第19章 相似形-假期晉級(jí)利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（原卷版）

第19章相似形【知識(shí)銜接】————初中知識(shí)回顧————相似三角形的判定(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(AAA)．如圖，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF．(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．如圖，若∠A＝∠D，，則△ABC∽△DEF．(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．如圖，若，則△ABC∽△DEF．相似三角形的性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．————高中知識(shí)鏈接————1．(1)相似三角形的判定主要是依據(jù)三個(gè)判定定理，結(jié)合定理創(chuàng)造條件建立對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的關(guān)系．(2)注意輔助線的添加，多數(shù)作平行線．(3)相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用可用來(lái)考查與相似三角形相關(guān)的元素，如兩個(gè)三角形的高、周長(zhǎng)、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內(nèi)切圓的面積等．2．涉及與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實(shí)際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1、已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊BC上，且∠BEF=∠BAC．（1）求證：△AED∽△CFE；學(xué)科-網(wǎng)（2）當(dāng)EF∥DC時(shí)，求證：AE=DE．2、某一天，小明和小亮來(lái)到一河邊，想用平面鏡和皮尺測(cè)量這條河的大致寬度，兩人在確保無(wú)安全隱患的情況下，現(xiàn)在河岸邊選擇了一點(diǎn)C（點(diǎn)C與河對(duì)岸岸邊上的一棵樹的底部點(diǎn)B所確定的直線垂直于河岸）．小明到F點(diǎn)時(shí)正好在平面鏡中看到樹尖A，小亮在點(diǎn)D放置平面鏡，小亮到H點(diǎn)時(shí)正好在平面鏡中看到樹尖A，且F、D、H均在BC的延長(zhǎng)線上，小明的眼睛距地面的高度EF=1．5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1．6m，測(cè)得CF=1m，DH=2m，CD=8．4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根據(jù)以上測(cè)量過程及測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出河寬BC是多少米？3、在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)P在邊CD上，tan∠PBC=，點(diǎn)Q是在射線BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AB的平行線交射線AD于點(diǎn)M，點(diǎn)R在射線AD上，使RQ始終與直線BP垂直．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；（2）如圖2，試探索：的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)說明你的理由；若沒有變化，請(qǐng)求出它的比值；（3）如圖3，若點(diǎn)Q在線段BP上，設(shè)PQ=x，RM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．高中經(jīng)典題型1．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在上且，與交于點(diǎn)，則．2．如圖，在中，作平行于的直線交于，交于，如果和相交于點(diǎn)，和相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線和相交于．證明：（1）；（2）．3．過圓外一點(diǎn)，作圓的切線、，、為切點(diǎn)，為弦上一點(diǎn)，過作直線分別交、于點(diǎn)、．（Ⅰ）若，求線段的長(zhǎng)；（Ⅱ）若，求證：．4．如圖，為圓的直徑，為圓的切線，點(diǎn)為圓上不同于的一點(diǎn)，為的平分線，且分別與交于，與圓交于，與交于，連接．（1）求證：平分；（2）求證：5．如圖所示，以直角三角形的斜邊為直徑作外接圓，為圓上任一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作邊上的高，過點(diǎn)作圓的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：；學(xué)科*網(wǎng)（2）若，求的長(zhǎng)．6．在中，AB=AC，過點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：；（2）若，求的值．7．如圖，為四邊形外接圓的切線，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組1．已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從B、A兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA、AC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AP=2AQ？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形？（3）作DQ∥AB交BC于點(diǎn)D，連接PD，當(dāng)t為何值，△BDP∽△PDQ？2．如圖，小華在晚上由路燈AC走向路燈BD．當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部；當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知小華的身高是1．6m，兩個(gè)路燈的高度都是9．6m，且AP=QB．（1）求兩個(gè)路燈之間的距離；（2）當(dāng)小華走到路燈BD的底部時(shí)，他在路燈AC下的影長(zhǎng)是多少？3．如圖1，∠BAC的余切值為2，AB=2，點(diǎn)D是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的正方形DEFG的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F都在射線AC上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，聯(lián)結(jié)BG，并延長(zhǎng)BG，交射線EC于點(diǎn)P．（1）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列的線段和角中，④⑤是始終保持不變的量（填序號(hào)）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，線段AP的長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）如果△PFG與△AFG相似，但面積不相等，求此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．如圖，與相交于點(diǎn)，過作的平行線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，已知，，則____．2．在直角三角形ABC中，，它的內(nèi)切圓分別與邊，，相切于點(diǎn)，，，聯(lián)結(jié)，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，，，已知，求證：（1）；（2）。3．如圖，在ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D為垂足，E是BC的中點(diǎn)．求證：∠EDC=∠ABD．4．如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點(diǎn)重合），且DE=DG，過D點(diǎn)作DF⊥CE，垂足為F．（Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCG