藝考生專題講義31 空間幾何體垂直關系

考點31空間幾何體垂直關系知識梳理一．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b二．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α三．證明線線垂直的思路精講精練題型一線面垂直【例1】3．(2024·江西吉安市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為正三角形，為的中點，求證：平面【答案】證明見解析【解析】∵為正三角形，為的中點，∴.∵，，為的中點.∴四邊形為平行四邊形，∴.又，∴，即.又，∴平面.【舉一反三】1．(2024·河南信陽市節(jié)選)如圖所示，四棱錐中，，，，平面，求證:平面【答案】證明見解析【解析】證明:，，又，，故，又平面平面，，又，平面.2．(2024·江西贛州市節(jié)選)如圖，已知三棱柱的所有棱長均為2，，證明：平面【答案】證明見解析【解析】證明：如圖取中點，連接．因為四邊形為菱形，所以又因為三棱柱的所有棱長均為2，，所以和是等邊三角形，所以因為平面，所以平面所以，而，所以平面3．(2024·山東德州市節(jié)選)如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為的正方形，為等邊三角形，分別為和的中點，且，證明:平面【答案】證明見解析【解析】如圖所示，連接，由是邊長為的正方形，因為是的中點，可得的中點，在中，因為分別是的中點，可得，又因為，所以，又由，且，所以平面.題型二面面垂直【例2】(2024·河南高三期末節(jié)選)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，，，是的中點，求證：平面平面【答案】證明見解析【解析】由題意可得，所以，因此.在直四棱柱中，平面，平面，所以又因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．【舉一反三】1．(2024·河南焦作市節(jié)選)如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，平面點為線段的中點，求證:平面平面【答案】證明見解析【解析】因為四邊形是菱形，所以因為平面平面所以又因為所以平面因為平面所以平面平面.2．(2024·山東青島市·高三期末節(jié)選)如圖，在直角梯形中，，，，，.將矩形沿翻折，使得平面平面，若，證明：平面平面【答案】證明見解析【解析】證明：連接，因所以因為平面平面，平面平面，所以平面因為平面，所以因為，所以平面因為平面，所以平面平面3．(2024·安徽馬鞍山市節(jié)選)如圖，BE，CD為圓柱的母線，是底面圓的內(nèi)接正三角形，M為BC的中點，證明：平面AEM⊥平面BCDE【答案】證明見詳解【解析】根據(jù)題意可得，.又為圓柱的母線，平面.，，平面.又平面，平面平面．題型三線線垂直【例3】(2024·江西宜春市·高安中學節(jié)選)如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，已知，E為的中點，求證【答案】證明見解析【解析】交點為，連接，是邊長為2的菱形，是的中點，，又平面，平面，，平面，平面，【舉一反三】1．(2024·江蘇南通市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，，，，為的中點，，求證：【答案】證明見解析【解析】取AC中點M，連接FM，DM，分別為AB，AC中點，，，四邊形DEFM是平行四邊形，，，平面ACD，，平面CDM，平面CDM，；2．(2024·山東德州市節(jié)選)如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點.(1)求證:;(2)求證:平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】證明：(1)連，，底面為菱形，是等邊三角形，，，又，，又面面，，，面面，.取的中點，連，，所以，又，，四邊形是平行四邊形，，又面面，面.3．(2024·山東棗莊市節(jié)選)如圖，四棱錐的側面是正三角形，