2024秋高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用1.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)達標練習含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-第一章導數(shù)及其應用1.3導數(shù)在探討函數(shù)中的應用1.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)A級基礎鞏固一、選擇題1．設a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點，則()A．a(chǎn)<－1 B．a(chǎn)>－1C．a(chǎn)<－eq\f(1,e) D．a(chǎn)>－eq\f(1,e)解析：因為y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，則ex＝－a，所以x＝ln(－a)．又因為x>0，所以－a>1，即a<－1.答案：A2．函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e)上的極大值為()A．－e B．－1C．1－e D．0解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－1.令f′(x)＝0，得x＝1.當x∈(0，1)時，f′(x)>0，當x∈(1，e)時，f′(x)<0，故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.答案：B3．設函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則()A．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點B．x＝eq\f(1,2)為f(x)的微小值點C．x＝2為f(x)的極大值點D．x＝2為f(x)的微小值點解析：由f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(1,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x)))＝0可得x＝2.當0<x<2時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x>2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．故x＝2為f(x)的微小值點．答案：D4．若函數(shù)f(x)＝ax－lnx在x＝eq\f(\r(2),2)處取得極值，則實數(shù)a的值為()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2),2)C．2 D.eq\f(1,2)解析：f′(x)＝a－eq\f(1,x)，因為f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝0，即a－eq\f(1,\f(\r(2),2))＝0，解得a＝eq\r(2).答案：A5．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的極大值點和微小值點都在區(qū)間(－1，1)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0，2]B．(0，2)C．[eq\r(3)，2)D．(eq\r(3)，2)解析：由題意可知f′(x)＝0的兩個不同解都在區(qū)間(－1，1)內(nèi)．因為f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以依據(jù)導函數(shù)圖象可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（2a）2－4×3×1>0，,－1<\f(－2a,6)<1，,f′（－1）＝3－2a＋1>0，,f′（1）＝3＋2a＋1>0，))又a>0，解得eq\r(3)<a<2.故選D.答案：D二、填空題6．函數(shù)f(x)＝x＋2cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的極大值點為________．解析：f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0得x＝eq\f(π,6).當0＜x＜eq\f(π,6)時，f′(x)＞0；當eq\f(π,6)＜x＜eq\f(π,2)時，f′(x)＜0.所以當x＝eq\f(π,6)時，f(x)有極大值．答案：eq\f(π,6)7．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得微小值．解析：由f(x)＝x3－3x2＋1，得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．當x∈(0，2)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當x∈(－∞，0)和(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．故當x＝2時，函數(shù)f(x)取得微小值．答案：28．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既無極大值又無微小值，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因為函數(shù)f(x)既有無大值又有無小值，所以Δ＝36a2－36(a＋2)≤0，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.答案：[－1，2]三、解答題9．求下列函數(shù)的極值；(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)－2.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘微小值↗從表中可以看出，當x＝－2時，函數(shù)取得極大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；當x＝2時，函數(shù)f(x)取得微小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.(2)f′(x)＝eq\f(2（x2＋1）－2x·2x,（x2＋1）2)＝eq\f(2（1－x2）,（x2＋1）2)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1，當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘微小值↗極大值↘當x＝－1時，f(x)取得微小值，并且f(－1)＝eq\f(－2,1＋1)－2＝－3；當x＝1時，f(x)取得極大值，并且f(1)＝eq\f(2,1＋1)－2＝－1.10．若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋2，當x＝1時，函數(shù)f(x)取極值0.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若關于x的方程f(x)＝k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍．解：(1)由題意可知f′(x)＝3ax2－b.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝0，,f′（1）＝0，))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故所求的函數(shù)解析式為f(x)＝x3－3x＋2.(2)由(1)可知f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1，當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值4↘微小值0↗因此，當x＝－1時，f(x)有極大值4，當x＝1時，f(x)有微小值0，故實數(shù)k的取值范圍為(0，4)．B級實力提升1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(2b＋1)x2＋b(b＋1)x在(0，2)內(nèi)有微小值，則()A．0＜b＜1 B．0＜b＜2C．－1＜b＜1 D．－1＜b＜2解析：f′(x)＝x2－(2b＋1)x＋b(b＋1)＝(x－b)[x－(b＋1)]，令f′(x)＝0，則x＝b或x＝b＋1，x＝b＋1是微小值點，所以0＜b＋1＜2，得－1＜b＜1.答案：C2．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過點(1，0)，(2，0)，如圖所示，則下列說法中不正確的序號是________(填序號)．①當x＝eq\f(3,2)時，函數(shù)取得微小值；②f(x)有兩個極值點；③當x＝2時，函數(shù)取得微小值；④當x＝1時，函數(shù)取得極大值．解析：由題可知，當x∈(－∞，1)時，f′(x)>0；當x∈(1，2)時，f′(x)<0；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，所以f(x)有兩個極值點，分別為1和2，且當x＝2時函數(shù)取得微小值，當x＝1時函數(shù)值取得極大值．只有①不正確．答案：①3．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)探討f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.從而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－