平面向量的數(shù)量積(原卷版)

考點(diǎn)36平面向量的數(shù)量積

在考點(diǎn)詳解【命題解讀】平面向量是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常以平面圖形為載體，考查線性運(yùn)算、數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題.【基礎(chǔ)知識回顧】TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".向量的夾角 ..(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b,如圖所示，作OA=a,OB=b，貝U ；JZAOB=e(0°WeW180°)叫做向量a與b的夾角，記作〈a,b〉. l.(2)范圍：夾角e的范圍是[0,n].當(dāng)e=0時(shí)，兩向量a,b共線且同向；當(dāng)e=2時(shí)，兩向量a,b相互垂直，記作a，b；當(dāng)e=n時(shí)，兩向量a,b共線但反向..平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b,我們把數(shù)量間|b|cose叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab即a-b=|a||b|-cose,其中e是a與b的夾角.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零..平面向量數(shù)量積的幾何意義一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影設(shè)e是a,b的夾角，則|b|cose叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cose叫做向量a在向量b的方向上的投影.(2)a-b的幾何意義數(shù)量積a-b等于a的長度間與b在a的方向上的投影|b|cose的乘積..向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a?b=b?a.(2)數(shù)乘結(jié)合律:(.a)-b=丸(a?b)=a?(彳b).(3)分配律：(a+b>c=a-c+b-c向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a?b)-c不一定等于a-(b?c),這是由于(a^>c表示一'個(gè)與c共線的向量，aqbc)表示一'個(gè)與a共線的向量，而c與a不一'定共線..平面向量數(shù)量積的性質(zhì)e是與b同向的單位向量，ee是與b同向的單位向量，e是a與e的夾角，則(1)e-a=a-e=|a|cos3.(2)aXbOa?b=0.(3)當(dāng)@與6同向時(shí)，@?6=忖|必|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=—|a||b|.特別地，a?a=|a1或|a|=\'aa.0_L(4)C0S3-Ia||b「(5)|a?b|W|a||b|..平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量a=（xjy1）,b=（x2,y2）,3為a與b的夾角，則,xx2+y1y252+y2小2+y2.(1)|a|=，2+,xx2+y1y252+y2小2+y2.(3)a±bOx1x2+y1y2=0;_(4)cos3—心熱.訓(xùn)練TOC\o"1-5"\h\z1、已知貌—（2,3）,AC=（3,t）,|BC|=1,則成?BC等于（ ）A?—3B?—2C.2D,3.已知非零向量a,b的夾角為60°,且|b|=1,|2a—b|=1,則|a|=（ ）A.1 B.1 C.--'2 D.23、（2021?山東泰安市?高三其他模擬）已知向量a=（九,1）,a—b=（0,4）,a±b,則a—b在a方向上的投影為（）A.22 B.2 C.<3 D.<54、（2021?山東濟(jì)寧市?高三二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M（，工一1）和點(diǎn)N（0,1）.若點(diǎn)P在NMON的角平分線上，且|Op|=4,則OP.MN=（ ）A.-2 B.-6 C?2 D.65、（多選題）設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量.則下列命題為假命題的是（ ）A.若|a+b|=|a|一|b|,則Ua口bB,若a口b,則|a+b|=|a|一|b|C若|a+b|=|a|—|b|,則存在實(shí)數(shù)C使得b=2aD.若存在實(shí)數(shù)C使得b=Ca,則|a+b|=|a|—|b|6、（多選題）設(shè)a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中的真命題是（ ）（a-b）c—（c-a）b=0|a|—|b|V|a—b|（b?c）a—（a?c）b不與c垂直（3a+2b>（3a—2b）=9|a|2一4|b|27、已知i,j為互相垂直的單位向量，a=i—2j,b=i+才，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為8、已知點(diǎn)A,B,C滿足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB?BC+BC?CA+CA加的值是建典,剖析考向一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算例1、（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB〃DC,AB=2,BC=1,ZABC=60。，點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且BE=3BC,DF=6DC，則AE?#的值為.（2）.已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則DE?CB的值為；DE?DC的最大值為.變式1、如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,CD=2,/BAD=今若AB?AC=2AB'AD，則AD'AC=.變式2、（2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期中）已知向量Z,b滿足〃=3,b=2,a+b=4，則a-b變式3、在4ABC中，已知AB=1，AC=2，NA=60°，若點(diǎn)P滿足AP=AB+九AC，且B>-CP=1，則實(shí)數(shù)九的值為方法總結(jié)：1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用|a|=\aa及（a±b）2=|a|2±2a-b+|b⑵把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；（2）幾何法，利用向量的幾何意義.2.求向量模的最值（范圍）的方法：（1）代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法），弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點(diǎn)表示的圖形求解.考向二 平面向量的夾角問題例2、（2020例2、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知向量a，b滿足〃=1T3,則a與b的夾角為（）兀A.一6兀B.一3兀A.一6兀B.一32兀C.—3變式1、（2021?山東日照市?高三二模）已知a兀A.—6兀B.42兀C,T，向量a與b的夾角為（5兀D.—變式2、（2021?山東濟(jì)南市?高三一模）已知單位向量a,b,C，滿足a+b+c=0，貝IJa與b的夾角為（兀A.—6兀兀A.—6兀B.32兀C,T5兀D.—6變式3、（2019春?泉州期末）AABC中，AB=c,BC=d,CA=b，在下列命題中，是真命題的有（A．若最b>,，則AA．若最b>,，則AABC為銳角三角形B．若石“=0.則AABC為直角三角形C．若孱。=鼻。，則AABC為等腰三角形D．若(a+c-by(5+Z?-c)=0，則AABCD．變式4、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）若|a|=1,1b|=#且|a-2b=77，則向量a與向量bQa+b)1b，則a與b的夾角的大小是變式5、（2020?Qa+b)1b，則a與b的夾角為變式6、已知同=4,|〃|=3,(2a—3b)?(2a+b)=61.（1）求a與b的夾角出(2)求|a+b|；(3)若AB=a,BC=b，求^ABC的面積.方法總結(jié)：求向量的夾角，有兩種方法：⑴定義法：當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角什，需求出a?b及|a|,|b|或得出它們之間的關(guān)

系，由cos什=向西求得?TOC\o"1-5"\h\z⑵公式法：若已知a=(X1, y1)與 b=(X2, y2),則cos〈a, b〉= 乂/2+y1y2 ,〈a,b)e[0, n].11 \x1+y"x2十y2考向三、平面向量中的垂直例1、(2021?山東日照市?高三其他模擬)已知向量a=⑵D,b=(0,m),c=(2,4),且(a—b)1C,則實(shí)數(shù)m的值為( )A.4 B.3 C.2 D.1變式1、(2019秋?南通期末)在AABC中，AB=(2,3),AC=(1,k),若AABC是直角三角形，則k的值可以是()A.-1變式2、(2019?黑龍江省齊齊哈爾市一中模擬A.-1變式2、(2019?黑龍江省齊齊哈爾市一中模擬)已知向量|—才|=32|—百|(zhì)=2,—2=m—%+nO,若—才與—才的夾角為60°,且—2±―2,則實(shí)數(shù)m的值為()TOC\o"1-5"\h\z1A.6 B.4C.6 D.4變式3、[2018?連云港期中]已知向量a=(1，2sin。)，b=(sin(0+n^)，1)，。￡R.(1)若a±b，求tan。的值；(2)若a〃b，且0￡(0，9)，求0的值乙方法總結(jié)：平面向量的垂直問題,有兩個(gè)類型：(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問題若證明兩個(gè)向量垂直,先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可。(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系,求解相關(guān)參數(shù)的值。/優(yōu)化提升?實(shí)戰(zhàn)演練A．C．31——351735B．D．19——3519352、【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知非零向量。A．C．31——351735B．D．19——3519352、【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知非零向量。,b滿足IaI=2IbI，且（a—b）1b，則。與b的夾角為A.—6C23、【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1,則通?BC=A．-3B．-24、C．2D．3【2018年高考全國II卷理數(shù)】已知向量a,b滿足IaI=1,a?b=-1,則a?（2a-b）=A．4B．3C．2D．05、【2018年高考浙江卷】已知a,b,e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為3，向量b滿足b2-4e?b+3=0,貝Ija-bI的最小值是A,<3-1 B.<3+1C,2 D,2-<36、【2018年高考天津卷理數(shù)】如圖，在平面四邊形ABCD中，AB1BC,AD1CD，/BAD=120。，AB=AD=1,若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則荏?BE的最小值為A,2116B,C,2516D,3a?b=-6，貝Ucos：a,a+b.=1、【2020年高考全國III卷理數(shù)】已知向量。,b滿足?a?b=-6，貝Ucos