2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．2．1平面的基本性質(zhì)與推論1．了解異面直線的概念．2．理解平面的基本性質(zhì)．3．會證共點、共線、共面問題．1．平面的基本性質(zhì)文字語言圖形語言符號語言基本性質(zhì)1假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的全部點都在這個平面內(nèi)．這時就說，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，則l?α基本性質(zhì)2經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，簡稱為不共線的三點確定一個平面若A，B，C三點不共線，則有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本性質(zhì)3假如不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線α，β不重合，若A∈α，A∈β，則α∩β＝l且A∈l2．平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．共面與異面直線(1)空間中的幾個點或幾條直線，假如都在同一個平面內(nèi)，我們就說它們共面．假如兩條直線共面，那么它們平行或者相交．(2)我們把不同在任何一個平面內(nèi)的直線叫異面直線．(3)畫法：畫兩條異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行又不相交的特點，即不共面的特點，通常采納平面襯托法，以加強直觀性，常見的畫法如圖．1．下列命題正確的是()①一條直線和一個點確定一個平面；②兩條相交直線確定一個平面；③兩條平行直線確定一個平面；④四個點確定一個平面．A．①③ B．②③C．③④ D．②③④答案：B2．用符號語言表示下列語句，并畫成圖形．(1)直線l經(jīng)過平面α內(nèi)兩點A、B；(2)直線l在平面α外，且過平面α內(nèi)一點P；(3)直線l在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)；(4)直線l是平面α與β的交線，平面α內(nèi)有一條直線m與l平行．解：(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l．(2)l?α，P∈l，P∈α．(3)l?α，l?β．(4)α∩β＝l，m?α，m∥l．3．推斷下列圖形是否是平面圖形？為什么？(1)三角形；(2)平行四邊形；(3)隨意四邊形．解：(1)是．因為不在同始終線上的三點確定一個平面．(2)是．因為兩條平行直線確定一個平面．(3)不肯定是．因為它可以是空間四邊形．4．兩條直線無公共點是否肯定平行呢？解：不肯定．在空間中，兩條直線無公共點，則這兩條直線可能平行，也可能異面．共面問題證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)．【解】已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明：法一：(納入平面法)因為l1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個平面α．因為l2∩l3＝B，所以B∈l2．又因為l2?α，所以B∈α．同理可證C∈α．又因為B∈l3，C∈l3，所以l3?α．所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二：(協(xié)助平面法)因為l1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個平面α．因為l2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個平面β．因為A∈l2，l2?α，所以A∈α．因為A∈l2，l2?β，所以A∈β．同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．所以不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．eq\a\vs4\al()(1)解決線共面問題的基本方法是：先由兩個推論確定出平面，然后再證明其余的線也在該平面內(nèi)；或由一部分線確定一個平面，由另一部分線確定另一個平面，再證明這兩個平面重合．(2)在解決某些數(shù)學(xué)問題時，需依據(jù)問題的詳細狀況進行邏輯劃分，即分類探討．點、線、面的位置關(guān)系有可能較為困難，需對全部情形逐一探討．在進行分類探討時，需做到不重不漏．理解題意，依據(jù)公理，合理分類，分清各種位置的可能性，然后分別予以解決．求證：兩兩平行的三條直線假如都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求證：直線a、b、c和l共面．證明：如圖．因為a∥b，由推論3可知直線a與b確定一個平面，設(shè)為α．因為l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b．則A∈α，B∈α．而A∈l，B∈l，所以由基本性質(zhì)1可知l?α．因為b∥c，由推論3可知直線b與c確定一個平面，設(shè)為β，同理可知l?β．因為平面α和平面β都包含直線b與l，且l∩b＝B，所以由推論2可知：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．所以平面α與平面β重合，所以直線a、b、c和l共面．多點共線問題在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O1是上底面A1B1C1D1的對角線的交點，長方體體對角線A1C交截面B1D1A于點P．求證：O1，P，A三點在同始終線上．【證明】連接AC(如圖所示)．因為A1C交截面B1D1A于點P，A1C?平面ACC1A1，所以P∈平面B1D1A，且P∈平面ACC1A1．又因為平面B1D1A∩平面ACC1A1＝AO1，所以P∈AO1(基本性質(zhì)3)，所以O(shè)1，P，A三點在同始終線上．eq\a\vs4\al()證明點共線問題常用方法(1)先找出兩個平面，再證明這三個點都是這兩個平面的公共點，從而依據(jù)基本性質(zhì)3判定他們都在交線上．(2)選擇兩點確定一條直線，再證另一點在這條直線上．1．已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接，且連接點不在同一平面內(nèi)，所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點，且直線EF和GH交于點P，如圖，求證：點B、D、P在同一條直線上．證明：因為直線EF∩直線GH＝P，所以P∈直線EF，而EF?平面ABD，所以P∈平面ABD．同理，P∈平面CBD，即點P是平面ABD和平面CBD的公共點．明顯，點B、D也是平面ABD和平面CBD的公共點，由基本性質(zhì)3知，點B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交線上，即點B、D、P在同一條直線上．2．如圖所示，在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，P，Q分別為AB，C1D1的中點．求證：P，Q，E，F(xiàn)四點共面．證明：如圖所示，連接BC1，因為E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，P，Q分別為AB，C1D1的中點，所以EF∥BC1，BC1∥PQ．所以EF∥PQ．所以E，F(xiàn)，P，Q四點共面．多線共點問題如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB中點，F(xiàn)為AA1的中點，求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．【證明】(1)分別連接EF，A1B，D1C．因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，所以EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)A1B．又因為A1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，所以四邊形A1D1CB是平行四邊形，所以A1B∥CD1，從而EF∥CD1．所以EF與CD1確定一個平面，所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)如圖所示，因為EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)CD1，所以延長直線D1F和CE必相交，設(shè)D1F∩CE＝P．因為D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，所以P∈平面AA1D1D．又CE?平面ABCD，P∈EC，所以P∈平面ABCD．即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點，而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點．eq\a\vs4\al()立體幾何是以平面幾何為基礎(chǔ)的，平面幾何中的一些結(jié)論在立體幾何中也適用，有些立體幾何問題可轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決，本例充分利用平面中兩線的位置關(guān)系，直線D1F與CE相交于點P，進而證明P∈直線AD．已知三個平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行，求證：a，b，c三條直線相交于同一點．證明：因為α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a?γ，b?γ．又由于直線a和b不平行，所以a，b必相交．設(shè)a∩b＝P，如圖，則P∈a，P∈b．因為a?β，b?α，所以P∈β，P∈α．又α∩β＝c，所以P∈c，即交線c經(jīng)過點P．所以a，b，c三條直線相交于同一點．1．假如一條直線上有兩點在同一平面內(nèi)，那么這條直線就在這個平面內(nèi)，解答時抓住直線上的兩個點與平面的關(guān)系．2．證明多點共線通常利用基本性質(zhì)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．3．證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．1．不共線的三點能確定一個平面，解答時首先分析所給的元素是否具有確定唯一平面的條件，再進行計算或推理．2．平面的基本性質(zhì)3是確定兩個平面交線的基礎(chǔ)，解答時關(guān)鍵是找尋兩個相交平面的公共點，這些點都在這兩個平面的交線上，據(jù)此可得相應(yīng)結(jié)論．3．共面與異面是直線的兩種位置關(guān)系，解答時會用符號語言與圖形語言表示位置關(guān)系，能依據(jù)定義說明兩條直線共面還是異面，對于異面直線，要學(xué)會從理論上進行說明．1．在空間內(nèi)，可以確定一個平面的條件是()A．兩兩相交的三條直線B．三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交C．三個點D．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點答案：D2．假如直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：選A．因為M∈a，N∈b，a?α，b?α，所以M∈α，N∈α．而M，N確定直線l，依據(jù)基本性質(zhì)1可知，l?α．故選A．3．假設(shè)一塊木板斜立在地面上，當用一根木棒在后面撐住時，能使板面固定，這個道理是________．答案：過直線和直線外一點有且只有一個平面4．對于結(jié)論“若a?α且a∩b＝P，則P∈α”，用文字語言可以敘述為__________．答案：若直線a與直線b相交于一點P且直線a在平面α內(nèi)，則點P肯定在平面α內(nèi)[學(xué)生用書P91(單獨成冊)])[A基礎(chǔ)達標]1．下列命題：①公理1可用集合符號敘述為：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則必有l(wèi)∈α；②四邊形的兩條對角線必相交于一點；③用平行四邊形表示的平面，以平行四邊形的四條邊作為平面邊界線；④梯形是平面圖形．其中，正確的命題個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A．①中應(yīng)為l?α；②中空間四邊形對角線異面；③中平面沒有界線，只有④正確．2．如圖，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，且C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線BCC．直線ABD．直線CD解析：選D．由題意知平面ABC與平面β有公共點C，依據(jù)基本性質(zhì)3，這兩平面必定相交，有且只有一條經(jīng)過點C的交線．由于兩點確定一條直線，所以只要再找到兩平面的另一個公共點即可．明顯點D在直線AB上，從而它在平面ABC內(nèi)；而D在直線l上，所以它又在平面β內(nèi)，這樣D也是平面ABC與平面β的公共點．因此平面ABC與平面β的交線是直線CD．3．已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理錯誤的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合解析：選C．選項C中，α與β有公共點A，則它們有過點A的一條交線，而不是點A，故C錯．4．空間四點A，B，C，D共面但不共線，那么這四點中()A．必有三點共線B．必有三點不共線C．至少有三點共線D．不行能有三點共線解析：選B．若AB∥CD，則AB，CD共面，但A，B，C，D任何三點都不共線，故解除A，C；若直線l與直線外一點A在同一平面內(nèi)，且B，C，D三點在直線l上，所以解除D．故選B．5．如圖所示，AA1是長方體的一條棱，這個長方體中與AA1異面的棱共有()A．3條B．4條C．5條D．6條解析：選B．依據(jù)異面直線的判定定理找與AA1異面的棱．因為AA1在面A1ABB1內(nèi)，B1在面A1ABB1內(nèi)，C1不在面A1ABB1內(nèi)，所以C1B1是與AA1異面的棱．同理，BC，CD，C1D1都是與AA1異面的棱，故正確答案為B．6．已知點A，直線a，平面α．①A∈a，a∈α?A∈α；②A?a，a?α?A?α；③A∈a，a?α?A?α．以上命題正確的個數(shù)為________．解析：①中“a∈α”符號不對；②中A可以在α內(nèi)，也可以在α外，故不正確；③中“A?α”符號不對．答案：07．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，推斷下列直線間的位置關(guān)系：(1)直線A1B與D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與B1C的位置關(guān)系是________．解析：題號結(jié)論緣由分析(1)平行因為A1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，所以A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1C(2)異面A1B與B1C不同在任何一個平面內(nèi)(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)異面AB與B1C不同在任何一個平面內(nèi)答案：(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面8．如圖所示的正方體中，P，Q，M，N分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖形是________(把正確圖形的序號都填上)．解析：圖形①中，連接MN，PQ(圖略)，則由正方體的性質(zhì)得MN∥PQ，依據(jù)公理2的推論3可知兩條平行直線可以確定一個平面，故圖形①正確．分析可知③中四點共面，②④中四點均不共面．答案：①③9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點Q，求證：B，Q，D1三點共線．證明：如圖，連接A1B，CD1，明顯B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．所以BD1?平面A1BCD1．同理BD1?平面ABC1D1所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．因為A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1．又因為A1C?平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1．所以Q在平面A1BCD1與ABC1D1的交線上，即Q∈BD1，所以B，Q，D1三點共線．10．在四面體A-BCD中，E，G分別為BC，AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求證：EF，GH，BD交于一點．證明：因為E，G分別為BC，AB的中點，所以GE∥AC．又因為DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，從而FH∥GE．故E，F(xiàn)，H，G四點共面．因為FH∥AC，DH∶DA＝2∶5，所以FH∶AC＝2∶5，即FH＝eq\f(2,5)AC．又因為E，G分別為BC，AB的中點，所以GE＝eq\f(1,2)AC，所以FH≠GE，所以四邊形EFHG是一個梯形，GH和EF交于一點，設(shè)為O．因為O∈GH，GH?平面ABD，O∈EF，EF?平面BCD，所以O(shè)在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，所以O(shè)在這兩個平面的交線上，而這兩個平面的交線是BD，且交線只有這一條，所以點O在直線BD上．故EF，GH，BD交于一點．[B實力提升]11．若三個平面兩兩相交，且三條交線相互平行，則這三個平面把空間分成()A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分解析：選C．作出這三個平面的截面，如圖所示，把空間分為7部分，本題考查了學(xué)生的空間想象實力．順當作出截面是解決本題的關(guān)鍵，其中l(wèi)1，l2，l3是截線．12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，