課時作業(yè)32 空間幾何體的體積及表面積（教師版）

課時作業(yè)32空間幾何體的體積及表面積1．(2024·安徽高三期末)如圖，在直四棱柱(側(cè)棱垂直底面的棱柱稱為直棱柱)中，底面是邊長為2的菱形，且，，點E，F(xiàn)分別為，的中點，點G在上．(1)證明：平面ACE．(2)求三棱錐B-ACE的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖所示：連接BD交AC于點O，則O為BD的中點，連接BF，OE，，則．∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．∵，∴平面平面ACE，∵平面，∴平面ACE．(2)在中，，，則AC邊上的高為1，，∴．又點E到平面ABC的距離為DE，且，，∵，∴．2．(2024·安徽六安市·高三一模)如圖，在四棱錐中，平面ABCD．，，，E是PD的中點．(1)證明：平面PBC；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：取PC的中點F，連接EF、BF，如圖所示：因為E、F分別為PD，PC的中點，所以且，又，，所以且所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面PBC，平面PBC所以平面PBC．(2)因為AB=1，，，所以，即，所以，即，因為E是PD的中點，所以，又，所以，所以，所以，所以.3．(2024·陜西西安市·高三一模)如圖在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.(1)證明：；(2)若M是棱上一點，三棱錐與三棱錐的體積相等，求M點的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)M點在上靠近P點的四等分點處.【解析】(1)連接且E是的中點，.又平面平面，平面平面平面.平面平面.又為菱形，且分別為棱的中點，.，又平面；平面.(2)如圖，連接，設(shè)，則，，，則，又..解得，即M點在上靠近P點的四等分點處.4．(2024·安徽池州市·高三期末)已知正方體，棱長為2，為棱的中點，為面對角線的中點，如下圖.(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)在正方體中，易知.(2)證明：取的中點分別為，連接，.因為，分別為，的中點，所以,又是正方體，所以平面所以平面，因為平面所以.因為，，，所以，所以，所以，所以.因為，所以平面，因為平面，所以.連接，，在正方體中，易知，所以.又，所以.又，平面，所以平面.5．(2024·六盤山高級中學(xué)高三期末)如圖，四邊形為矩形，且，，平面，，為的中點.(1)求證：；(2)若為的中點，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖，連接，∵為的中點，∴，，由，，得，∴，又得∴，又∵平面，且平面，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴.(2)如圖，取、的中點、，連接、.易得∵平面∴平面，又且∵，∴平面∵，，∴.法二：因為為的中點，所以.6．(2024·江西吉安市·高三其他模擬)如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，為的重心，，分別為，的中點，在上，且.(1)求證：平面；(2)若平面平面，，，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：連接，∵為的中點，為的重心，∴點一定在上，且，∵為的中點，∴，又，∴，即，∴，則，∵平面，平面，∴平面；

(2)解：延長，交于，由題設(shè)知，為的中點，∵是正三角形，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高，∵，∴，又，，∴，故.7．(2024·陜西寶雞市·高三一模)如圖三棱柱中，底面是邊長2為等邊三角形，，分別為，的中點，，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)詳見解析；(2).【解析】設(shè)，因為，所以，因為為的中點，所以，所以，即，所以四邊形是平行四邊形，所以四邊形是矩形，因為為的中點，所以，所以，，所以，即，因為三棱柱底面是等邊三角形，為的中點，所以，又，AB與相交，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；(2)由(1)知：平面，所以CE為三棱錐的高，且,

，，所以.8．(2024·全國高三專題練習(xí))如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=1，AC⊥BC，E在AB上，且BA=3BE，G在AA1上，且AA1=3GA1.(1)求三棱錐A1-ABC1的體積；(2)求證：AC1⊥EG.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1A1，所以B到平面ACC1A1的距離為1，所以=.(2)如圖所示：，在AC上取點D，使CD=CA，連接ED，DG，因為BE=BA，所以DEBC，又BC⊥平面ACC1A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又AC1?平面ACC1A1，所以DE⊥AC1.在正方形ACC1A1中，由CD=CA，A1G=A1A，得DG⊥AC1.又DE∩DG=D，所以AC1⊥平面DEG.所以AC1⊥EG.9．(2024·洛陽市教育局中小學(xué)教研室高三月考)如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，．(1)求證：；(2)求三棱柱的側(cè)面積．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)如圖所示：連接，∵，∴側(cè)面是菱形，∴，∵側(cè)面底面，且平面平面，，∴平面，又∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴；(2)如上圖：設(shè)棱的中點為，連，，則，∴底面．從而，由，，得：，，∴，在中，由余弦定得:，即，∴，由(1)知平面，∴，，又，∴三棱柱的側(cè)面積為．10．(2024·全國高三專題練習(xí))如圖所示，在直三棱柱中，為的中點，，，.(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求直三棱柱的表面積.【答案】(1)證明見解析；(2)60.【解析】(1)如圖所示，設(shè)與相交于點，連接，在中，為的中點，為的中點，所以，因為平面，平面，所以；(2)因為三棱錐的體積為，可得，解得，所以.11．(2024·全國高三專題練習(xí))如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3.

(1)求正三棱錐的表面積；(2)求正三棱錐的體積.【答案】(1)；(2).【解析】(1)取的中點D，連接，在中，可得.∴.∵正三棱錐的三個側(cè)面是全等的等腰三角形，∴正三棱錐的側(cè)面積是.∵正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，∴.則正三棱錐的表面積為；(2)連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.∴正三棱錐的體積為.12．(2024·山西呂梁市·高三一模)棱長為的正方體，為中點，為的中點．(1)求證：∥平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)見解析；(2).【解析】(1)如圖，連接，取的中點為，連接，因為，故，而平面，平面，故平面，因為，故，由正方體可得，故，而平面，平面，故平面，因為，而平面，故平面平面，而平面，故平面.(2)連接，因為為的中點，正方體的棱長為2，故，，.故.又，其中為點到平面的距離，故.13．(2024·江西新余市·高三期末)在四棱錐中，四邊形為正方形，平面平面為等腰直角三角形，．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為的中點，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：∵面面，且平面平面，，面面，又面又因為由已知且，所以面，又面∴面面.(2)中，，取的中點，連，則∵面面且它們交于面面由，由已知可求得，，，所以.所以點到平面的距離為.14．(2024·全國高三專題練習(xí))如圖，已知為等邊三角形，D，E分別為，邊的中點，把沿折起，使點A到達(dá)點P，平面平面，若.(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求直線到平面的距離.【答案】(1)；(2).【解析】(1)如圖所示，設(shè)的中點為O，的中點為F，連接，，，則.因為平面平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以，所以即為直線與平面所成的角.因為，則，所以.在中，，，所以.在中，，所以.(2)解法一：因為點D，E分別為，邊的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.由(1)知，平面，又，所以以點O為坐標(biāo)原點，，，所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，由得令，所以.因為，設(shè)點O到平面的距離為d，則.因為點O在直線上，所以直線到平面的距離等于.解法二：如圖，因為點D，E分別為，邊的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，所以.又，，所以平面.因為平面，所以平面平面.因為平面平面，作交于點G，則平面.在中，，所以，.因為點O在直線上，所以直線到平面的距離等于.15．(20