2024-2025學年高中數(shù)學第1章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2組合學案新人教B版選修2-3

PAGEPAGE11．2.2組合1.了解組合與排列的區(qū)分與聯(lián)系．2.理解組合的概念、組合數(shù)公式及性質(zhì)．3．能利用組合的概念及組合數(shù)公式解決實際問題．1．組合的概念(1)組合：一般地，從n個不同元素中，隨意取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合．(2)兩個組合相同的含義：組成組合的元素完全相同，而不管元素的依次如何．2．組合數(shù)與組合數(shù)公式(1)從n個不同元素中，隨意取出m(m≤n)個元素的全部組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中，隨意取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)，或Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)．規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝1．對于組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)，應有m∈N，n∈N＋，且m≤n.(3)組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).1．推斷(對的打“√”，錯的打“×”)(1)從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素組成一個組合，全部組合的個數(shù)為Ceq\o\al(2,3).()(2)從1，3，5，7中任取兩個數(shù)相乘可得Ceq\o\al(2,4)個積．()(3)Ceq\o\al(2016,2017)＝Ceq\o\al(1,2017)＝2017.()答案：(1)√(2)√(3)√2．Ceq\o\al(2,n)＝10，則n的值為()A．10B．5C．3D．4解析：選B.Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(n！,（n－2）！×2！)＝eq\f(n（n－1）,2)＝10，所以n(n－1)＝20，解之得n＝5，故選B.3．甲、乙、丙三地之間有直達的火車，相互之間的距離均不相等，則車票票價有________種．解析：車票的票價有Ceq\o\al(2,3)＝3種．答案：3 組合的概念推斷下列問題是排列問題，還是組合問題．(1)從1，2，3，…，9九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(2)從1，2，3，…，9九個數(shù)字中任取3個，然后把這三個數(shù)字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？(3)從a，b，c，d四名學生中選2名去完成同一件工作，有多少種不同的選法？(4)5個人規(guī)定相互通話一次，共通了多少次電話？(5)5個人相互各寫一封信，共寫了多少封信？【解】(1)當取出3個數(shù)字后，假如變更三個數(shù)字的依次，會得到不同的三位數(shù)，此問題不但與取出元素有關，而且與元素的支配依次有關，是排列問題．(2)取出3個數(shù)字之后，無論怎樣變更這三個數(shù)字之間的依次，其和均不變，此問題只與取出元素有關，而與元素的支配依次無關，是組合問題．(3)2名學生完成的是同一件工作，沒有依次，是組合問題．(4)甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，無依次區(qū)分，為組合問題．(5)發(fā)信人與收信人是有區(qū)分的，是排列問題．eq\a\vs4\al()推斷一個問題是否是組合問題的方法技巧區(qū)分排列與組合的關鍵是看結(jié)果是否與元素的依次有關，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，而交換隨意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，也就是說排列問題與選取元素的依次有關，組合問題與選取元素的依次無關．由此可知，定序問題屬于組合，即排列時，假如限定某些元素保持規(guī)定的依次，則定序的這n個元素屬于組合問題．在下列問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？(1)從a，b，c，d四名學生中選出2名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(2)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)競賽，共需賽多少場？(3)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？解：(1)2名學生完成兩件不同的工作，有依次，是排列問題．(2)單循環(huán)競賽要求每兩支球隊之間只打一場競賽，沒有依次，是組合問題．(3)爭奪冠亞軍是有依次的，是排列問題．組合數(shù)公式及性質(zhì)的應用計算下列各式的值．(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)；(3)Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1).【解】(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＝148.(2)利用組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)，則Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(4,4)＝…＝Ceq\o\al(4,11)－1＝329.(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－n≤n，,5－n≥0，,9－n≤n＋1，,9－n≥0，))解得4≤n≤5.又因為n∈N＋，所以n＝4或n＝5.當n＝4時，原式＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5.當n＝5時，原式＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.若將本例(2)變?yōu)椋篊eq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)，如何求解？解：原式＝(Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(5,6))＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝(Ceq\o\al(6,7)＋Ceq\o\al(5,7))＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝…＝Ceq\o\al(6,10)＋Ceq\o\al(5,10)＝Ceq\o\al(6,11)＝Ceq\o\al(5,11)＝eq\f(11×10×9×8×7,5×4×3×2×1)＝462.eq\a\vs4\al()關于組合數(shù)公式的選取技巧(1)涉及詳細數(shù)字的可以干脆用eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(（n－1）！,m！（n－1－m）！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)＝Ceq\o\al(m,n)進行計算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)計算．(3)計算時應留意利用組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運算．1.Ceq\o\al(48,50)＋Ceq\o\al(49,50)＝________．解析：Ceq\o\al(48,50)＋Ceq\o\al(49,50)＝Ceq\o\al(49,51)＝Ceq\o\al(2,51)＝eq\f(51×50,2×1)＝1275.答案：12752．解方程：Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18).解：由原方程及組合數(shù)性質(zhì)可知，3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，所以n＝2，或n＝8，而當n＝8時，3n＋6＝30＞18，不符合組合數(shù)定義，故舍去．因此n＝2.3．已知eq\f(1,Ceq\o\al(m,5))－eq\f(1,Ceq\o\al(m,6))＝eq\f(7,10Ceq\o\al(m,7))，求Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8).解：原式可化為eq\f(m！（5－m）！,5！)－eq\f(m?。?－m）！,6！)＝eq\f(7×（7－m）！m！,10×7！)，即eq\f(m?。?－m）！,5！)－eq\f(m?。?－m）（5－m）！,6×5！)＝eq\f(7×m！（7－m）（6－m）（5－m）！,10×7×6×5！)，所以1－eq\f(6－m,6)＝eq\f(（7－m）（6－m）,60)，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.而0≤m≤5，所以m＝2.所以Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8)＝Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝Ceq\o\al(3,9)＝84.簡潔的組合應用題課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊長當選．(2)至多有兩名女生當選．(3)既要有隊長，又要有女生當選．【解】(1)至少有一名隊長含有兩種狀況：有一名隊長和兩名隊長，故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825種．或采納解除法有Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825種．(2)至多有兩名女生含有三種狀況：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生，故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種．(3)分兩種狀況：第一類：女隊長當選，有Ceq\o\al(4,12)種；其次類：女隊長不當選，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)種．故共有Ceq\o\al(4,12)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝790種．1．在本例條件下，若兩名隊長必需選，有多少種不同的選法？解：從除去兩名隊長之外的11名學生中任選3名即可．所以不同的選法有Ceq\o\al(3,11)＝165種選法．2．在本例條件下，至多有1名隊長被選上的方法有多少種？解：分兩類狀況：第一類：沒有隊長被選上，從除去兩名隊長之外的11名學生中選取5人有Ceq\o\al(5,11)＝462種選法．其次類：一名隊長被選上，分女隊長被選上和男隊長被選上，不同的選法有：Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(4,11)＝660種選法．所以至多1名隊長被選上的方法有462＋660＝1122種．eq\a\vs4\al()有限制條件的組合問題分類有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類：一是“含”與“不含”問題，其解法常用干脆分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)；二是“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是干脆分類法，但要留意分類要不重不漏；二是間接法，留意找準對立面，確保不重不漏．1.從6位同學中選出4位參與一個座談會，要求張、王兩同學中至多有一個人參與，則不同選法的種數(shù)為()A．9 B．14C．12 D．15解析：選A.法一：(干脆法)分兩類：第1類，張、王兩同學都不參與，有Ceq\o\al(4,4)＝1種選法；第2類，張、王兩同學中只有1人參與，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)＝8種選法．故共有1＋8＝9種選法．法二：(間接法)共有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(2,4)＝9種不同選法．2．某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位摯友，每位摯友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種 B．10種C．18種 D．20種解析：選B.依題意，就所剩余的1本進行分類：第1類，剩余的是1本畫冊，此時滿意題意的贈送方法有Ceq\o\al(1,4)＝4種；第2類，剩余的是1本集郵冊，此時滿意題意的贈送方法有Ceq\o\al(2,4)＝6種．因此，滿意題意的贈送方法共有4＋6＝10種．

排列與組合的綜合應用題[學生用書P10]用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字．(1)可以組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？(2)可以組成多少個無重復數(shù)字的五位奇數(shù)？(3)可以組成多少個無重復數(shù)字的能被5整除的五位數(shù)？【解】(1)法一：(干脆法)從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中任取一個作萬位，有Ceq\o\al(1,5)種；從余下的5個數(shù)字中選4個排在后四位，有Aeq\o\al(4,5)種，由分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(4,5)＝600個．法二：(間接法)不考慮任何限制，共有Aeq\o\al(5,6)種，而0作首位時，有Aeq\o\al(4,5)種，故適合題意的數(shù)字個數(shù)為Aeq\o\al(5,6)－Aeq\o\al(4,5)＝600.(2)一個數(shù)是否為奇數(shù)取決于個位數(shù)字，所以個位為特別位置，又0不能排在首位，所以0為特別元素，應優(yōu)先考慮，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝288個．(3)能被5整除的五位數(shù)，其個位數(shù)字是0或5.當個位數(shù)字是0時，共有Aeq\o\al(4,5)個；當個位數(shù)字是5時，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)個，由分類加法計數(shù)原理，符合題意的數(shù)字共有Aeq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)＝216個．eq\a\vs4\al()解答排列、組合綜合問題的思路及留意點(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列．(2)解排列、組合綜合問題時要留意以下兩點：①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題．②對于有多個限制條件的困難問題，應仔細分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參與團體競賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有______________種(以數(shù)字作答)．解析：(1)有1名老隊員入選，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種排法．(2)有2名老隊員入選，則入選人數(shù)有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)種選法．按排出場序號有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種方法．所以老隊員選2人，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種排法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合要求的排法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝36＋12＝48種排法．答案：48————————————————————————————————————————————————1．分組、安排問題的求解策略常見形式處理方法非勻稱不編號分組n個不同元素分成m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不考慮各組間的依次，不管是否分盡，分法種數(shù)為：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)勻稱不編號分組將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為eq\f(A,Aeq\o\al(r,r))(其中A為非勻稱不編號分組中的分法數(shù))．假如再有k組勻稱組應再除以Aeq\o\al(k,k)非勻稱編號分組n個不同元素分成m組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的依次，其分法種數(shù)為A·Aeq\o\al(m,m)勻稱編號分組n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間的依次，其分法種數(shù)為eq\f(A,Aeq\o\al(r,r))·Aeq\o\al(m,m)2.相同元素安排問題的處理策略(1)隔板法：假如將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法特地解決相同元素的安排問題．(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有Ceq\o\al(m－1,n－1)種方法．可描述為n－1個空中插入m－1塊板．3．解決先選后排問題時，應遵循三大原則(1)先特別后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類后分步．1．組合數(shù)公式的兩種形式的適用范圍形式適用范圍乘積式含詳細數(shù)字的組合數(shù)的求值階乘式含字母的組合數(shù)的有關變形及證明2.組合數(shù)的兩特性質(zhì)及其關注點性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).它反映了組合數(shù)的對稱性．若m>eq\f(n,2)，通常不干脆計算Ceq\o\al(m,n)，而改為計算Ceq\o\al(n－m,n)，這樣可以削減計算量．性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).特點是左端下標為n＋1，右端下標都為n，相差1；左端的上標與右端上標的一個一樣，右端的另一個上標比它們少1.要留意性質(zhì)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)的順用、逆用、變形用．順用是將一個組合數(shù)拆成兩個；逆用則是“合二為一”；變形式Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)的運用，為某些項相互抵消供應了便利，在解題中要留意敏捷運用．1．計算Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)等于()A．120 B．240C．60 D．480解析：選A.原式＝Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,10)＝120.2．某單位要邀請10位老師中的6人參與一個研討會，其中甲、乙兩位老師不能同時參與，則不同的邀請方法有()A．84種 B．98種C．112種 D．140種解析：選D.因為10位老師中的6人參與一個研討會，其中甲、乙兩位老師不能同時參與，須要分類來解，所以當甲和乙有一個參與，則只要從8人中選5個，共有2Ceq\o\al(5,8)＝112種結(jié)果，當甲和乙都不參與，要從8人中選6人，共有Ceq\o\al(6,8)＝28種結(jié)果，依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有112＋28＝140種．3．把8名同學分成兩組，一組5人學習電腦，一組3人做生物試驗，則不同的支配方法有________種．解析：Ceq\o\al(3,8)＝56.答案：564．從8名女生4名男生中，選出3名學生組成課外小組，假如按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為________．解析：依據(jù)分層抽樣，3名學生組成課外小組應是男生1人，女生2人；所以取2名女生1名男生的方法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝112.答案：112[A基礎達標]1．由Ceq\o\al(x＋1,10)＋Ceq\o\al(17－x,10)可得不相同的值的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤10，,0≤17－x≤10，))得7≤x≤9，又因為x∈N，所以x的取值為7，8，9，Ceq\o\al(x＋1,10)＋Ceq\o\al(17－x,10)依次取值為46，20，46，故不同數(shù)值有2個．2．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，則m的值為()A．6 B．7C．8 D．9解析：選B.由Aeq\o\al(3,m)＝6×Ceq\o\al(4,m)，得eq\f(m！,（m－3）！)＝6·eq\f(m！,4?。╩－4）！)，即eq\f(1,m－3)＝eq\f(1,4)，解得m＝7.3．7名同學站一排，甲身高最高，排在正中間，其他6名同學身高不等，甲的左，右兩邊以身高為準，由高到低排列，則不同的排法共有()A．18種 B．20種C．15種 D．35種解析：選B.從6名同學中任取3人按身高依題意排在左邊有Ceq\o\al(3,6)種排法，剩下3人依次排在右邊只有1種排法，故不同排法的種數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20.4．將7名學生安排到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少支配兩名學生，那么互不相同的安排方案共有()A．252種 B．112種C．20種 D．56種解析：選B.按安排到甲宿舍的人數(shù)進行分類，則不同的安排方案共有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(5,7)Ceq\o\al(2,2)＝112種．5．空間中有6個點，它們?nèi)魏?點不共線，任何4點不共面，則過其中2點的異面直線共有()A．15對 B．30對C．45對 D．60對解析：選C.考慮到每一個三棱錐對應著3對異面直線，問題就轉(zhuǎn)化為求能構(gòu)成的三棱錐的個數(shù)．由于這6個點可構(gòu)成Ceq\o\al(4,6)個三棱錐，故所求異面直線的對數(shù)為3Ceq\o\al(4,6)＝45.6．從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)中每次取3個不同的數(shù)，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有________個．解析：先選取3個不同的數(shù)，有Ceq\o\al(3,6)種選法；然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另2個不同的數(shù)放在十位和個位上，有Aeq\o\al(2,2)種放法，故共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,2)＝40個三位數(shù)．答案：407．某單位需同時參與甲、乙、丙三個會議，甲需2人參與，乙、丙各需1人參與，從10人中選派4人參與這三個會議，不同的支配方法有________種．解析：從10人中選派4人有Ceq\o\al(4,10)種方法，對選出的4人詳細支配會議有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選派方法有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝2520種．答案：25208．若Ceq\o\al(m－1,n)∶Ceq\o\al(m,n)∶Ceq\o\al(m＋1,n)＝3∶4∶5，則n－m＝________．解析：由題意知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(m－1,n),Ceq\o\al(m,n))＝\f(3,4)，,\f(Ceq\o\al(m,n),Ceq\o\al(m＋1,n))＝\f(4,5)，))由組合數(shù)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－7m＋3＝0，,9m－4n＋5＝0，))解得：n＝62，m＝27.n－m＝62－27＝35.答案：359．在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參與市級培訓．在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)隨意選5人；(2)甲、乙、丙三人必需參與；(3)甲、乙、丙三人不能參與；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與．解：(1)從中任取5人是組合問題，共有Ceq\o\al(5,12)＝792種不同的選法．(2)甲、乙、丙三人必需參與，則只須要從另外9人中選2人，是組合問題，共有Ceq\o\al(2,9)＝36種不同的選法．(3)甲、乙、丙三人不能參與，則只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126種不同的選法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al(1,3)種選法；再從另外9人中選4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378種不同的選法．10．6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，在下列條件下各有多少種不同的安排方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余兩人每人1本．解：(1)(2)(3)中，由于每人分的本數(shù)固定，屬于定向安排問題，由分步乘法計數(shù)原理得：(1)共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種不同的安排方法；(2)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種不同的安排方法；(3)共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝30種不同的安排方法．(4)(5)(6)屬于不定向安排問題，是該類題中比較困難的問題．安排給3人，同一本書給不同的人是不同的分法，屬于排列問題．事實上可看作兩個步驟：先分為3組，再把這3組分給甲、乙、丙3人，因此只要將分組方法數(shù)再乘以甲、乙、丙3人的全排列數(shù)Aeq\o\al(3,3)即可．因此，(4)共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)÷Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝90種不同的安排方法；(5)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝360種不同的安排方法；(6)共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)÷Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3)＝90種不同的安排方法．[B實力提升]11．如圖是由6個正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個頂點中任取3個點作為一組．其中可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為()A．208 B．204C．200 D．196解析：選C.任取的3個頂點不能構(gòu)成三角形的情形有3種：一是3條橫線上的4個點，其組數(shù)為3Ceq\o\al(3,4)；二是4條豎線上的3個點，其組數(shù)為4Ceq\o\al(3,3)；三是4條對角線上的3個點，其組數(shù)為4Ceq\o\al(3,3)，所以可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為：Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)－8Ceq\o\