藝考生專(zhuān)題講義21 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

考點(diǎn)21導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)為該區(qū)間上的減函數(shù)．二者關(guān)系：(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件，這是因?yàn)閒′(x)>0能推出f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù)，但反之不一定．如函數(shù)f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，但f′(x)＝3x2≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要.(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的必要不充分條件(f′(x)＝0不恒成立)．二．已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(1)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則在區(qū)間D上f′(x)≥0恒成立；(2)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則在區(qū)間D上f′(x)≤0恒成立；(3)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在增區(qū)間，則f′(x)>0在區(qū)間D上有解；(4)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在減區(qū)間，則f′(x)<0在區(qū)間D上有解．精講精練題型一求單調(diào)區(qū)間【例1-1】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，由得，解得，因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.故選：C.【例1-2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間．(2)當(dāng)方程f′(x)＝0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，依照實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．(3)若導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開(kāi)．【舉一反三】1．函數(shù)y＝4x2＋eq\f(1,x)的單調(diào)增區(qū)間為()A．(0，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，－1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))【答案】B【解析】由y＝4x2＋eq\f(1,x)，得y′＝8x－eq\f(1,x2)，令y′>0，即8x－eq\f(1,x2)>0，解得x>eq\f(1,2)，∴函數(shù)y＝4x2＋eq\f(1,x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).故選B.2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．C．和 D．和【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?由，可得，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.3．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1，)處的切線(xiàn)方程為y=x，則函數(shù)的增區(qū)間為()A．(0，1) B．(0，) C．(，) D．(，1)【答案】C【解析】的定義域?yàn)椋吆瘮?shù)的圖象在點(diǎn)(1，)處的切線(xiàn)方程為y=x，∴解得：∴欲求的增區(qū)間，只需，解得：即函數(shù)的增區(qū)間為(，)故選：C題型二已知單調(diào)性求參數(shù)【例2-1】已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為．由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.【例2-2】若函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)樵诘淖畲笾禐椋?故選：A.【例2-3】)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，由題意可得存在，使得，即存在，使得，等價(jià)于，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易得，故選B.【舉一反三】1．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在時(shí)恒成立，即，，又在單調(diào)遞減，故，故．故選：B．2．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，即，∵，∴，故選：A.3．函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，即或(舍)在上恒成立，解得故選：D4．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，令，由于在都是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，又，解得.故選：D.題型三單調(diào)性的應(yīng)用【例3-1】已知函數(shù)，則不等式的解集為()A． B．C． D．【答案】A【解析】，是偶函數(shù)，，設(shè)，則，所以是增函數(shù)，時(shí)，，即時(shí)，，所以在上，是增函數(shù)．又是偶函數(shù)，所以不等式化為，所以，解得或．故選：A．【例3-2】已知且，且，，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，令，解得，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性易知，即，因?yàn)?，所以，，故選：A.【舉一反三】1．已知，，，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，時(shí)，，則在上遞減，時(shí)，，則在上遞增，由可得，化為∴，則，同理，；，，因?yàn)椋裕傻?，因?yàn)樵谏线f減，，∴，故選：C．題型四圖象問(wèn)題【例4】的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示，則函數(shù)的圖象最有可能是圖中的()

A． B．C． D．【答案】A【解析】由的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，可排除B、C、D．故選：A．【舉一反三】1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時(shí)，先正后負(fù)，所以在先增后減，因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選：D.2．己知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示，則的圖象是()A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象可知在上，，逐漸變大，故函數(shù)單調(diào)遞增，增加速度越來(lái)越快；在上，，逐漸變小，故函數(shù)單調(diào)遞增，增加速度越來(lái)越慢；在上，，逐漸變小，函數(shù)單調(diào)遞減，遞減速度越來(lái)越快；在上，，逐漸變大，函數(shù)單調(diào)