：=：/+：+100,x>15.

rp二匚]、]1001[x~~1001

因?yàn)槿?5,所以〃2—+——+->2—X——+-=10.25,

4x4AV4x4

當(dāng)且僅當(dāng)即x=20時(shí)，等號(hào)成立，

4x

所以，<2>10.25.

所以，當(dāng)該商品改革后的銷售量。至少應(yīng)達(dá)到10.25萬(wàn)件時(shí)，

才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，商品的每件定價(jià)為20元.

5.（23-24高一上?江蘇泰州?期中）第三十三屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎

舉行，這是體育的盛會(huì)，也是商人們角逐的競(jìng)技場(chǎng).某運(yùn)動(dòng)裝備生產(chǎn)企業(yè)為了搶占先機(jī)，欲擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模.

已知該企業(yè)2023年的固定成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（千件）裝備，需另投入資金R（x）（萬(wàn)元）.經(jīng)計(jì)算

x2+ax,0<x<40

與市場(chǎng)評(píng)估得R（x）=601尤2T730x+3600，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)20（千件）裝備時(shí)需另投入的資金

---------------------------,x>40

［2x

R（20）=5200萬(wàn)元.每千件裝備的市場(chǎng)售價(jià)為300萬(wàn)元，從市場(chǎng)調(diào)查來(lái)看，2023年預(yù)計(jì)最多能售出100千

件.

（1）寫出2023年利潤(rùn)卬（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)；（利潤(rùn)=銷售總額-總成本）

（2）求當(dāng)2023年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

—X2+60x-50,0<x<40

【答案】（1）W=I_/+1730%-3600....；出30千件，850萬(wàn)元

--------------------------50,40<^<100

、2x

【解析】（1）由題意知，當(dāng)工=20時(shí)，7?（20）=202+20a=5200,所以a=240,

當(dāng)0Wx<40時(shí)，W=300x-(x2+240x)-50=-x2+60x-50；

當(dāng)40X100時(shí)，W=3。。-60q173。旺36。。_5°-9+1730x二36。。一5。,

2x2x

-X2+60%—50,0<x<40

所以W=j-爐+1730--3600

-50,40<x<100

、2x

（2）當(dāng)?！从取?0時(shí)，函數(shù)W在［0,30）上是增函數(shù)，在［30,40）上是減函數(shù)，

所以當(dāng)尤=30時(shí)，W有最大值，最大值為850；

當(dāng)40VXV100時(shí)，由基本不等式得皿=-；卜+變四-1730^-50<-小/西+815=755,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=儂時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x=60時(shí)，W有最大值，最大值為755；

X

因?yàn)?50<850,所以當(dāng)年產(chǎn)量為30千件時(shí)，該企業(yè)的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為850萬(wàn)元.

六.不等式性質(zhì)與基本不等式證明不等式（2題）

1.(23-24高一上.江蘇南京?期中)(1)設(shè)a,b,c,d為實(shí)數(shù),求證：ab+bc+cd+ad<a2+b2+c2+d2;

(2)已知。/eR,求證：一二一.

36a+1+l63

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】(1)因?yàn)?(/+62+02+/)一2(46+慶+?/+。")=("-6)2+3-。)2+9-4)2+(。一<7)22。，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=人=。=1時(shí)，等號(hào)成立，

所以2(/+尸+/+d?)>2(ab+be+cd+ad),

所以ab+he+cd+adKa?+〃+。2+/；

(2)因?yàn)?-2+上2216"2?工=12,當(dāng)且僅當(dāng)6"+2=!,

即。=-1時(shí)取等號(hào),

6"V6"O

60111

所以36"'+廣"+21,方，當(dāng)且僅當(dāng)6"2=3，即。=-1時(shí)取等號(hào),

oH---O

6"

巾457b111

因?yàn)椤猙-\---1)2+—>—

63=》-1212

6aI二-"七

綜上

36-1+163

2.(22-23高一上?江蘇蘇州?期中)閱讀：序數(shù)屬性是自然數(shù)的基本屬性之一，它反映了記數(shù)的順序性，回

答了“第幾個(gè)”的問(wèn)題.在教材中有如下順序公理：①如果a>"，>>c,那么a>c；②如果a>"，c>。，那么

ac>bc.

⑴請(qǐng)運(yùn)用上述公理①②證明：“如果〃>6>0，c>d>0,那么ac>〃.”

(2)求證:(2+-+1)(2+-)>2.

xyxy

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】(1)'.'a>b>0,且。>0,.\ac>bc>0

同理be>bd>0,/.ac>bd；

(2)法一：

當(dāng)x，y同號(hào)時(shí)，"，工>。，」+』口=2.

yXyXRyx

當(dāng)異號(hào)時(shí)，_蘭>0,_2>0,

yx

.?.(上)+(上>2/與(1)=2,./+上<_2..

y%Yy%yx

Xv

綜上可知，一+)的取值范圍為(YO，-2]U[2,+8),

yx

—+'+1的取值范圍為(YO,-l]U[3,+8)

yx

土+)>2且2+上+1*1,.

yxyx

由(1)中的結(jié)論可知:3)3+1)—?—-+^+l>2x1=2

y%y%yxyx-

X