專題06 分式與分式方程【考點鞏固】（解析版）

專題06分式與分式方程（時間：60分鐘，滿分100分）一、選擇題（每題3分，共30分）1．下列關于x的方程：①，②，③，④中，分式方程有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據分式方程的定義：分母里含有未知量的方程叫做分式方程進行判斷【詳解】解：關于x的方程①，方程分母中不含未知數，不是分式方程．關于x的方程②，方程分母含有未知數，是分式方程．關于x的方程③，方程分母中含有未知數，是分式方程．關于x的方程④中，方程分母中不含未知數，不是分式方程．綜上，是分式方程的有②、③，共2個．故選C．2．（2021·廣東禪城·八年級期末）分式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x＞﹣1【答案】B【分析】直接利用分式有意義的條件是分母不等于零，進而得出答案．【詳解】解：∵分式在實數范圍內有意義，∴x+1≠0，解得：x≠﹣1．故選：B．3．（2021·安徽阜南·七年級期末）當分式的值為0時，x的值為（）A．0 B．2 C．0或2 D．【答案】A【分析】直接利用分式的值為零的條件，即分子為零，分母不為零，進而得出答案．【詳解】解：∵分式值為0，∴2x＝0，，解得：x＝0．故選：A．4．（2021·浙江七年級期末）不改變分式的值，下列式子變形正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分式的分子分母乘以10化簡即可得到結果．【詳解】解：==，故選：D．5．（2022·海南）分式方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】按照解分式方程的步驟解答即可．【詳解】解：2-（x-1）=02-x+1=0-x=-3x=3檢驗，當x=3時，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．故答案為C．6．（2022·四川眉山）化簡的結果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據分式的混合運算法則計算即可．【詳解】解：．故選：B7．（2022·黑龍江綏化）有一個容積為24的圓柱形的空油罐，用一根細油管向油罐內注油，當注油量達到該油罐容積的一半時，改用一根口徑為細油管口徑2倍的粗油管向油罐注油，直至注滿，注滿油的全過程共用30分鐘，設細油管的注油速度為每分鐘x，由題意列方程，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由粗油管口徑是細油管的2倍，可知粗油管注水速度是細油管的4倍．可設細油管的注油速度為每分鐘，粗油管的注油速度為每分鐘，繼而可得方程，解方程即可求得答案．【詳解】解：∵細油管的注油速度為每分鐘，∴粗油管的注油速度為每分鐘，∴．故選：A．8．（2022·四川南充）已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將分式進件化簡為，然后利用完全平方公式得出，，代入計算即可得出結果．【詳解】解：，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∴原式=，故選：B．9．（2022·黑龍江）已知關于x的分式方程的解是正數，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】先將分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解，根據分式方程的解為正數得到且，即可求解．【詳解】方程兩邊同時乘以，得，解得，關于x的分式方程的解是正數，，且，即且，且，故選：C．10.關于的分式方程有增根，則的值為（）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】解出分式方程的根x=m-1，分式方程的增根為x=2，所以m-1=2，求得m的值．【詳解】解：方程兩邊都乘以（x-2）得：m-3=x-2，解得：x=m-1，∵方程有增根，∴x-2=0，∴x=2，∴m-1=2，∴m=3．故選：A．二、填空題（每題4分，共24分）11．（2022·黑龍江哈爾濱）在函數中，自變量x的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據分式中分母不能等于零，列出不等式，計算出自變量x的范圍即可．【詳解】根據題意得：∴∴故答案為：12．（2022·湖南郴州）若，則________．【答案】【分析】由分式的運算法則進行計算，即可得到答案．【詳解】解：，；故答案為：．13．（2022·北京）方程的解為___________．【答案】x=5【分析】觀察可得最簡公分母是x(x+5)，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解，再進行檢驗即可得解．【詳解】解：方程的兩邊同乘x(x+5),得：2x=x+5,解得：x=5,經檢驗：把x=5代入x(x+5)=50≠0.故原方程的解為：x=514．（2022·山東威海）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是_____．【答案】1【分析】根據程序分析即可求解．【詳解】解：∵輸出y的值是2，∴上一步計算為或解得（經檢驗，是原方程的解），或當符合程序判斷條件，不符合程序判斷條件故答案為：115.已知關于x的分式方程的解是非負數，則m的取值范圍是________．【答案】且【分析】先由題意求出分式方程的解，再由解是非負數和分母不為0，列出不等式組，解出即可得到答案．【詳解】解：，去分母得：，，，解得：且，故答案為：且．16．（2022·黑龍江牡丹江）某玩具廠生產一種玩具，甲車間計劃生產500個，乙車間計劃生產400個，甲車間每天比乙車間多生產10個，兩車間同時開始生產且同時完成任務．設乙車間每天生產個，可列方程為___________．【答案】【分析】設乙車間每天生產x個，根據甲車間計劃生產500個，乙車間計劃生產400個，甲車間每天比乙車間多生產10個，兩車間同時開始生產且同時完成任務可列出方程．【詳解】解：設乙車間每天生產x個，則．故答案為：．三、簡答題（46分）17．（6分）（2022·江蘇宿遷）解方程：．【答案】x＝﹣1【分析】根據解分式方程的步驟，先去分母化為整式方程，再求出方程的解，最后進行檢驗即可．【詳解】解：，2x＝x﹣2+1，x＝﹣1，經檢驗x＝﹣1是原方程的解，則原方程的解是x＝﹣1．18．（6分）（2022·黑龍江牡丹江）先化簡，再求值：，在﹣2，0，1，2四個數中選一個合適的代入求值．【答案】，10．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x=1代入計算即可求出值．【詳解】解：原式===2(x+4)=2x+8當-2，0，2時，分式無意義當x=1時，原式=10．19．（6分）（2022·貴州銅仁）科學規(guī)范戴口罩是阻斷遵守病毒傳播的有效措施之一，某口罩生產廠家接到一公司的訂單，生產一段時間后，還剩280萬個口罩未生產，廠家因更換設備，生產效率比更換設備前提高了40%．結果剛好提前2天完成訂單任務．求該廠家更換設備前和更換設備后每天各生產多少萬個口罩？【答案】該廠家更換設備前每天生產口罩40萬只，更換設備后每天生產口罩56萬只．【分析】設該廠家更換設備前每天生產口罩x萬只，則該廠家更換設備后每天生產口罩（1+40%）x萬只，利用工作時間=工作總量÷工作效率，結合提前2天完成訂單任務，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【詳解】解：設該廠家更換設備前每天生產口罩x萬只，則該廠家更換設備后每天生產口罩（1+40%）x萬只，依題意得：，解得：x=40，經檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意．答：該廠家更換設備前每天生產口罩40萬只，更換設備后每天生產口罩56萬只．20．（8分）（2022·廣西貴港）為了加強學生的體育鍛煉，某班計劃購買部分繩子和實心球，已知每條繩子的價格比每個實心球的價格少23元，且84元購買繩子的數量與360元購買實心球的數量相同．（1）繩子和實心球的單價各是多少元？（2）)如果本次購買的總費用為510元，且購買繩子的數量是實心球數量的3倍，那么購買繩子和實心球的數量各是多少？【答案】(1)繩子的單價為7元，實心球的單價為30元(2)購買繩子的數量為30條，購買實心球的數量為10個【分析】（1）設繩子的單價為x元，則實心球的單價為元，根據“84元購買繩子的數量與360元購買實心球的數量相同”列出分式方程，解分式方程即可解題；（2）根據“總費用為510元，且購買繩子的數量是實心球數量的3倍”列出一元一次方程即可解題．【詳解】(1)解：設繩子的單價為x元，則實心球的單價為元，根據題意，得：，解分式方程，得：，經檢驗可知是所列方程的解，且滿足實際意義，∴，答：繩子的單價為7元，實心球的單價為30元．(2)設購買實心球的數量為m個，則購買繩子的數量為條，根據題意，得：，解得∴答：購買繩子的數量為30條，購買實心球的數量為10個．21．（8分）（2022·廣西桂林）今年，某市舉辦了一屆主題為“強國復興有我”的中小學課本劇比賽．某隊伍為參賽需租用一批服裝，經了解，在甲商店租用服裝比在乙商店租用服裝每套多10元，用500元在甲商店租用服裝的數量與用400元在乙商店租用服裝的數量相等．（1）求在甲，乙兩個商店租用的服裝每套各多少元？（2）若租用10套以上服裝，甲商店給以每套九折優(yōu)惠．該參賽隊伍準備租用20套服裝，請問在哪家商店租用服裝的費用較少，并說明理由．【答案】(1)甲，乙兩個商店租用的服裝每套各50元，40元(2)乙商店租用服裝的費用較少，理由見解析【分析】（1）解：設乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套（x+10）元，由題意列，解分式方程并檢驗即可得出答案．（2）分別計算甲、乙商店的費用，比較大小即可得出答案．【詳解】(1)解：設乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套（x+10）元，由題意可得：，解得：x＝40，經檢驗，x＝40是該分式方程的解，并符合題意，∴x+10＝50，∴甲，乙兩個商店租用的服裝每套各50元，40元．(2)解：乙商店租用服裝的費用較少．理由如下：該參賽隊伍準備租用20套服裝時，甲商店的費用為：50×20×0.9＝900（元），乙商店的費用為：40×20＝800（元），∵900＞800，∴乙商店租用服裝的費用較少．22．（12分）（2022·湖南懷化）去年防洪期間，某部門從超市購買了一批數量相等的雨衣（單位：件）和雨鞋（單位：雙），其中購買雨衣用了400元，購買雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每雙雨鞋貴5元．（1）求每件雨衣和每雙雨鞋各多少元？（2）為支持今年防洪工作，該超市今年的雨衣和雨鞋單價在去年的基礎上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一雙雨鞋為一套）優(yōu)惠銷售．優(yōu)惠方案為：若一次購買不超過5套，則每套打九折：若一次購買超過5套，則前5套打九折，超過部分每套打八折．設今年該部門購買了a套，購買費用為W元，請寫出W關于a的函數關系式．（3）在（2）的情況下，今年該部門購買費用不超過320元時最多可購買多少套？【答案】(1)每件雨衣元，每雙雨鞋元(2)(3)最多可購買套【分析】（1）根據題意，設