2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中模擬（選修一全冊：空間向量與立體幾何+平面解析幾何）（全解全析）

高二數(shù)學上學期期中考試模擬卷

（選修一全冊：空間向量與立體幾何+平面解析幾何）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：選擇性必修第一冊全部內(nèi)容。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.直線底+夕+1=0的傾斜角為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】B

【分析】將直線一般式化為斜截式，利用斜率與傾斜角的關系即可得解.

【詳解】因為直線氐+y+l=0,可化為>所以直線的斜率為-6,

笈=tan6=-G，0°<6?<180°

所以傾斜角為120。.

故選：B

2.已知空間三點4（1,3,-2卜3（2,5,1）,C（p+1,7,?）共線,則2和4的值分別是（）

A.3,6B.2,4C.1,4D.2,6

【答案】B

【分析】得到萬，就后借助空間向量共線計算即可得.

【詳解】在=（1,2,3）,AC=（p,4,q+2）,

123

貝！I有一=：=—",解得夕=2,q=4.

p4q+2

故選：B.

22

3.已知方程-----匚=1表示雙曲線，則加的取值范圍為（）

2+mm+1

A.m<-2B.加<一2或加>一1

C.加>—1D.-2<加<—1

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的概念，解不等式（2+加）（加+1）>0即可.

22

【詳解】因為方程———匚=1表示雙曲線，所以（2+加）（加+1）>0,

2+mm+1

解得加<一2或加〉一1.

故選：B

4.己知圓。|：卜一1）2+/=4與圓a：/+y2-4x+2y+3=0交于2,3兩點，則|/邳=（）

A.72B.272C.3A/2D.40

【答案】B

【分析】兩圓方程作差可得相交弦所在直線方程，利用垂徑定理可求得結(jié)果.

【詳解】兩圓方程作差可得直線的方程為：2%—2y—6=0,即x-y-3=0；

由圓a方程可得其圓心a（i,o）,半徑「=2,

二。1到直線48的距離d=—―-=V2,：,\AB\=2y）r2-d~=2-72.

故選：B.

5.已知拋物線/=2px（p>0）的焦點為元拋物線上一點P（U）滿足忸可=2,則拋物線方程為（）

A.歹2B.歹C.y2=2xD.y2=4x

【答案】D

【分析】由拋物線的焦半徑公式可得1+5=2,即可求得0,從而求解.

【詳解】由題意，得1+5=2,即p=2,

所以拋物線方程為r=4x.

故選：D.

22

6.已知橢圓C:二+匕=1的左、右焦點分別為斗鳥，點P在橢圓C上.若/耳生=60。，貝心片尸月的面積為

169

2

()

D.373

【答案】D

【分析】在△平鞏中，結(jié)合橢圓定義及勾股定理可得|尸國?〔即|=12,進而求得△耳咤的面積.

【詳解】由橢圓定義可得|尸￡|+|尸閶=20=8,出閶=2c=2716^9=277,

又因為/月和=60。，所以由勾股定理可得戶片『+忸/聯(lián)-2|尸片||P￡|cos60。=忸引、

即(四|+1尸外『-3閥卜|尸用=\FtF2「=28,解得1^1-1^1=12,

則好麻的面積為；|尸周.\PF2|sin60。=373.

故選：D.

7.點尸(-2,-1)到直線/:(l+3X)x+(l+7)j-2-4H=0(&R)的距離最大時，其最大值以及此時的直線方

程分別為()

A.J13;2,x-3y+1=0B.Jl1;3x+y-4=0

C.VH;3x+2y-5=0D.VH;2X-3J+1=0

【答案】C

【分析】由直線/的方程求出其所過定點坐標，由此確定最大距離及此時直線/的方程.

【詳解】直線/的方程(l+34)x+(l+吁2-4%=0可化為x+y-2+2(3x+>-4)=0,

x+y-2=0二1

3x+>-4=0=1

所以直線/經(jīng)過定點

當尸CJL/時，點尸到直線/的距離最大，最大距離為|PC|=J(-2_1)2+(-1-1)2=而,

因為直線尸C的斜率的c=W=g,PCn,

所以直線/的斜率分=-￡,

由j1+343

所以一==一5'

所以2(1+34=3(1+彳)，

3

所以2+62=3+32,故X=

所以直線/的方程為3尤+2y-5=0.

故選：C.

8.如圖，在棱長為2的正方體N2CD-4月GQ中，P為線段與。上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

2

B.當4P=2PC時，點功到平面42P的距離為:

C.當8/=2PC時，AP=^-

3

D.若開=：鴕,則二面角一4的平面角的正弦值為半

36

【答案】D

【分析】建立如圖的空間直角坐標系，利用反證法可判斷A的正誤，利用空間中的距離公式計算BC后可

判斷它們的正誤，利用向量法可求面面角的余弦值后結(jié)合同角的三角函數(shù)基本關系式計算后可判斷D的正

誤.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標系，則/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,。（0,2,0）,

4（0,0,2）,4（2,0,2）6（2,2,2）,。（0,2,2）,

4

對于A,設率=/庭=*0,2,-2）=（0,27,-2。（0?—1）,故尸（22,2-2/）,

故卒=(2,2f,-2f),而麗=(一2,2,0),

BD-AP4—4/

設直線4尸與8。所成的角為。，貝"ose=

阿|網(wǎng)272x"+4/+4/，

若直線4尸與5D所成的角是丁，則4-4/

62后2

整理得到：4r+4,+1=0,此方程在[0,1]上無實數(shù)解,

故直線4尸與8。所成的角不可能是冷，故A正確.

6

對于B,當與尸=2PC時，結(jié)合A中分析可得仁g,故2卜(]}

故而而四=(-2,0,2),設平面48尸的法向量為而=(x),z),

42

玩?取=0—yd——z=A0

則—即J33取％=2,貝！|尸一1,z=2,

市?BA1=O—2x+2z=0

故身=(2,-1,2),

ih?D[A2

又布=(0,-2,0),故。到平面A.BP的距離為

1?13,

故B正確.

對于C,當4P=2PC時，又B的分析可得尸Qgq],故石=[2,g,g

故網(wǎng)二和|=半="I故C正確.

___1__.1,24、

對于D,當用尸。時，結(jié)合8的分析可得/=[此時尸[2,§話〉

故而=m),而瓦小(-2,0,2),設此時平面48尸的法向量為為=(a,6,c),

24

n-BP=0一人+—。=0

則《即＜33取。=1,則6=-2,c=l,

心鳳=0

—2a+2c=0

故元=（1,—2,1）,

又乖=尸（2,|,-1}4X=（2,0,0）,

設平面4月尸的法向量為8=("/，M,

5

22

萬?港=02u+—v—w=0_,

則即33，取v=l,貝!|〃=0,w=l,

萬-A[B[=02u—0

故8=(0」,1),

2V3故二面角B-A.P-4的平面角的正弦值為返,

故cos§,方=

76x72-6，6

故D錯誤.

故選：D.

【點睛】方法點睛：立體幾何中，與角、距離等有關的計算，可以利用綜合法構造幾何對象并利用解三角

形的方法進行相關的計算，也可以利用幾何體的特征構建空間直角坐標系，把角、距離的計算問題歸結(jié)向

量的坐標運算.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量)=(1,1,0),3=(0,1,1),1=(1,2,1),則下列結(jié)論正確的是()

A.向量&與向量3的夾角為B

O

B.

c.向量m在向量B上的投影向量為

D.向量己與向量共面

【答案】BCD

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標表示得出向量夾角可判斷A；由向量數(shù)量積為0得到向量垂直可判斷B；

根據(jù)投影向量的定義可計算出投影向量從而判斷c,E=1+B得出向量共面可判斷D.

【詳解】因為K〉=lx0+lxl+lx0=l,所以WB|COS(B,@=1,

可得cos(B，W=11

jF+T+OxjT+F+O2'

則向量方與向量B的夾角為故A錯誤;

因為@_B=(l_0,l_l,0T=(l，0，T)，

c-(a=(1,2,1)-(1,0,-1)=lxl+2x0+lx(-l)=0,

6

所以"伍-B）,即B正確;

根據(jù)投影向量的定義可知，向量2在向量B上的投影向量為

木常彳（?！弧梗?八

|3|-cos^3,^^-11

22所以c正確;

由向量。=(1,1,0)/=(0,1,1),3=。,2,1),可知1+3,

向量0與向量方，共面，所以D正確.

故選：BCD.

10.已知直線x+岳-3=0被圓心在坐標原點的圓。所截得的弦長為2,則（）

A.圓。的方程是a'=4

B.直線/：x-3y+7=0與圓。相離

C.過點N（l,l）的直線被圓。所截得的弦的長度的最小值是2收

D.已知點〃是直線￡：x-〉+4=0上的動點，過點M作圓。的兩條切線，切點為C,。，則四邊形OCMD

面積的最小值是2

【答案】ABC

【分析】對于A,結(jié)合弦長，半徑和弦心距的關系計算即可求；對于B,計算弦心距，與半徑比較即可；

對于C,根據(jù)垂徑定理得弦的最小值是2面干肝，計算即可；對于D,數(shù)形結(jié)合即可知四邊形OCW

的面積S=2SOCM=2X1X2|CM|=2小。M『-4,計算即可.

【詳解】對于A,設圓C的方程為/+/=〃（，＞0）,

因為直線x+向-3=0與圓。相交所得的弦長為2,

所以圓。的方程為/+必=4故A正確;

7

對于B,圓心。至U直線/：X一3了+7=0的距離"=>2=r,

所以直線/：'-3y+7=0與圓。相離，故B正確;

7

對于C,因為圓。的圓心是0,半徑r=2,fi|O2V|=Vl7+l?=V2<2,

可知點N（l,l）在圓。內(nèi)，

過點的直線被圓。所截得的弦最短時，點是弦的中點，

根據(jù)垂徑定理得弦的最小值是2J，.?ON『=2夜,故C正確；

對于D,因為四邊形OCMD的面積S=2SOCM=2X|X2|CM|=2#OM『一4,

如圖，由數(shù)形分析可知：當OM_L乙時，|0”|取到最小值4=2a,,

所以四邊形OCMD面積的最小值為2x42可-4=4,故D錯誤.

故選：ABC

22

11.已知雙曲線C：三-A=l（a>0,6>0）的左右焦點分別為片，耳，且I4用=4,/、P、3為雙曲線上不

ab

同的三點，且/、8兩點關于原點對稱，直線尸/與尸8斜率的乘積為1,則下列正確的是（）

A.雙曲線C的實軸長為g

B.雙曲線C的離心率為近

C.若麗?成=0,則三角形平巴的周長為4+2指

D.2x-y的取值范圍為［&,+8）

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意可知閨閭=2c=4,設則鞏---弘）,左“％=1，代入可求解出

a=b,對A,根據(jù)°2=/+/,可求得實軸長為2a,可判斷；對B,根據(jù)離心率e=￡,可判斷選項；對

a

C,根據(jù)圖?麗=0,可知西上配，則同（+質(zhì)（=（2c）［西卜質(zhì)|=2。，可求得附|+|麗所以

三角形以笆的周長為|兩|+|府|+2。，可判斷；對D,設2x7=機與雙曲線聯(lián)立，若有解，需要90解

8

之可求出加取值，可判斷選項.

【詳解】根據(jù)題意可知忸周=2c=4,所以c=2,設，（碣M）,P（%,%）,則見F，-必）,

將/（X”J,,%）分別代入到雙曲線后相減可得字4=Z，kPA-kpB=止&-"1=1代入可求解出

'/、/x0-xiaxQ-x{x0+Xj

a=b9

對A,根據(jù)C2=/+62,解之可得.=行，所以雙曲線C的實軸長為2行，故A錯誤；

對B,根據(jù)離心率e=￡,將。=&"=2代入可得e=0,故B正確；

a

對C,根據(jù)兩?兩=0,可知西,至，貝］|對反『=（2C）2

|H-M|=2a，可求得同|+J司,+愿『+2恒川麗|=2V6,

所以三角形尸耳￡的周長為忸同+|垣|+2C=2&+4,故C正確；

對D,設2x-y=加與雙曲線X?—「=2聯(lián)立可得3/-4〃zx+加2+2=0,若有解,

需要△=16/-12（加2+2"0解之可求出加2指或機4_指，故D正確.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若兩條直線（3+〃z）x+4y+16=0與2x+（5+加）＞-8=0平行，則實數(shù)機的值為

【答案】-1

【分析】由兩條直線平行列式計算即得.

3+416

【詳解】由直線（3+7〃）x+4y+16=0與2》+（5+機）＞一8=0平行，得?=^-力:，

25+加-8

9

所以7〃=-1.

故答案為：-1

13.在正四面體P/3C中，AB=2,且瓦尸分別為/C,尸3中點，則斯的長為.

【答案】V2

【分析】以｛方，近，萬｝為基底表示出面?，然后利用|訪卜后7以及向量數(shù)量積運算來求得所的長.

【詳解】在正四面體P45C中，設彳§===

貝!==B.1=2x2xcos60°=2，

貝恒=或十萬^一/元+:⑷+砌=施一3十1

2]________________________________________

-1\/a-b一+c=--ja*23+b2+c2+2a-c-2a-b-2b-c=42

2、2

=-V22+22+22+2X2-2X2-2X2=6.

2

故答案為：V2.

14.已知月是橢圓］+/=l（a>6>0）的右焦點，點尸在橢圓上，（而+國）?兩=0,且"+四卜26,

則橢圓的離心率為.

【答案】見已出

33

【分析】由向量垂直關系得到。。,尸瑪，連接咫進而得到。。〃尸耳，再由橢圓的定義得到在比△/與鳥

中忸片「+|尸8『=山外「，代入數(shù)值后由離心率的定義解出離心率即可.

【詳解】設產(chǎn)區(qū)的中點為。，

則方+返=2而，由（而+函）?恒=0,

BPWQPF2=Q.所以。Q_LPg,

10

連接尸片可得。?！ㄊ?，所以尸片，利,

因為叵+恒卜26,即2國=26,即閥|=26.

所以|尸國=2"歸耳|=2a-26,

在RtZVT笆中，附『+|%|2=|片周二即（2?+（2。-26）2=4c?,y.c2=a2-b2,

i2

b2+a2+b2-lab=a2-b2所以3/72=2Q6,即一二；,

9a3

解得。子/尼普

故答案為：且.

3

【點睛】關鍵點點睛:

（1）在有向量乘積為零的關系時，可想到向量垂直的充分必要條件;

（2）解決離心率問題時可根據(jù)幾何關系構造凡瓦。的等式與橢圓的性質(zhì)相結(jié)合，解方程組.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）已知圓M過點（區(qū)-2）三個點.

（1）求圓M的標準方程；

⑵已知a+c=2b,直線辦+勿+c=0與圓〃相交于4,3兩點，求目的最小值.

【答案】⑴》?+（y+2）2=5

⑵4

【分析】（1）設圓的一般式方程，將點的坐標代入計算，即可求解，然后化為標準式即可；

（2）將c=26-a代入直線方程，可得直線過定點N（l,-2）,即可得到當兒時，|AB|最小，代入計

算，即可求解.

11

【詳解】(1)設圓的方程為V+V+Dx+妗+/=0,

\+D+F=0

代入各點得：，4+1+2。一￡+尸=0=＞。=0,￡=4,尸=一1,

5+4+阮)-2￡+/=0

所求圓的一般方程為：/+/+外一1=0標準方程為：/+(y+2)2=5.

(2)把c=26-a代入直線方程得：ax+by+2b-a=0,

/、/、.fx-1=0\x=1

即x-l"+y+2)6=0,令可得

[y+2=。[y=-2

所以直線過定點N(l,-2).

又卜1＜右，所以定點N在圓內(nèi)，

當ACV/48時，|AB|最小，此時|/叫=『=6，=

22

貝()\AB|min=2-＞jAM-MN=27r=4.

16.(15分)已知平面直角坐標系內(nèi)的動點尸(x,y)恒滿足：點P到定點尸(2,0)的距離與它到定直線x+2=0

的距離相等.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

⑵過點"(8,0)的直線/與(1)中的曲線C交于/,8兩點，O為坐標原點，證明：OAYOB.

【答案】(l)/=8x

⑵證明見解析

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義求解即可；

(2)設]:》=卯+8,聯(lián)立直線與拋物線的方程，得出韋達定理，再代入計算得萬.礪=0即可.

【詳解】(1)設點P的坐標由題設及拋物線的定義可知，

點P的軌跡為以尸(2,0)焦點，準線方程為x+2=0的拋物線，

故點P的軌跡C的方程為：y2=8x.

(2)證明：由(1)得，曲線C的方程為：/=8x.

由題設可知，直線1的斜率必不為0,故設/：》=沖+8,

\x=my+8

由＜20得：y~^my-64=0,A=64加2+4x64＞0，

[y=8x

12

設（。,（），則乂%，

Axi,yBx2,y2=-64XX=2L.21=（1%）=64.

128864

所以，厲?礪=再超+%％=64-64=0,故而，面即O/_LO8.

17.（15分）如圖，在四棱錐尸-48。中，平面P4D，平面4BCD,△尸/。為等邊三角形,

PD±AB,AD//BC,AD=2,AB=BC=1,”為尸/的中點.

⑴證明：DMLPB.

（2）求平面尸CD與平面P42所成二面角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵手

【分析】（1）取的中點。，連接尸O,C。，先證明尸OJ■平面/8CA,再證?平面P4D,最后證明

平面得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面尸N8和平面尸CD的法向量，利用向量法求解.

【詳解】（1）取的中點。，連接P。,。。，

因為△川￡>為等邊三角形，所以

又因為平面尸4DJ■平面48cD,平面尸40c平面48CZ>=4D,尸Ou平面尸4D,

所以PO_L平面/BCD,因為4Bu平面/BCD,所以48_LP。，

又PD_LAB,PDcPO=P,PD,POu平面PAD,所以4B_L平面尸4D.

因為DWu平面P/。，所以

又〃■是P工的中點，所以DWJ.PN,

因為平面P4B,且48npz=/,

所以DM，平面尸又因為尸8u平面尸48,

所以

（2）因為/。=2,8。=1,由（1）知四邊形/8C。為矩形，貝（J/8//OC,

13

又4B_L平面P4D,所以CO_L平面P4D,

以0為坐標原點，分別以。。,。。,。戶所在直線為x軸，》軸，z軸建立空間直角坐標系,

則P（0,0,石）,〃,。（1,0,0）刀（0,1,0）,歷=（0,1,-石）,而=（-1,1,0）,

I22J

取平面P/8的法向量為?！酢?0,-3-,V^3-

設平面PCD的法向量為m=(x,y,z),

mPD=0即°，令z=l,貝！==

則

m-CD=0[r+y=0

所以應=("31),

6「不

73-77-7

設平面尸CD與平面P4B所成二面角為。，

則|cos91=,所以sin6=Vl-cos20=,

所以平面PCD與平面PAB所成二面角的正弦值為里.

7

18.(17分)已知橢圓氏，■+，=l(a>6>0)經(jīng)過點(3,1),且離心率為半，。為坐標原點.

(1)求E的方程.

(2)過點尸(0,3)且不與V軸重合的動直線/與E相交于A,B兩點,AB的中點為Q.

(i)證明：直線/與。。的斜率之積為定值；

(ii)當△042的面積最大時，求直線/的方程.

14

22

【答案】⑴二+匕=1

124

⑵①證明見解析；②gx-如+3&=0或缶+辰-3而=0.

【分析】（1）根據(jù)已知點在橢圓上及離心率列方程組求解可得橢圓方程;

（2）設方程/:了=履+3,/（占,必）,85,％）,直線與橢圓聯(lián)立消去》利用韋達定理和斜率公式證明直線/與

OQ的斜率之積為定值；根據(jù)弦長公式和三角形面積公式求得直線斜率最后得到直線方程.

91,

￡=彳，解得，a=2-73,

【詳解】（1）由已知，得

a56=2,

a2=b2+c2,

①由題可設/：V=去+3,4（項,%）,8（%2/2）.

ST

將彳口4,

y=kx+3

消去y,得(1+3后2)/+18京+15=0.

-18左15

當A=4(36/—15)>0,即k2>—-時，有xl+x2=

1+3左2-1+3-

所以號=1,號3審+3二高，即。一943

1+3-'1+3后2

可得七。=一〉所以人心。=一:,即直線/與。°的斜率之積為定值?

15

②由(1)可知=+左之?,]一工2|=+左之)[(X]+%J-4西工2]

_2，1+/々36左2一15

-3-2+1

3

又點。到直線I的距離d=-^=,

y/1+k

所以△043的面積SOAB=-d-\AB\=3./T5.

iO^2113k2+\

a_3/_3627I27r3636廠

設=貝!|X"B=^T=K'">°''"+7N2Wx7=6"3'S"B=-^74法=243,

---1--tItHY

124tt

當且僅當"36,即左=±叵時等號成立，且滿足A>0.

6

所以當△048的面積最大時，直線I的方程為伍-布〉+3指=0或缶+鬲-3指=0.

【點睛】關鍵點點睛：求解面積最值的關鍵點是換元設國==/,把面積轉(zhuǎn)換為，的函數(shù)結(jié)合基本不等

式計算最值即可，注意取等條件是否符合題意.

丫2

19.(17分)己知點M(x。,為)為雙曲線5-「=1上的動點.

(1)判斷直線瞥-%〉=1與雙曲線的公共點個數(shù)，并說明理由；

(2)(i)如果把(1)的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應的結(jié)論？請寫出你的結(jié)論，不必證明；

(ii)將雙曲線C:餐-0,6>0)的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為三一4=0,請利用

abab

該方程證明如下命題：若