直線與圓專題復(fù)習(xí)第9講 圓的十種方程問(wèn)題 訓(xùn)練題集【老師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2第9講圓的十種方程問(wèn)題一、單選題1．（2021·安徽·合肥一中高二期中）過(guò)點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，則，解得，所以圓心為，半徑.所以圓的方程為.故選：A2．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高二月考）已知直線與以點(diǎn)為圓心的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以圓C的方程為，故選：C.3．（2021·山西·太原五中高二月考）直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，以線段為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知得，的坐標(biāo)，進(jìn)而得圓心坐標(biāo)和半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后化為一般方程即可.【詳解】由直線截距式方程知：，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為，化為一般方程為.故選：A.4．（2021·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高二月考）若圓C與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱知在上且，即可求參數(shù)a、b，進(jìn)而寫出圓C的方程.【詳解】設(shè)，而的圓心為，半徑為1，∴由題設(shè)知：在上且，即，解得.∴圓C的方程.故選：A5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點(diǎn)A的距離為半徑，可得圓的方程．【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A6．（2021·河北·唐山一中高二月考）過(guò)點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由切線性質(zhì)得O、A、B、P四點(diǎn)共圓，為直徑，求得圓心坐標(biāo)和半徑可得圓方程即為所求．【詳解】由題意知O、A、B、P四點(diǎn)共圓，從而的中點(diǎn)坐標(biāo)為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.故選：A.7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)可得直線過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的距離的最大值即為，即可求出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】直線方程可化為，可知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與已知直線垂直時(shí)圓的半徑最大，為，因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.8．（2021·陜西·榆林市第十中學(xué)高三月考（理））已知是半徑為1的動(dòng)圓上一點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則當(dāng)取最大值時(shí)，△的外接圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)，確定的軌跡方程，結(jié)合已知可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)、勾股定理及面積法得到關(guān)于的關(guān)系式且△的外接圓以線段為直徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系及其動(dòng)點(diǎn)距離最值情況，寫出外接圓的方程.【詳解】由，則動(dòng)圓心的軌跡方程為.為圓上的動(dòng)點(diǎn)，又，∴，∵，，，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)最大時(shí)，最大.當(dāng)時(shí)，取最大值，△的外接圓以線段為直徑，而中點(diǎn)，即中點(diǎn)為，∴外接圓方程為，即.故選：A9．（2021·內(nèi)蒙古·一模（文））已知的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，則的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓的方程為，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心到直線的距離為，又由圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，可得，化簡(jiǎn)得，解得，即圓的方程為.故選：D.10．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第二十八中學(xué)高二月考）若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)在圓外以及方程為圓的方程列不等式組求解即可.【詳解】，即因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，，解得故選：D.11．（2021·福建·莆田二中高二月考）方程表示的曲線為（）A．兩條線段 B．一條線段和一個(gè)圓C．一條線段和半個(gè)圓 D．一條射線和半個(gè)圓【答案】C【分析】由條件可得或，分別整理即可得答案.【詳解】解：，則或，又其表示線段其表示半圓，故選：C.12．（2021·山西·大同市新世紀(jì)中學(xué)高二月考）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

故選：D13．（2021·安徽·高二月考）若圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【分析】把坐標(biāo)代入圓方程求解．注意檢驗(yàn)，方程表示圓．【詳解】將代入圓方程，得，解得或2，當(dāng)時(shí)，，舍去，所以.故選：A．14．（2021·湖北·武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）高二月考）若直線與圓相交，則與圓的位置關(guān)系為（）A．在圓外 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓的距離關(guān)系得出，再由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷得選項(xiàng).【詳解】解：∵直線與圓相交，∴圓心到直線的距離，∴，則與圓心的距離，點(diǎn)P在圓外.故選：A.15．（2021·安徽·合肥一中高二期中）阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．已知圓C的圓心C在直線上，半徑為1．點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)M，使，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，帶入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得到，根據(jù)兩圓有交點(diǎn)得到，解得答案.【詳解】在中，，即，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得到.圓心為，半徑，圓C和圓要有交點(diǎn)，故，解得.故選：D.二、多選題16．（2021·福建·南安市第三中學(xué)高二月考）對(duì)于，直線恒過(guò)定點(diǎn)P，則（）A．以P為圓心，半徑為的圓的一般方程是B．以P為圓心，半徑為的圓的一般方程是C．點(diǎn)P的坐標(biāo)為D．點(diǎn)P的坐標(biāo)為【答案】BC【分析】直線方程可化為，令可得點(diǎn)，按照?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義可得以P為圓心，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，展開即得一般方程【詳解】直線可化為：，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，即點(diǎn)，所以以P為圓心，半徑為的圓的一般方程是，即，故選：BC17．（2021·重慶市兩江育才中學(xué)校高二月考）已知圓的一般方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5C．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6 D．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6【答案】BD【分析】首先得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，即可判斷A錯(cuò)誤，B正確，再計(jì)算弦長(zhǎng)即可判斷C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】因?yàn)椋詧A的圓心為，半徑為，故A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)選項(xiàng)C，圓心到軸的距離為，所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，圓心到軸的距離為，所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故D正確.故選：BD18．（2021·山西·大同一中高二月考）對(duì)任意的，方程所表示的曲線可能為（）A．雙曲線 B．拋物線 C．橢圓 D．圓【答案】ACD【分析】分別討論的范圍求方程所表示的曲線，即可得正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，，方程可化為，此時(shí)為直線；當(dāng)且時(shí)，，，且，此時(shí)原方程可化為，此時(shí)表示橢圓；當(dāng)時(shí)，時(shí)，可化簡(jiǎn)為表示圓，當(dāng)時(shí)，，，方程可化為，此時(shí)為直線；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)原方程可化為，此時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)，，原方程即，此時(shí)軌跡不存在；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)方程表示的軌跡不存在；當(dāng)時(shí)，，，原方程即，此時(shí)軌跡不存在；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)原方程可化為，此時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，綜上所述：方程所表示的曲線可能為雙曲線、橢圓、圓，故選：ACD.19．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第二十八中學(xué)高二月考）已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)滿足，則整數(shù)的取值可以是（）A． B．0 C．2 D．5【答案】ABC【分析】由數(shù)量積求出M的軌跡為圓，由題意可得M的軌跡與所給圓有公共點(diǎn)，再由圓心距與半徑的關(guān)系列不等式求解a的范圍．【詳解】解：設(shè)，則，

由，得，即，

∴M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓，

若圓上存在點(diǎn)M滿足，

則圓O：和圓有公共點(diǎn)，

，

解得：?5≤a≤?2或?1≤a≤2，

結(jié)合選項(xiàng)可得，實(shí)數(shù)a可以是?3，0，2．

故選：ABC．20．（2021·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高二月考）過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線：，和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線：，P點(diǎn)為兩直線的交點(diǎn)，圓C：，則下列說(shuō)法正確的有（）A．直線過(guò)定點(diǎn) B．直線以與圓C相交且最短弦長(zhǎng)為2C．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與圓C相離 D．為定值【答案】ABD【分析】由過(guò)定點(diǎn)直線系結(jié)論判斷A，由此求直線以與圓C相交的最短弦長(zhǎng)判斷B，由定義法求交點(diǎn)軌跡，判斷C,D.【詳解】解：對(duì)于A．因?yàn)橹本€：，即直線：．所以由得，因此直線過(guò)定點(diǎn)，所以A正確；對(duì)于B．因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，而點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦長(zhǎng)為，因此B正確；對(duì)于C．直線：和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線：，，因此直線與直線垂直，而直線：過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線與直線的交點(diǎn)P的軌跡是以A，B為直徑兩端點(diǎn)的圓D，而點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外，因此動(dòng)點(diǎn)P的曲線與圓相交，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D．由知：，因此D正確．故選:ABD．三、雙空題21．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第二十八中學(xué)高二月考）已知，為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且；點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是___________，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍為___________.【答案】【分析】由圓的弦長(zhǎng)公式，可得，得到，即，即可求得點(diǎn)的軌跡方程為，再根據(jù)向量的運(yùn)算可得，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解的取值范圍，得到答案.【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，由圓的弦長(zhǎng)公式，可得，即，整理得，即，所以點(diǎn)的軌跡表示以為圓心，以為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡方程為，根據(jù)向量的運(yùn)算可得又由，所以，即，所以，即的取值范圍為.故答案為：;.22．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高二期中）從圓上的點(diǎn)向圓引切線，兩個(gè)切點(diǎn)間的線段稱為“切點(diǎn)弦”，則“切點(diǎn)弦”的中點(diǎn)的軌跡方程為__________，所有的“切點(diǎn)弦”所占據(jù)的面積為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，根據(jù)對(duì)稱性得到，故，得到軌跡方程，再計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖所示：分別為兩切點(diǎn)，易知，，且，故.根據(jù)對(duì)稱性知，的交點(diǎn)為中點(diǎn)，故，即，故“切點(diǎn)弦”的中點(diǎn)的軌跡方程為..四、填空題23．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知三個(gè)點(diǎn)，，，則的外接圓的圓心坐標(biāo)是___________.【答案】(1，3)【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)后可求解.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓方程為，即，所以圓心坐標(biāo)為.故答案為：.24．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓過(guò)，Q（3，1）兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，則該圓的方程是_________．【答案】或.或.【分析】設(shè)圓的方程為，則有，求得，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)圓的方程為，則有，解得或，所以圓的方程為或.故答案為：或.25．（2021·四川·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二月考（理））已知直線ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）平分圓x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的周長(zhǎng)，則的最小值是_______．【答案】4【分析】由題意，圓心在直線上，即a+b＝1，轉(zhuǎn)化，利用均值不等式即得解【詳解】直線ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）始終平分圓x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的周長(zhǎng)，且圓心坐標(biāo)是（1，1），故a+b＝1，所以≥2+=4當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝b＝時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是4．故答案為：426．（2021·四川·仁壽一中高二月考）已知圓上一定點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為______________．【答案】【分析】設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)公式求得，代入即可求解.【詳解】設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，又由，可得，解得，又由，可得，即.故答案為：.27．（2021·福建·南安市第三中學(xué)高二月考）一個(gè)圓過(guò)圓與直線的交點(diǎn)，且圓心在y軸上，則這個(gè)圓的方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意求出直線與圓的交點(diǎn)，利用中垂線方程求所求圓的圓心，再得半徑即可求解.【詳解】由，解得或，所以交點(diǎn)為，因?yàn)锳B的斜率為，AB的中點(diǎn)為，所以AB的垂直平分線為，即，又因?yàn)閳A心在y軸，所以圓心為，半徑為圓心到交點(diǎn)B的距離，則所求圓的方程為故答案為：28．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）過(guò)圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是_______．【答案】【分析】根據(jù)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程設(shè)出所求圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)，把圓心坐標(biāo)代入直線的方程，從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：.五、解答題29．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于，的二元二次方程．（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程表示圓？（2）當(dāng)為何值時(shí)，方程表示的圓的半徑最大？求出半徑最大時(shí)圓的方程．【答案】（1）；（2）時(shí)方程表示的圓的半徑最大，半徑最大的圓的方程為【分析】（1）根據(jù)方程表示圓的條件為列不等式即可求解；（2）將該方程整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出半徑的最大值以及此時(shí)的值，再將的值代入可得半徑最大的圓的方程.【詳解】（1）若方程表示圓，則整理可得：，解得：；（2）由可得：，設(shè)圓的半徑為，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)圓的方程為，即.綜上所述：當(dāng)時(shí)方程表示的圓的半徑最大，半徑最大的圓的方程為：.30．（2021·四川省南充市嘉陵第一中學(xué)高二月考）求與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程．【答案】或【分析】設(shè)圓的一般方程是，得出圓心坐標(biāo)和半徑，利用直線與軸相切，令后的二次方程判別式等于0得的一一個(gè)等式，求出圓心到直線的距離，用勾股定理得弦長(zhǎng)，得的第二個(gè)等式，再由圓心在已知直線上第的第三個(gè)等式，三式聯(lián)立解得得圓方程．【詳解】設(shè)所求的圓的方程是，則圓心為，半徑為.令，得，由圓與軸相切，得，即①又圓心到直線的距離為.由已知，得，即②又圓心在直線上，則③聯(lián)立①②③，解得或故所求圓的方程是或.31．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）判別方程（k為參數(shù)，）表示何種曲線?找出通過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】圓心在，半徑為的圓；定點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】由題通過(guò)配方整理可得方程表示圓，將原方程整理為關(guān)于k的方程可得定點(diǎn).【詳解】將原方程整理得，即，方程表示圓心在，半徑為的圓，將原方程整理為關(guān)于k的方程：，由解得即圓過(guò)定點(diǎn).32．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高二期中）已知圓過(guò)點(diǎn)和且圓心在直線上，圓．（1）求圓的方程并判斷圓與圓的位置關(guān)系；（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使得過(guò)分別作圓和圓的切線，切點(diǎn)分別為、，滿足，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）圓的方程為，圓與圓外離.（2）存在，且點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【分析】（1）分析可知圓的圓心在軸上，結(jié)合圓心在直線上可求得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得圓的方程，利用幾何法可判斷出兩圓的位置關(guān)系；（2）設(shè)點(diǎn)，勾股定理結(jié)合已知條件可求得點(diǎn)的軌跡方程，再與直線的方程聯(lián)立，即可得出結(jié)論.（1）解：因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)和，則圓的圓心在軸上，聯(lián)立，解得，圓的半徑為，故圓的方程為，圓的圓心為，半徑為，，故圓與圓外離；（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，，因?yàn)椋?，整理可得，?lián)立，解得或，故存在滿足條件的點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為或，使得.33．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第二十八中學(xué)高二月考）已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且截直線所得的弦長(zhǎng)為4.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，M為線段AB上一點(diǎn)且滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.①求曲線的方程，并說(shuō)明曲線的形狀；②在直線上是否存在異于原點(diǎn)的定點(diǎn)，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)，為定值，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）①，曲線是為圓心，為半徑的圓.②不存在，理由見解析.【分析】（1）令且，結(jié)合題設(shè)得圓為，聯(lián)立直線結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式列方程求參數(shù)m，進(jìn)而寫出圓的方程；（2）①設(shè)，，應(yīng)用坐標(biāo)表示，，再根據(jù)列方程組分別用表示、用表示，最后由點(diǎn)在圓上代入化簡(jiǎn)即可確定的方程，并說(shuō)明曲線的形狀即可.②設(shè)且，，不妨假設(shè)為定值，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式、在上化簡(jiǎn)并整理可得，則多項(xiàng)式方程中的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)均為0求參數(shù)，即可判斷存在性.（1）令且，易知圓的半徑為，∴圓的方程為，聯(lián)立，整理可得，若與圓交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為、，則，，∴，解得，又，即，∴圓的方程為.（2）①設(shè)，，則，，而，∴，則，又在圓上，∴曲線的方程為，故曲線是為圓心，為半徑的圓.②設(shè)且，，∴要使為定值，即為定值即可，則，∴，又，則，∴，∴，可得，又異于原點(diǎn)，∴不存在，使上任意一點(diǎn)有為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，利用兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，將一個(gè)未知曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示已知圓上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在圓上代入方程整理得曲線的方程即可；設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)比值為定值列方程并整理為含所設(shè)參數(shù)的整式方程形式，要使比值不受動(dòng)點(diǎn)的影響只需保證相關(guān)項(xiàng)的系數(shù)為0，列方程組求參數(shù)判斷存在性.34．（2021·安徽·高二月考）已知圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且截直線所得弦長(zhǎng)為.（1）求圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)圓C的方程為，結(jié)合題意得到關(guān)于的方程組，解方程組即可求出結(jié)果；（2）利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法即可求出結(jié)果.（1）設(shè)圓C的方程為，由圓C過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)知，∴，，∵圓心C到直線的距離，又，∴，即，∴，，，圓C的方程為.（2）設(shè)，則，，∵，∴∴∵點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)，∴，即，∴，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，以1為半徑的圓.35．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)中曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，若直線與圓交于、兩點(diǎn)，求、的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【分析】分別求出曲線與軸和軸的交點(diǎn)，設(shè)圓的方程，聯(lián)立方程組求出，，，從而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，由，再根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率的公式，即可求出、的中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】解：因?yàn)榍€與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，令時(shí)，得，則曲線與軸的交點(diǎn)為令時(shí)，則，解得：，，則曲線與軸的交點(diǎn)為，，設(shè)圓的方程為：，而點(diǎn)，，都在圓上，則，解得：，，，，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑為，由于直線，即，可知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，，又中點(diǎn)和定點(diǎn)在直線上，則，，而，則：，即；當(dāng)斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，此時(shí)，，則的中點(diǎn)也滿足，綜上得：的中點(diǎn)的軌跡方程為.36．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)中曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，若點(diǎn)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【分析】先求出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意求出圓心坐標(biāo)和半徑，即可寫出圓的方程，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合再根據(jù)轉(zhuǎn)移法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】曲線與軸的交點(diǎn)為，令，解得，即曲線與軸的交點(diǎn)為，故可設(shè)圓的圓心為，則有解得，則圓C的圓心為，半徑為，所以圓的方程為.設(shè)圓C上動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，則，由可得，即，代入圓C的方程，可得.即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為37．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)中曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，若點(diǎn)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【分析】先求解曲線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，繼而得到圓的方程為：，連接，分別取的中點(diǎn)，連接，可得在以為圓心，的圓上運(yùn)動(dòng)，即得解【詳解】由題意，曲線與軸的交點(diǎn)為令，解得故曲線與軸的交點(diǎn)為故圓心在直線的垂直平分線上，故可以設(shè)圓心且，故，解得圓的半徑所以圓的方程為：連接，分別取的中點(diǎn)，連接故，且，故在以為圓心，的圓上運(yùn)動(dòng)故的中點(diǎn)的軌跡方程為：38．（2021·江蘇·蘇州中學(xué)高二）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比為2，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)N在曲線C上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么圖形．【答案】（1）；（2）P的軌跡方程為：，是以為圓心，以為半徑的圓.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由比值列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)可得曲線的方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，相關(guān)點(diǎn)法列出關(guān)系式，代入曲線的方程化簡(jiǎn)，即可得到P的軌跡方程為以為圓心，以為半徑的圓.【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)，則，即，化簡(jiǎn)可