2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2.2第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(六)組合的綜合應(yīng)用(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．一個(gè)口袋中裝有大小相同的6個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中取2個(gè)球，則這2個(gè)球同色的不同取法有()A．27種B．24種C．21種D．18種C[分兩類：一類是2個(gè)白球有Ceq\o\al(2,6)＝15種取法，另一類是2個(gè)黑球有Ceq\o\al(2,4)＝6種取法，所以共有15＋6＝21種取法．]2．某探討性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問卷調(diào)查活動須要選擇3名同學(xué)參與，其中至少一名女生，則不同的選法種數(shù)為()A．120 B．84C．52 D．48C[間接法：Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)＝52種．]3．若將9名會員分成三組探討問題，每組3人，共有不同的分組方法種數(shù)有()A．Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6) B．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)C.eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3)) D．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)C[由于三組之間沒有區(qū)分，且是平均分組，故共有eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))，故選C.]4．某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參與競賽，則不同的選派方法共有()A．56種 B．68種C．74種 D．92種D[依據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,6)種，有一個(gè)“多面手”的選派方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,5)種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)種，即共有20＋60＋12＝92種不同的選派方法．]5．將5名實(shí)習(xí)老師安排到高一年級的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1人，最多2人，則不同的安排方案有()A．30種 B．90種C．180種 D．270種B[先將5名老師分成3組，有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),2)＝15種分法，再將3組安排到3個(gè)不同班級有Aeq\o\al(3,3)＝6種分法，故共有15×6＝90種方案．]二、填空題6．在直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有________個(gè)．225[在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個(gè)矩形，所以矩形總數(shù)為Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225個(gè)．]7．計(jì)算：Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝________.165[Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝Ceq\o\al(3,11)＝eq\f(11×10×9,3×2)＝165.]8．將標(biāo)號為1,2，…，10的10個(gè)球放入標(biāo)號為1,2，…，10的10個(gè)盒子內(nèi)．每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一樣的放入方法共有________種．(以數(shù)字作答)240[從10個(gè)球中任取3個(gè)，有Ceq\o\al(3,10)種方法．取出的3個(gè)球與其所在盒子的標(biāo)號不一樣的方法有2種．∴共有2Ceq\o\al(3,10)種方法．即240種．]三、解答題9．依據(jù)下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子；(2)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；(3)6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球．[解](1)每個(gè)小球都有4種放法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有46＝4096種不同放法．(2)分兩類：第1類，6個(gè)小球分3,1,1,1放入盒中；第2類，6個(gè)小球分2,2,1,1放入盒中，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)＝1560(種)不同放法．(3)法一：按3,1,1,1放入有Ceq\o\al(1,4)種方法，按2,2,1,1放入有Ceq\o\al(2,4)種方法，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(種)不同放法．法二：(擋板法)在6個(gè)球之間的5個(gè)空中插入三個(gè)擋板，將6個(gè)球分成四份，共有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)不同放法．10．已知平面α∥平面β，在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)．(1)過這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同的平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？(3)(2)中的三棱錐最多可以有多少個(gè)不同體積？[解](1)所作出的平面有三類．①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，最多有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)個(gè)．③α，β本身，有2個(gè)．故所作的平面最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98(個(gè))．(2)所作的三棱錐有三類．①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)個(gè)．③α內(nèi)3點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)個(gè)．故最多可作出的三棱錐有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＝194(個(gè))．(3)當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高時(shí)，三棱錐的體積相等．所以體積不相同的三棱錐最多有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114(個(gè))．故最多有114個(gè)體積不同的三棱錐．1．編號為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且隨意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有()A．60種 B．20種C．10種 D．8種C[四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入三盞亮燈，即Ceq\o\al(3,5)＝10.]2．某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位摯友，每位摯友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種 B．10種C．18種 D．20種B[分兩種狀況：①選2本畫冊，2本集郵冊送給4位摯友有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法；②選1本畫冊，3本集郵冊送給4位摯友有Ceq\o\al(1,4)＝4種方法，所以不同的贈送方法共有6＋4＝10種，故選B.]3．某城市縱向有6條道路，橫向有5條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路圖(圖中黑線表示道路)，則從西南角A地到東北角B地的最短路途共有________條．126[要使路途最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，從A地到B地歸結(jié)為走完5條橫線段和4條縱線段．設(shè)每走一段橫線段或縱線段為一個(gè)行走時(shí)段，從9個(gè)行走時(shí)段中任取4個(gè)時(shí)段走縱線段，其余5個(gè)時(shí)段走橫線段，共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(5,5)＝126種走法，故從A地到B地的最短路途共有126條．]4．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有________個(gè)．58[先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)的取法為Ceq\o\al(4,8)種，其中，共面的4點(diǎn)有12個(gè)，則四面體的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(4,8)－12＝58個(gè)．]5．10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中隨意取出4只，試求各有多少種狀況出現(xiàn)下列結(jié)果：(1)4只鞋子沒有成雙的；(2)4只鞋子恰有兩雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙．[解](1)從10雙鞋子中選取4雙，有Ceq\o\al(4,10)種不同選法，每雙鞋子中各取一只，分別有2種取法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，選取種數(shù)為N＝Ceq\o\a