參數(shù)全分離、半分離、不分離

參數(shù)問(wèn)題的全分離、半分離、不分離一、參數(shù)全分離參數(shù)全分離法：是通過(guò)將兩個(gè)變量構(gòu)成的不等式(或方程)變形到不等號(hào)(或等號(hào))兩端，使兩端變量各自相同，解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法；兩個(gè)變量，其中一個(gè)范圍已知，另一個(gè)范圍未知.解決問(wèn)題的關(guān)鍵：分離變量之后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域的問(wèn)題.分離變量后，對(duì)于不同問(wèn)題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下結(jié)論均為已知x的范圍，求a的范圍；【結(jié)論1】不等式f(x)≥g(a)恒成立,等價(jià)于[f(【結(jié)論2】不等式f(x)≥g(a)存在解,等價(jià)于[f(【結(jié)論3】方程f(x)=g(a)解決問(wèn)題時(shí)需要注意：(1)確定問(wèn)題是恒成立、存在、方程有解中的哪一個(gè)；（2）確定是求最大值、最小值還是值域.2、典型例題【典例1】已知函數(shù)f(（1）當(dāng)a=1時(shí),討論f（2）當(dāng)x≥0時(shí),f(x解析:（1）當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)（2）由f(x)≥12當(dāng)x=0當(dāng)x>0時(shí),分離參數(shù)aa記gg令?則?故?′(x故?(x)由?(x)≥0故當(dāng)x∈(0,2)時(shí),g當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),g因此,[綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是7?【典例2】已知函數(shù)f(x)=1+ln?xx,如果當(dāng)x解析:∵x1+ln?即只需要k設(shè)g∴令?∴∵x>1,∴?∴?(x當(dāng)x≥1時(shí),∴所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(?∞,2].二、參數(shù)半分離什么是參數(shù)半分離？參數(shù)半分離是相對(duì)于參數(shù)全分離而言的，即把含有兩個(gè)變量的復(fù)雜不等式（或方程），化成一邊含有參數(shù)一邊不含有參數(shù)的兩個(gè)簡(jiǎn)單的，易作圖的函數(shù)（不含參數(shù)的一般都可以畫出圖像）.含參數(shù)函數(shù)的一般是一次函數(shù)，即動(dòng)直線，此動(dòng)直線有兩種形式，一是旋轉(zhuǎn)直線系，二是平行直線系.旋轉(zhuǎn)直線系過(guò)一定點(diǎn)，斜率不定.平行直線系斜率一定，但直線在x、y軸上的截距不定，也就是參數(shù)在一次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)中.而這種情況下參數(shù)很容易全分離出來(lái)，就是用參數(shù)全分離比較簡(jiǎn)單.而含參數(shù)的函數(shù)還有可能是二次函數(shù)（少數(shù)），而此時(shí)二次函數(shù)的對(duì)稱軸一般是固定的.那什么時(shí)候可應(yīng)用參數(shù)半分離呢？當(dāng)不能把參數(shù)完全分離時(shí)，有可能不容易畫出圖像，或者指數(shù)型函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)混合在一起，這個(gè)時(shí)候可以利用參數(shù)半分離的形式轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的一系列旋轉(zhuǎn)直線，或平移平行直線，與其他函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.2、典型例題【典型1】若存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x∈[0,t](t∈Z)解析：當(dāng)x=0當(dāng)x∈(0,x如圖1所示,y=|x?a|(圖1聯(lián)立y由y所以t的最大值為6.【典型2】已知a>0,函數(shù)f(x)=x2解析：兩重絕對(duì)值要脫去太難，因此轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再半分離當(dāng)x∈[?1,1]時(shí),x所以?2≤如圖2所示，圖2由y=1?x2與由y=5?x2與y=|所以a以上兩道例題都是轉(zhuǎn)化成動(dòng)直線與一個(gè)確定函數(shù)，下面則是二次函數(shù)和已確定函數(shù)【典型3】已知方程ln?|x|?ax2+解析：函數(shù)y=ln?|x|?ax2令g如圖3所示,顯然a≤0時(shí),g圖3當(dāng)a>0時(shí),g(x1所以,有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),0<因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,【典型4】討論關(guān)于x的方程2ln?x解析全分離法：分離參數(shù)得,t設(shè)ff因?yàn)閤?e與所以f(x)在(0,又當(dāng)x→0時(shí),f(x)→?∞,當(dāng)x故當(dāng)t>e2+2半分離法:原方程可變形為2ln?設(shè)g易得g(x)在(0,e又?(x如圖4所示，圖4當(dāng)t>e2+2三、參數(shù)不分離參數(shù)分離固然好用，但有時(shí)卻因在將參數(shù)分離出來(lái)時(shí)改變了函數(shù)的定義域，進(jìn)而導(dǎo)致原函數(shù)定義域中的某些值不能代入?yún)?shù)分離后的新函數(shù).這些不能代入的值通常是原函數(shù)的端點(diǎn)值，這時(shí)就需要用到超綱的洛必達(dá)法則！但有時(shí)不用分離參數(shù)，直接討論會(huì)更簡(jiǎn)單！【典例】設(shè)函數(shù)f(（1）當(dāng)a=12（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0解析:(2)參數(shù)分離法：由已知,f(x當(dāng)x=0時(shí)，a當(dāng)x>0時(shí),分離參數(shù)得所以令g(x求導(dǎo)得g′(x則?′所以?(x)所以?(x)>所以g(x)在g(0)不可求,0參數(shù)不分離：f(x令g若a≤1,則當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),g′(x所