平面向量知識點(diǎn)總結(jié)

#必修四平面向量一、向量的相關(guān)概念：1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量注意：1。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.2、向量的表示方法：幾何表示法：①用有向線段表示；②用字母3、b等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB；坐標(biāo)表示法：a=xi+yj=（x,y）.3、向量的模：向量AB的大小一一長度稱為向量的模，記作|AB|.4、特殊的向量：①長度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是任意的,②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.5、相反向量：與a長度相同、方向相反的向量.記作-a6、相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a與b相等，記作a=a；7、平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a//a.平行向量也稱為共線向量.規(guī)定零向量與任意向量平行。8、兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量a與a，作OA=a,ob=a，則/AOB=。（0<6"兀）叫a與a的夾角.兀說明：（1）當(dāng)6=0時，a與b同向；（2）當(dāng)0=兀時，a與a反向；（3）當(dāng)6=方時，a與b垂直，記a±a；規(guī)定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的*范圍0OW6W180。9、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量a的積是一個向量，記作九方，它的長度與方向規(guī)定如下：(II)當(dāng)九,0時，九日的方向與日的方向相同；當(dāng)九＜0時，九日的方向與日的方向相反；當(dāng)x=0時，入方=0，方向是任意的10、兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量o與°，它們的夾角為e，則0-0=|01-?01cos0叫做0與0的數(shù)量積(或內(nèi)積)規(guī)定°-°=0二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：0,久是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2一向量，有且僅有一對實(shí)數(shù)\,七,使0八0+入e1 2 11 22.平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與了軸、j軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底?任作一個向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)了、j，使得—> ―?a=xi+jj我們把(x,j)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作其中X叫做a在X軸上的坐標(biāo)，j叫做a在j軸上的坐標(biāo)，②式叫做向量的坐標(biāo)表示.與a相等的向量的坐標(biāo)也為(X,j)?? ??????????特別地，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).(2)若A(x,j),B(x,j)，則AB=(x—x,j—j)1 1 2 2 2 1 2 1一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).2、兩個向量平行的充要條件向量共線定理：向量方與非零向量日共線的充要條件是：有且只有一個非零實(shí)數(shù)入，使3=九乙TOC\o"1-5"\h\z設(shè)a=(X,y),3=(X,y)，則日//芯02=入?yún)^(qū)o%y—%y=01 1 2 2 12 213、兩個向量垂直的充要條件設(shè)a=(x,y),a=(x,y)，貝Ua，a0a刃=0oxx+yy=01’1 2’2 12 124、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式(1)設(shè)a=(x,y)，則Ia|2=x2+y2或|a1=t％2+y2.也稱a的模。-a(2)如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x,y)、B(x,y)，那么1 1 2 2IABI=&-x1+(y-、］(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)1 2 1 25、兩向量夾角的余弦(o<o<k) cos0=a?)=Xj2+\y2IaI?IaI\X2+y2+、：X2+y21 1 2 2三、向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量(內(nèi)積)及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)a=(x,y),b=(x,y)11 22運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法.平行四邊形法則.三角形法則(首尾相接，首尾連)a+a=(x+x,y+y)1212a+b=bb+a(a+a)+c=a+(a+c)Ab+bc=ac向量的減法三角形法則(首首相接，尾尾相連，指向被減)a-1--(x-x,y-y)1212a-b=a+(-b)AB--BA而-CA-Ab

向量的乘法實(shí)數(shù)人與向量￡的積是一個向量，記作：九a(1)入a=閃日(2)九,0時，九a與a同向；當(dāng)x<0時，九a與a異向；一6 -一r、aa 、…，.k~a=(Xx,ky)九(日3)=(k^)b6+日)b='b+日b入(b+b)=Xb+入力b//b0b=xb當(dāng)人=0里,八a=0。任意方向.a-E=IaI-1bIcos0,b-b=b-b(九b)-b=b-(九b)=X(b-b)向量的(0<0<k),1.a=0或b=0時，a-b=xx+yy12 12向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a-a等于a的(b+b)-b=b-b+b-b一一2一; IaI2=a或Ia1=、:x2+y2數(shù)量積a7=02.a手0且b中0時，長度與b在a方向上投影1bI-cos0的乘積.ib-bi<b11b1b±b0b-b=0ai^=iaIIaIcos<a,b>△ b-bCOS0一ibi-1bi特別注意：(1)結(jié)合律不成立:a-(萬/)中(a.萬)-c；(2)消去律不成立a.C=a-c不能得到a=c(3)a%=0不能得到a=0或b=0乘法公式成立：TOC\o"1-5"\h\z2 2-(a+b)(a一b)=a一b=1a|2一|bI2-2 2-(a±b)2=a±2a-b+b=IaI2±2a-b+1bI2線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)點(diǎn)P分有向線段PP所成的比為入，即PP=入PP,則12 1 2

x+入X11,九2,1+. （線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式）y+-y—.1人1當(dāng)入=1時，得中點(diǎn)公式：0P=—(op+op)或＜X+XX= 22y+yy=—i 22正弦定理其中R表示三角形的外接圓半徑）:(1)sinAsinBsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCab.sinA=——,sinAB=——,sin2R 2R余弦定理C二親(1)b2=a2+c2-2accosB(2)(3)b2+c2—a2cosA= 2bc面積公式S=a,h