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文檔簡介
清單03不等式
考點儕單
比較實數(shù)a、b的大小I考點題型一利用不等式的性質(zhì)判斷真假
不等式的基本性質(zhì)考點題型二利用不等式的性質(zhì)證明不等式
不等式的性質(zhì)考點題型三利用不等式的性質(zhì)求取值范圍
基本不等式考點題型四利用基本不等式求最值
基本不等式/重要不等式考點題型五基本不等式恒成立問題
考點題型六利用基本不等式的證明不等式
\基本不等式的推論
考點題型七基本不等式的實際應(yīng)用
考點題型八解不含參數(shù)一元二次不等式
t二次不等式的相關(guān)概念考點題型九解含參數(shù)的一元二次不等式
從函數(shù)觀點看一元二次方程考點題型十解分式或高次不等式
三個.二欠.之間的關(guān)系考點題型十一三個"二;欠"間對應(yīng)關(guān)系應(yīng)用
考點題型十二一元二次不等式恒成立問題
【清單01】不等式的基本性質(zhì)
1、比較實數(shù)。、。的大小
(1)文字描述:如果a—》是正數(shù),那么。>人;
如果等于0,那么〃=/?;
如果a-Z?是負數(shù),那么反過來也對。
(2)符號表示:a—b>O<^a>b;—a—b;a—b<O<^a<b
2、不等式的性質(zhì)
性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意
1對稱性a>b=b〈a=
2傳遞性a>b,b>c=>a>c不可逆
3可加性a>b=a+c>b+c可逆
a>b,c>0=>ac>bc
4可乘性C的符號
a>b,c<0=>ac<bc
5同向可加性a>b,c>d^a-\~c>b-\~d同向
6正數(shù)同向可乘性a>b>0fc>d>U=ac>bd同向
7正數(shù)乘方性a>b>0=^an>bn(neN,n>2)同正
【清單02】基本不等式
1、基本不等式
(1)給定兩個正數(shù)。,b,數(shù)巴也稱為。,b的算數(shù)平均數(shù);數(shù)而稱為。,b的幾何平均數(shù)
2
(2)如果a,b是正數(shù),那么竺而,當且僅當a=b時,等號成立.
2
(3)幾何意義:所有周長一定的矩形中,正方形的面積最大
2、重要不等式:cr+lr>2ab(a,b&R),(當且僅當a=b時取"="號).
3、基本不等式的推論
①?+422力同號);
ab
②2+旦《一2(a力異號);
ab
入2/FT/a+b,a?+b?/八7八、t7//〃+匕、2/a?+62/八7八、
(§)-——j-<yjab<24J——--(a>0,b>0)或"W(■^―)<——--(a>0,b>0)
—I—
ab
【清單03】從函數(shù)觀點看一元二次方程
1、一元二次不等式的相關(guān)概念
(1)定義:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,叫做一元二次不等式
(2)一般形式:a^-\~bx-\-c>0(>0),加+析+?!?(<0),(其中存0,a,b,c均為常數(shù))
2、三個“二次”之間的關(guān)系
判別式/=/一4acJ>0J=0/<0
1L
二次函數(shù)尸加+法+以〃>0)的圖衛(wèi)
象犬|\|^/*2X
有兩個相等的實數(shù)根
一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)
b沒有實數(shù)根
癥+云+。=0(〃>0)的根根Xl,X2(X1<X2)修=電=一五
ax2+Z?x+C>0(Q>0)的角軍集{x\x<Xl,或X>X2})R
a?+bx+c<0(a>0)的解集{X\X1<X<X2)00
型儕單
【考點題型一】利用不等式的性質(zhì)判斷真假
方法總結(jié):不等式的性質(zhì)常與比較大小結(jié)合考查,常用方法有作差法、作商法、介值比較法
1、作差法、作商法是比較兩個實數(shù)(或代數(shù)式)大小的基本方法.
①作差法的步驟:作差、變形、判斷差的符號、得出結(jié)論.
②作商法的步驟:作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論.
2、介值比較法也是比較大小的常用方法,其實質(zhì)是不等式的傳遞性:
若a>6,b>c,則a>c;若a<b,b<c,那么aVc.其中乃是介于a與c之間的值,
此種方法的關(guān)鍵是通過恰當?shù)姆趴s,找出一個比較合適的中介值.
【例1】(23-24高一上?江蘇淮安?月考)(多選)已知實數(shù)。,6滿足a>〃+l,則下列不等關(guān)系一定正確
的是()
A.a>2bB.Q>2/?+1C.a>b-\D.2a>b1-b+\
【答案】ACD
【解析】對于A,(&2+1)-2^=(^-1)2>0,所以。>加+1226,則。>勸,故A正確;
對于B,W+l)-(2b+l)=b2-2b正負無法確定,
取〃=2.5,b=l,貝!J滿足。>〃+1=2,但av2b+l=3,故B錯誤;
對于C,=+(>0,則4>62+1>6-1,故c正確;
對于D,由。>/+1,得2。>262+2,
又因為(2匕2+2)-(匕2一人+i)=62+6+]=(6+g[+:>o,
所以2a>2匕2+2>k-b+1,故D正確.故選:ACD
【變式1-1](23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?月考)(多選)若正實數(shù)灰丫滿足%>兀則下列結(jié)論中正確的有
()
x11
A.xy<y2B.x2>y2C.一>1D.—>-------
yxx-y
【答案】BC
【解析】對于A,xy-y2=y(x-y),因為x>y>0,所以y(x-y)>0,所以孫>;/,故A錯誤;
對于B,由尤>y>0,則x?>y2,故B正確;
對于C,結(jié)合x>y>0,作差可得土一1=土一上=二二1>0,所以±>1,即C正確;
yyyyy
對于D,由已知得x>x-y>0,由不等式性質(zhì)可得!<,,可得D錯誤.故選:BC
xx-y
【變式1-2](23-24高一上?江蘇南京?月考)(多選)十六世紀中葉,英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書
中首先把“=”作為等號使用,后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“〈”和“>”符號,并逐漸被數(shù)學界接受,
不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.則下列選項正確的是()
A.若。>人>0,貝!Jac?〉。。?B.若。<匕<0,貝!
cC]]
C.若a>Z?>0且cvO,則一D.若且一>—j則就<0
abab
【答案】BCD
【解析】對A:若c=0,貝1」比2=92=0,故A錯誤;
對B:由貝1Ja2>a6,ab>b2,即",。匕〉〃,故B正確;
11CC
對C:由a>b>0,貝U=<7T,又cvO,則T>7T,故C正確;
abab
對D:由一>7,則=--—>0,因為〃>>,貝!]/?—々V。,故QZ?VO,故D正確.故選:BCD.
ababab
【變式1-3](23-24高一上.江蘇?月考)(多選)下列說法正確的是()
,cm.ibb+m
A.a>b>0,m>0,貝!J—<-------
aa+m
B.1<〃<3,2vbv7則l<b-a<4
C.a>b>Q,貝!>〃2萬一。02
D.若a,R,貝巾/+廿2|2ab|
【答案】ACD
b+mb_a(b+m)~b(a+m)_m(a-b)
【解析】選項A,又a>b>0,m>。,
a+maa(a+ni)a(a+m)
m(a-b)八.b+mb,十小
A———r>0,???------->-,A正確;
a(a+m)a+ma
選項B,l<a<3^-3<-a<-l,又2vhv7,:.-l<b-a<6,B錯;
時,a—b>0,a3-b3-(a2b-ab2)=(a-b)(a2+ab+b2)-ab(a-b)=(a-b)(a2+b2)>0
所以。3一人3>〃2人一。82,C正確;
a2+b2-\2ab\=\a^+時一2同同=(|a|-|/?|)2>0,
當且僅當時二|可時等號成立,D正確.故選:ACD.
【考點題型二】利用不等式的性質(zhì)證明不等式
方法總結(jié):
1、不等式證明的實質(zhì)是比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)的大小;
2、證明不等式可以利用不等式性質(zhì)證明,也可以用作差比較法證明,利用不等式性質(zhì)證明時,不可省略
條件或跳步推導.
【例2】(23-24高一上.江蘇鎮(zhèn)江?月考)(多選)十六世紀中葉,英國數(shù)學家雷科德在《砥智石》一書中首
先把作為等號使用,后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“v”和“〉”符號,并逐漸被數(shù)學界接受,不等號的
引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若。,6,ccR,則下列命題正確的是()
A.若貝!Jac?〉/?/
B.若a>b>c,貝U」一>---
b—ca—c
C.若a>b,—>—,貝1Jcib>0
ab
D.若a>/?>c,a+b+c=O,貝
【答案】BD
【解析】心。時,若。=0,則有〃/=A2,A選項錯誤;
11a-b_
若a,有所>>0涉一。>0,。-。>0,則屋;一二;=正而0>°,
得丁L>—L,B選項正確;
b—ca—c
若Wb—a<0,若一>不,得-=--->0,所以a/?<0,C選項錯誤;
ababab
若a>b>c,a+6+c=。,則有a>0,c<。,由Z?>c,ab>ac,D選項正確.故選:BD
【變式2-1](23-24高一上.吉林長白.月考)證明不等式:
(1)設(shè)〃>0力>0,求證:a3+b3>ab2+a2b;
(2)設(shè)求證:x2+y2+5>2(2x+y).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
3323223232
【解析】證明:(1)H^ja+b-(ab+^)=^+b-ab-ab=a-ab+b-ab
=〃(片—Z?2)+Z?^Z;2—a2^=(/_/)(〃_"=(Q+Z?)(Q-"J,
因為Q>0,b>0,所以(a+b)(a—Z?)2NO,
所以〃+戶—(用2+片勾之o,所以〃3+03z必2+/);
(2)因為%2+/+5-2(2%+丁)=x2+y2+5-4x-2y=x2-4x+y2-2j+5=(x-2)2+(y-l)2>0,
所以%2+/+5N2(2元+y).
【變式2-2](23-24高一上?河北保定?月考)設(shè)a/ccR,,+b+c=O,abc=l.
(1)證明:ab+bc+ca<0;
(2)若〃>),證明〃3>。3.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析
【解析】(1)證明::(〃+b+c)2=a2+/+c2+2Qb+2ac+2bc=。,
ab+be+cct=-+/+c2).
a,b,c不同時為0,則4+/?2+<:2〉o,ab+bc+ca=——(^a2+Z?2+c2j<0;
(2)—人3=(〃_人)(〃2+〃力+〃2).
2
「Q?+"》+人2=(Q+g。)+-^-/?>0,取等號的條件為a=b=0,
而〃>八???等號無法取得,即4+次7+/=[〃+;6]+/2>0,
又〃>£>,a3—Z?3=(CL—b^(a"+ab+b~^>0,a3>b3-
【變式2-3](23-24高一上.廣東惠州?月考)已知兔糖水中有傷糖(6>a>0),往糖水中加入,"g糖
(切>0),(假設(shè)全部溶解)糖水更甜了.
(1)請將這個事實表示為一個不等式,并證明這個不等式.
⑵利用(1)的結(jié)論證明命題:“若在VABC中。、b、c分別為角A、B、C所對的邊長,貝U
cab?
-----<------H-------”
1+C1+Q1+Z?
【答案】(1):a<產(chǎn)am;證明見解析;(2)證明見解析;
bb+m
【解析】(1)由題可得,£<一
bb+m
aa+mab+am—ab—bm(a—b)m
證明:因為廣b>a>0,m>0,
b+mb(b+m)b(b+m)
m27c7cUK。a+m八aa+m
所以,a-b<0,Z?+m>0,從而丁一^----<0,BnRn—<-----
bb+mbb+m
x1
(2)由三角形三邊關(guān)系,可得a+b>c,而函數(shù)y=4=l-—,為單調(diào)遞增函數(shù),
1+x1+x
c<c+(a+b-c)_a+b_a+b
1+c1+c+(a+b—c)1+a+b1+Q+Z71+a+Z?
aabb
------<----,一----<—
1+a+b1+a1+a+b1+b
,,aaab
故------+-------<---+---
1+Q+Z?1+Q+Z?1+Q1+b
b
所以,—<—+
1+c1+a1+b
【考點題型三】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍
方法總結(jié):利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的一般思路
(1)借助性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進行解答;
(2)借助所給條件整體使用,切不可隨意拆分所給條件;
(3)結(jié)合不等式的傳遞性進行求解.
拓展:已知兩個關(guān)于a/線性關(guān)系的取值范圍,求另一個關(guān)于線性關(guān)系的取值范圍.
根據(jù)條件p<mAa+njy<q,r<m,a+n2bWs確定"4a+n3b(p,q,r,s,zn;,H;,m2,H2,,H3)的取值范圍,
一般采用待定系數(shù)法求解,即令〃73a+%6=,("44+〃也)+〃(牲14+〃2》),然后通過比較系數(shù)建立方程組
求得尢〃的值.
【例3】(23-24高一上?江蘇常州?月考)已知實數(shù)x,y滿足-44x-y4-l,-l<4^-y<5,則9元一y的
取值范圍是()
A.[-7,26]B.[-1,20]C.[4,15]D.[1,15]
【答案】B
【解析】設(shè)9x-y=,w(x-y)+〃(4x-y)=(m+4n)x—(m+ri)y,
5
m+4n=93
1
貝J1nQ,
\m+n=18
in=—
[3
58
所以9尤一y=一§(x—y)+§(4x—y),
x—y<-1,-1<4x—3^<5,
則*卜_y)q,_|w|(4x_y)q,
ss
所以一149x-y=-§(龍一y)+§(4x-y)420,故選:B.
【變式3-1](23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?月考)若實數(shù)滿足:-2<x<l,0<x+y<2,貝口+2y的取值范
圍為()
A.(0,5)B.(-1,6)C.(T9)D.(-2,2)
【答案】B
【解析】由0<x+y<2,得0<2元+2y<4,
由一2<x<l,得一1<一尤<2,而尤+2y=(2x+2y)+(-x),
因此-1<尤+2丁<6,所以無+2y的取值范圍為(一1,6).故選:B
【變式3-2](23-24高一上?江蘇無錫?月考)設(shè)實數(shù)a,6滿足:-3<a+b<5,l<a-b<l,則4a+%的最大
值是________
【答案】22
【解析】由題意不妨設(shè)4a+2〃=帆(。+/?)+〃(4一匕)=(帆+幾)々+(加一九)〃,
Im+n=4fm=3
貝I0,解得i,
\m-n=2[n=1
所以4a+2Z?=3(a+b)+(a—b),
注意至卜。《7,
所以一9<3(a+Z?)<15,—8=—9+l<4〃+2Z?=3(Q+Z?)+(a—b)<15+7=22,
[a+b=5{a=6
所以當且僅當7―即〈押,4a+2b取得最大值22,
\a—b=J=—1
綜上所述:4Q+2)的最大值是22.
【變式3-3](23-24高一上.江蘇常州?月考)(1)已知2<a<6,1<Z?<3,求?!?人取值范圍;
b
(2)已知1<〃+/?K5,-\<a-b<3,求3a-2b的取值范圍.
【答案】(1)a-2b£(-4,4),—,6j;(2)3tz—2Z?e[—2,10]
【解析】(1)因為lvb<3,由不等式的性質(zhì)可得-3v—bv-1,則-6v-2)v-2,
又2<a<6,故—4VQ—2Z?v4.
又一(一<1,2<a<6,故一<一〈6.
3b3b
綜上2bw(-4,4),—e
(2)令3a—2Z?=m(a+Z?)+〃(a—Z?),(/n,〃£R),BP3a—2b={m+n)a+{m—n)b,
1
rcm=—
貝叫m+n=3c,解得7
\m-n=-2J
in=—
I2
則L/(a+b)/,
22、'222''2
所以一3+』<3(a-6)+工(a+6)<”+:,即一243a—26410.
綜上3a-2。e[-2,10]
【考點題型四】利用基本不等式求最值
方法總結(jié):在用基本不等式求函數(shù)的最值時,要滿足三個條件:一正二定三取等.
①一正:各項均為正數(shù);
②二定:含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值;
③三相等:含變數(shù)的各項均相等,取得最值.
【例4】(23-24高一上.江蘇常州?月考)(多選)設(shè)正實數(shù)a,b滿足a+6=l,貝U()
B.而有最小值g
A.—+7有最小值4
ab
19
C.6+樂有最大值&D.ab-\■—b<——
216
【答案】ACD
【解析】A選項,由基本不等式得
當且僅當2即。=6=(時,等號成立,故A正確;
ab2
B選項,由基本不等式得a+b=l22,區(qū),當且僅當。=6=]時,等號成立,
故而wg,即必最大值為:,B錯誤;
C選項,(&+斯)=a+b+2\[ab=1+2\[ab,
由B選項得,瘋W:,故(而+揚『=1+2.<2
故G+仁0,當且僅當。=6=g時,等號成立,
夜+石有最大值及,C正確;
D選項,因為。+6=1,所以。=1一6,其中。<6<1,
2
113999
^ab-\--b=(l-b^b+—b=-b2+—Z7=+——=b——I+—<—,
-卜-"1641616
319
當匕=:時,等號成立,cib+—b<,D正確.故選:ACD
4216
【變式4-1](23-24高一上?江蘇南通?月考)(多選)若a,人均為正數(shù),且滿足2a+b=4,則()
A.川的最大值為2B.++的最小值為4
C.3+1的最小值是4D.1+及的最小值為當
ab5
【答案】ACD
【解析】對于A:a,b均為正數(shù),且滿足2.+人=4,
2a+
2ab<=4,解得必42,當且僅當2a=h=2時取等號,
所以ab的最大值為2,故A正確;
對于B,a>0,b>0,則+=4,當且僅當a=Z?=1時取等號,
2々+。=4,當a=b=l時等式不成立,則等號取不到,
則的最小值不是4,故B不正確;
對于C:a,b均為正數(shù),且滿足2a+b=4,
4ci2〃+Z?aalba.、[/口e、[,ba口口4,口
二.一+—=-----+-=2+-+->2+2J——=4,當且僅當一=不,即〃=87=一時n取等號,
ababab\abab3
4a
所以?+f的最小值是4,故C正確;
ab
對于D:a,b均為正數(shù),且滿足2a+Z?=4,貝ijZ?=4—2a>。,
又a>0,解得0<a<2,
8|216、16
貝1]<?+/=/+(4-24=5a2-16fl+16=5a
當且僅當。=|時取等號,所以/+〃的最小值為1,故D正確.故選:ACD.
【變式4-2](23-24高一上?江蘇?月考)(多選)下列四個命題中,所有假命題為()
A.a+b>2\[ab
19
B.設(shè)x,丫都是正數(shù),若—+—=1,則的最小值是12
xy
、74
C.x-\——N4
x
hn
D.若ab>0,則f之2
ab
【答案】AB
【解析】對A:當”,人為負數(shù)時時,a+bN2寂不成立,故A是假命題;
對B:因為羽)都是正數(shù),所以x+y=(x+y)]—?—I=10H----F—>10+2/——=16,
y)y%'y%
9xy
當且僅當一=上即y=3x=12時取等號,所以尤+y的最小值是16,故B為假命題;
yx
對C:由題意可知無2>0,所以彳2+之馮%2:=4,
xVx
當且僅當爐=:即x=±拒時取等號,故C是真命題;
X
對D:若ab>0,則2>0,f>0,所以2+^22、祖2=2,
abab\ab
當且僅當2=f即a=6時取等號,故D是真命題.故選:AB.
ab
【變式4-3](23-24高一上.江蘇無錫?月考)(多選)下列結(jié)論中,正確的結(jié)論有()
A.函數(shù)y=x+,的最小值是2
X
B.如果尤>0,y>0,x+3y+xy=9,那么孫的最大值為3
2
c.函數(shù)〃無)r+5的最小值為5:
&+42
D.如果a>0,b>0,且----1------=1,那么的最小值為2
。+11+b
【答案】BCD
【解析】對A:當尸-1時,y=-l-l=-2,所以最小值不是2,故A錯誤;
對B:由已知可得9-召=x+3y22^/5^,解得0<^/^4粗,所以。(孫<3,
當且僅當尤=3>時成立,此時孫的最大值為3,故B正確;
對C:函數(shù)f(x)設(shè)《X2+4=t,t>2,
丁=/+1在[2,+8)上單調(diào)遞增,所以t=2時,取最大值g,故C正確;
〃
又寸D:〃+/?=〃+1+Z?+1—2=[(<2+1)+(Z2+1)](-------1-------)—2=1+1—2d---------1-------22,b+1+1_2
。+1Z?+1〃+1b+1a+\b+1'
當且僅當〃=〃時取得最小值為2,故D正確.故選:BCD.
314
【變式4-41(23-24高一上.江蘇南通?月考)已知x〉-三,J>0,且2x+y=2,則^—^+一的最小值
22x+3y
為.
【答案】|9
【解析】因為2x+y=2,所以(2尤+3)+y=5,
11+「^)+41
52x+3y5
N5+23丁19
5-5
當且僅當—"2x+3),即%=一;,y=5時等號成立,
2%+3y33
149
所以e+7的最小值為手
49
【變式4-5】(233高一上?江蘇鹽城?月考)已知正實數(shù)Q滿足x+『5,則不十工行的最小值
為__________
【答案】5
【解析】因為正實數(shù)x,y滿足x+y=g,所以3x+3y=5,
而3x+3y=(x+2y)+(2x+y)=5,
七+/?>=?[七+/?)?+2?。?》+刈
」義14+43+,)+9(》+2,)+9
5x+2y2犬+y
r../]、
=-13+—-----—H...—1>1fl3+2/(2元+?9(尤+21」(13+12)=5,
4(2x+y)9(x+2y}541
當且僅當‘丁=—一"且即%=:y=:時取等,
x+2y2x+y333
故答案為:5.
hn
【變式4-6】⑵3高一上?江蘇南京?月考)已知正數(shù)?!睗M足〃+則丁目的最小值為
3
【答案匕
b—a?______b>—?-a-----b=—?-\-----
【解析】因為〃+2/?之。>0,故〃2b+ca4b+aa+\'
a
b]=1U/+1+11八U1/+1?11_3
又—-----------N2
J5+14.b.44百丁4.
a4-+1,a
aaa
[、_1,
當且僅當Z()=3],即時1等號成立.
4-+1a4
a
故夕盛的最小值為%
【考點題型五】基本不等式恒成立問題
方法總結(jié):不等式恒成立問題的實質(zhì)是已知不等式的解集求不等式中參數(shù)的取值范圍,在滿足條件的情況下
可以把參數(shù)分離出來.常見求解策略是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,即丁2加恒成立0ymin2根;
yVm恒成立oy111ax.但要注意函數(shù)中自變量的取值范圍,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.
41
【例5】(23-24高一上?江蘇徐州?月考)已知正實數(shù)滿足--+—=1,不等式加4,+2b恒成立,則
a+bb+1
實數(shù)機的取值范圍是()
A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8
【答案】D
4+1
【解析】易知a+26+l=(a+b+6+l)[^^+L[=5+^^+^^>5+2/(^)=9,
(a+bb+lja+bb+1ya+bb+1
所以可得a+2Z?N8;
當且僅當巴絲D="即。=4/=2時,等號成立;
a+bb-\-l
依題意需滿足機+所以mW8.故選:D
112
【變式5-1](23-24高一上?江蘇揚州?月考)設(shè)。<根<大,若一+二丁之左恒成立,貝必的最大值為
2m1—2m
()
A.16B.2C.8D.1
【答案】C
【解析】因為?!醇觱',0<2m<1,/.2m+(1-2m)=1,
2
i12222(1-2m)4m..12(1-2m)4m-.
則mt一+-----=(——+-----)[2m+(1-2m)]=---------+----------+4>2j-------------------+4=8o,
m1—2m2m1—2m2m1—2my2m1—2m
當且僅當絲網(wǎng)=/L,即根=!時取得等號,
2mI-2m4
17
由于一+丁丁2左恒成立,故左W8,
m1—2m
即左的最大值為8,故選:C
112
【變式5-2](23-24高一上?江蘇連云港?月考)已知x>0,y>0,且--+-=f,若x+y>/+3利恒成
x+2y3
立,則實數(shù)機的取值范圍是()
A.(-4,6)B.(-3,0)C.(-4,1)D.(1,3)
【答案】C
【解析】因為尤>0,y>。,且17+'=|',
x+2y3
所以2+>42+$++曰』+4+丁+1臼2+2.^~y兄+2、
=6,
x+2y,
vx+2
當且僅當—=——,即y=3,x=l時取等號,
x+2y
所以無+>24,因為x+y+3〃7恒成立,所以“r+3桃<4,
即(根-1)(根+4)<0,解得所以實數(shù)機的取值范圍是(-4,1).故選:C
【變式5-】(23-24高一上?江蘇蘇州?月考)已知x>0,y>0S.4x+y=xy.若x+y>M+8利恒成立,則
實數(shù)機的取值范圍是()
A.1根|根2mB.{耳機4-3}C.{時機21}D.{wz|-9V機<1}
【答案】D
41
【解析】由x>0,y>0,4x+y=孫得:一+-=1,
yx
.-.x+y=(x+y)|-+-|=5+—+^>5+2—.^-9(當且僅當%=3,y=6時取等號),
I〉刈y%\yx
尤+y+8%恒成立,m2+8/77<9,解得:-9<m<1,
即實數(shù)機的取值范圍為{時-故選:D.
【考點題型六】利用基本不等式證明不等式
方法總結(jié):利用基本不等式證明不等式
(1)解題思路:從已知不等式和條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化
為需要證明的問題.
(2)基本方法:利用基本不等式證明不等式時,首先要觀察題中要證明的不等式的形式,若不能直接使用
基本不等式,則考慮利用拆項、配湊等方法對不等式進行變形,使之達到能使用基本不等式的目的;若題
目中還有已知條件,則首先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系,當已知條件中含有“1”時,要注意“1”
的代換.另外,解題中要時刻注意等號能否取到.
【例6】(23-24高一上?江蘇無錫?月考)證明:
“、什7八c――bb+m
(1)右a>10,機>0,求證:—<----;
aa+m
「、升八,八八、十2aba+b
(2)右。>0,%>0,aw%7,求證:----<----.
a+b2
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析
【解析】(1)證明:由a>6>0,m>0得〃一a<0,〃+根>。,
bb+mb(a+m)~a(b+m)m(b-a)
故--------=----------------=--------<0,
aa+ma(a+m)a(a+m)
*2bb+m
所以一<----;
aa+m
(2)證明:由題意a>0,〃>0,awb,故Q+Z?>2A/^,
,,lablabr-ra+blaba+b
故----<—i——vab<-------即----<----
a+b2?2a+b2
【變式6-1](23-24高一上?江蘇宿遷?月考)已知。,。為正數(shù),證明下列不等式成立:
⑴
ab
(2)aH-------23(其中a>1)
a-1
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析
【解析】(1)因為。,6為正數(shù),
所以2+乒=2,當且僅當,=人時取等號,
ab\ab
所以。+晟22
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