江蘇省南通市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學考試

（上）高二期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.數(shù)列的通項公式可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】采用排除法以及檢驗法即可得解.【解析】當時，，故排除D，當時，，故排除BC，經(jīng)檢驗A選項符合題意.故選：A.2.圓和圓的位置關(guān)系為（）A相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】利用圓心距與半徑和差關(guān)系判定兩圓位置關(guān)系即可.【解析】易知圓和圓的圓心與半徑分別為：和，所以圓心距為，顯然，即兩圓相外切.故選：C3.某校文藝部有7名同學，其中高一年級3名，高二年級4名.從這7名同學中隨機選3名組織校文藝匯演，則兩個年級都至少有1名同學入選的選法種數(shù)為（）A.12 B.30 C.34 D.60【答案】B【解析】【分析】由題意共分兩種情況：①高一年級選1人，高二年級選2人，②高一年級選2人，高二年級選1人，由此即可求解.【解析】由題意共分兩種情況：①高一年級選1人，高二年級選2人，共有種選法；②高一年級選2人，高二年級選1人,共有種選法；由分類計數(shù)原理可得共有種選法.故選：B4.已知是拋物線的焦點，點在上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】代入點坐標求得，從而得焦點坐標，然后由焦半徑公式可得結(jié)論．【解析】由已知，，所以.故選：C．5.設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，則（）A.48 B.90 C.96 D.162【答案】B【解析】【分析】分和，利用等比數(shù)列前n項和公式列方程求解即可.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當時，，，無解不合題意；當時，，解得，.故選：B.6.已知橢圓，直線經(jīng)過點與交于兩點.若是線段中點，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【解析】設(shè)點、，則，因為，兩式作差得，即，即，所以，因此直線的方程為，即.故選：D.7.已知平行六面體中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的即可求出夾角的余弦值.【解析】，故，所以.故選：B.8.已知是雙曲線的右焦點，直線與交于兩點.若的周長為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求長，利用對稱性和雙曲線定義可得，由的周長可得，聯(lián)立求解得，然后根據(jù)的面積構(gòu)造齊次式可解.【解析】記雙曲線左焦點為，將代入解得，所以，由對稱性可知，，所以①，又的周長為，所以②，聯(lián)立①②求解可得，記AF的中點為D，則，所以，即，得，所以.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列等式中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式驗證．【解析】對于A，，，A錯；對于B，，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，∴，D正確．故選：BCD．10.已知曲線，則（）A.關(guān)于原點對稱 B.關(guān)于軸對稱C.關(guān)于直線對稱 D.為的一個頂點【答案】ACD【解析】【分析】用軸對稱和點對稱的定義逐一判斷即可.【解析】A:用和替換方程中的和，化簡后方程不變，故曲線E關(guān)于原點對稱，故A正確；B：用替換方程中的y，方程變?yōu)?，與原方程不同，故E不關(guān)于軸對稱，故B錯誤；C：用y替換方程中的x，同時用x替換方程中的y，方程不變，故E關(guān)于直線對稱，故C正確；D：用替換y，同時用替換x，方程不變，故E關(guān)于直線對稱，聯(lián)立，解得或,由頂點的定義知，是E的一個頂點，故D正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長為分別是棱的中點，則（）A. B.是平面的一個法向量C.共面 D.點到平面的距離為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量一一判定選項即可.【解析】如圖所示建立空間直角坐標系，易知，，對于A項，有，顯然，即不成立，故A錯誤；對于B項，有，易得，即是平面的一個法向量，故B正確；對于C項，有，易知，所以共面，故C正確；對于D項，有，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，即，故點到平面的距離，故D錯誤.故選：BC12.已知數(shù)列中，.在和之間插入1個數(shù)，和之間插入2個數(shù)，和之間插入個數(shù)，，使得構(gòu)成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則（）A.的公差為6B.和之間插入的2個數(shù)是19和25C.D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可判斷A；求出的通項公式可判斷BC；找出數(shù)列與的關(guān)系，由裂項相消法可判斷D.【解析】在和之間插入1個數(shù)，和之間插入2個數(shù)，在和之間插入3個數(shù)，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，故A正確；因為，和之間插入的2個數(shù)是，，故B正確；由題意可得前共插入個數(shù)，加上，則為等差數(shù)列的第21項，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以數(shù)列與滿足，，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線經(jīng)過的定點坐標為__________.【答案】【解析】【分析】把方程化為關(guān)于的等式，然后由恒等式知識求解．【解析】已知直線方程化為，由得，所以直線過定點．故答案為：．14.寫出符合下列兩個條件的一個雙曲線的標準方程為__________.①實軸長為4；②漸近線方程為【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意可求出a，然后在根據(jù)漸近線方程求出b，由于題目沒有告訴雙曲線的焦點在x軸上還是y軸上，所以需要分類討論.【解析】當雙曲線焦點在x軸上時，由題意可知:，此時雙曲線標準方程為.當雙曲線焦點在y軸上時，由題意可知：，此時雙曲線標準方程為.故答案為：或15.第三屆“一帶一路”國際高峰論壇于年月在北京召開，某記者與參會的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有__________種.【答案】【解析】【分析】先考慮代表甲與代表乙相鄰，利用捆綁法求出排法種數(shù)；然后考慮記者站兩端中的某個位置，且代表甲與代表乙相鄰，求出此時的排法種數(shù).再利用間接法可求得結(jié)果.【解析】只考慮代表甲與代表乙相鄰，只需將這兩人捆綁，與剩余人進行排序，共有種不同的排法，若記者站兩端中的某個位置，且代表甲與代表乙相鄰，則記者有種站法，然后將代表甲與代表乙捆綁，與剩余人進行排序，此時不同的站法種數(shù)為種，因此，若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.故答案為：.16.已知圓是上的兩個動點，且.設(shè)，，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由垂徑定理得到，得到點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，將轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，可看作點到直線的距離，結(jié)合點的軌跡方程，求出最大值，得到答案.【解析】由題意得，半徑為，由垂徑定理得⊥，則，解得，故點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，故點的軌跡方程為可看作點到直線的距離，同理，可看作點到直線的距離，設(shè)線段的中點為，故可看作點到直線的距離，點的軌跡方程為，故點到直線的距離最大值為圓心到的距離加上半徑，即，故，所以，故最大值為，故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.記為數(shù)列的前項和.（1）若為等差數(shù)列，且，求的最小值；（2）若為等比數(shù)列，且，求的值.【答案】（1）7（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列通項公式求得，進而求，解不等式即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項公式求得，，進而求，代入運算即可.【小問1解析】設(shè)的公差為，由條件可得，解得，由，解得或，且，所以的最小值為7.【小問2解析】設(shè)的公比為，由條件可得，即，解得，則，所以.18.如圖，在正四棱柱中，，，、分別為和的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算得出，即可證得結(jié)論成立；（2）計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1解析】證明：在正四棱柱中，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為，，則、、、，所以，.因為，所以，即.【小問2解析】解：由，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，即.設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.19.在平面直角坐標系中，已知直線經(jīng)過拋物線焦點，與交于兩點，與的準線交于點.（1）求的值；（2）若成等差數(shù)列，求.【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）首先由拋物線焦點求得其表達式，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程結(jié)合韋達定理以及數(shù)量積公式即可求解.（2），結(jié)合韋達定理可得，，結(jié)合弦長公式進一步即可求解.【小問1解析】因為拋物線的焦點為，所以，即所以的方程為.因為與與交于兩點，所以其斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，消得，易知，設(shè)，則.又，所以，所以.【小問2解析】因為成等差數(shù)列，所以，且，即，即，又，解得，由，解得.所以.20.如圖，在四棱錐中，平面，.（1）求二面角的正弦值；（2）在棱上確定一點，使異面直線與所成角的大小為，并求此時點到平面的距離.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量法求二面角；（2）設(shè)，由空間向量法求異面直線所成的角得出，再由向量法求點面距．【小問1解析】以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，則.設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)二面角的大小為，則，所以.【小問2解析】設(shè)，則.因為異面直線與所成角的大小為，所以，解得或（舍去）.此時，所以點到平面的距離.21.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和滿足.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由，構(gòu)造新的等比數(shù)列求解即可；已知與的關(guān)系，分，，檢驗求解即可；（2）利用錯位相減法求和即可.【小問1解析】由，得.因為，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以，即.當時，由，解得：當時，由，①得，②①-②，得，即，即.所以，所以，因為符合上式，所以.【小問2解析】由（1）知，所以③所以，④③-④，得，所以.22.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點作不與坐標軸垂直的直線交于兩點，點的坐標為.（1）證明：；（2）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，求的面積的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證，即證直線的斜率之和，聯(lián)立方程組，利用韋達定理得證；（2）由（1）及橢圓的對稱性可知，直