課時作業(yè)46 定點、定值、定直線（教師版）

課時作業(yè)46三定問題(定點、定值、定直線)1．(2024·江蘇常州市·高三一模)已知O為坐標系原點，橢圓的右焦點為點F，右準線為直線n.(1)過點的直線交橢圓C于兩個不同點，且以線段為直徑的圓經(jīng)過原點O，求該直線的方程；(2)已知直線l上有且只有一個點到F的距離與到直線n的距離之比為.直線l與直線n交于點N，過F作x軸的垂線，交直線l于點M.求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)設過點的直線為交于橢圓聯(lián)立消去y得又因為以線段為直徑的圓經(jīng)過原點，則則所求直線方程(2)已知橢圓的離心率為，右準線直線n的方程為，因為直線上只有一點到F的距離與到直線n的距離之比為，所以直線與橢圓相切，設直線的方程為，聯(lián)立消去y得到：①聯(lián)立點N坐標為得到,由①2(2024·山西臨汾市·高三一模())已知橢圓與雙曲線有兩個相同的頂點，且的焦點到其漸近線的距離恰好為的短半軸的長度．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作不垂直于坐標軸的直線與交于，兩點，在軸上是否存在點，使得平分？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明由．【答案】(1)；(2)存在點，使得平分．【解析】(1)由題意可得，雙曲線的焦點為，漸近線方程為：，則焦點到漸近線的距離為，所以，則橢圓的標準方程為；(2)存在點使得平分，由題知，直線的斜率存在且不為0，又直線過點，則設直線的方程為，，，，聯(lián)立方程，消去整可得：，所以，，因為，，，所以，即，因為，所以，即，則，化簡可得，因為，所以，綜上，存在點，使得平分．3．(2024·漠河市高級中學高三月考())已知橢圓的一個頂點恰好是拋物線的焦點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓的標準方程；(2)若過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線交橢圓于兩點，設點關于軸的對稱點為，當直線繞著點轉動時，試探究：是否存在定點，使得三點共線？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明由.【答案】(1)；(2)存在，定點為.【解析】(1)由題意，拋物線，可得焦點為，所以，又由雙曲線的離心率為，可得橢圓的離心率，可得，解得，即橢圓的標準方程為.(2)由直線不與坐標軸垂直，可設直線的方程為，其中，設點?，則點，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整得，由恒成立，且，，由橢圓的對稱性知，若存在定點，則點必在軸上，故假設存在定點，使得??三點共線，則，即，可得.故存在定點，使得??三點共線.4．(2024·山東煙臺市·高三一模)已知分別是橢圓的左?右焦點，為橢圓的上頂點，是面積為的直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明由.【答案】(1)；(2)是定值，定值為.【解析】(1)由為直角三角形，故，又，可得解得所以，所以橢圓的方程為；(2)當切線的斜率不存在時，其方程為將代入，得，不妨設，，又所以同當時，也有.當切線的斜率存在時，設方程為，因為與圓相切，所以即，將代入，得，所以又，又，將代入上式，得，綜上，.6．(2024·四川遂寧市·高三二模())如圖，已知橢圓：的左焦點為，直線與橢圓交于，兩點，且時，.(1)求的值；(2)設線段，的延長線分別交橢圓于，兩點，當變化時，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明由.【答案】(1)；(2)過定點，定點為.【解析】(1)設，則，由題意得焦點為所以，.當時，有.聯(lián)立得，，從而.將代入，得，即，所以或(舍)，故.(2)由(1)知，，橢圓：.設：，代入橢圓：，消去并整得，所以，而，所以，由韋達定得，所以.同：，即，，所以，所以，于是.所以直線：.令，得，將代入得，所以經(jīng)過定點.7．(2024·廣東汕頭市·高三一模)在平面直角坐標系中，為坐標原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．(1)求動點的軌跡方程；(2過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；①證明：直線恒過定點，并求出定點坐標．②求四邊形面積的最小值．【答案】(1)；(2)①證明見解析，定點坐標為；②.【解析】(1)設點，依題意，，所以動點的軌跡為橢圓(左、右頂點除外)，則，，，動點的軌跡方程是；(2)①若與軸重合，則直線與動點的軌跡沒有交點，不合乎題意；若與軸重合，則直線與動點的軌跡沒有交點，不合乎題意；設直線的方程為，則直線的方程為，直線、均過橢圓的焦點(橢圓內一點)，、與橢圓必有交點．設、，由，由韋達定可得，則，所以點的坐標為，同可得點，直線的斜率為，直線的方程是，即，當時，直線的方程為，直線過定點．綜上，直線過定點；②由①可得，，，同可得，所以，四邊形的面積為，當且僅當取等號．因此，四邊形的面積的最小值為.8．(2024·河南平頂山市·高三二模())已知橢圓的離心率，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點，在第一象限，且．(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在點，滿足對于過點的任一直線與橢圓的兩個交點，，都有為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明由．【答案】(1)；(2)存在點，滿足為定值．.【解析】(1)由，及，得，設橢圓方程為，聯(lián)立方程組得．則，所以．所以．所以橢圓的方程為．(2)當直線不與軸重合時，設，聯(lián)立方程組得．設，，，則有，．于是，若為定值，則有，得，．此時：當直線與軸重合時，，，也有．綜上，存在點，滿足為定值．9．(2024·北京平谷區(qū)·高三一模)已知橢圓的離心率為，并且經(jīng)過點．(1)求橢圓的方程；(2)設過點的直線與軸交于點，與橢圓的另一個交點為，點關于軸的對稱點為，直線交軸于點，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析．【解析】(1)由已知解得所以橢圓：．(2)證明：由已知斜率存在以下給出證明：由題意，設直線的方程為，，，則，由得，所以，，，，所以，即，直線的方程為，令得所以，令由得所以，所以=.10．(2024·河南新鄉(xiāng)市·高三二模())已知橢圓的左、右頂點分別為，，為上不同于，的動點，直線，的斜率，滿足，的最小值為-4.(1)求的方程；(2)為坐標原點，過的兩條直線，滿足，，且，分別交于，和，.試判斷四邊形的面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明由.【答案】(1)；(2)是定值，.【解析】(1)設，則，故，∴，又，由題意知：，解得，∴橢圓的方程為.(2)根據(jù)橢圓的