北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)

高二數(shù)學(xué)2024.1本試卷共6頁，滿分100分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共30分）一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．【解析】由，化簡得，所以直線斜率，又因?yàn)橹本€的傾斜角，所以，得，故A正確.故選：A.2.已知空間中直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，則（）A.直線與平面平行 B.直線在平面內(nèi)C.直線與平面垂直 D.直線與平面不相交【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線即可得是平面的一個(gè)法向量求解.【解析】由，，可得，所以，故是平面的一個(gè)法向量，故直線與平面垂直，故選：C3.設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，則F到其準(zhǔn)線的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求解出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，則結(jié)果可知.【解析】因?yàn)閽佄锞€方程，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選：B.4.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.1 B.3 C.5 D.8【答案】C【解析】【分析】利用及從而可求解.【解析】由題意知，所以，故C正確.故選：C.5.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的求法求得正確答案.【解析】由解得雙曲線的漸近線方程為.故選：A6.線上支付已成為當(dāng)今社會(huì)主要的支付方式，為了解某校學(xué)生12月份A，B兩種支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，對樣本中僅用一種支付方式及支付金額的人數(shù)情況統(tǒng)計(jì)如下：支付金額（元）支付方式大于1000僅使用A20人8人2人僅使用B10人6人4人從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，兩人支付金額均多于500元的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，分析事件后，再代入古典概型概率公式，即可求解.【解析】由表格數(shù)據(jù)可知，僅使用的有30人，其中支付金額多于元的有10人，僅使用的有20人，其中支付金額多于元的有10人，則僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，兩人支付金額均多于500元的概率.故選：D7.哈雷彗星大約每76年環(huán)繞太陽一周，因英國天文學(xué)家哈雷首先測定其軌道數(shù)據(jù)并成功預(yù)言回歸時(shí)間而得名.已知哈雷是1682年觀測到這顆彗星，則人們最有可能觀測到這顆彗星的時(shí)間為（）A.2041年～2042年 B.2061年～2062年C.2081年～2082年 D.2101年～2102年【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造等差數(shù)列求出其通項(xiàng)公式，給賦值即可．【解析】由題意，可將哈雷彗星的回歸時(shí)間構(gòu)造成一個(gè)首項(xiàng)是1682，公差為76的等差數(shù)列，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，，可預(yù)測哈雷彗星在本世紀(jì)回歸的年份為2062年．故選：B．8.在平面直角坐標(biāo)系中，M，N分別是x，y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則該圓半徑的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先確定以為直徑的圓過原點(diǎn)，則以原點(diǎn)到直線的距離為直徑的圓的半徑最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【解析】因?yàn)槭侵睆?，，所以原點(diǎn)在圓上，過作垂直直線，垂足為點(diǎn)，因?yàn)閳A與直線相切，所以要使圓的半徑最小，此時(shí)為圓的直徑，點(diǎn)到直線的距離所以圓的半徑的最小值為1.故選：B9.已知，則“，，，為等比數(shù)列”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及充分性，必要性知識即可求解.【解析】充分性：當(dāng)“，，，為等比數(shù)列”時(shí)，可得，故充分性滿足；必要性：當(dāng)“”時(shí)，不妨設(shè)，，此時(shí)“，，，為，，，不等比數(shù)列”，故必要性不滿足；所以“，，，為等比數(shù)列”是“”的充分不必要條件，故A正確.故選：A.10.曲線：，其中，均為正數(shù)，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)，時(shí)，曲線關(guān)于中心對稱B.當(dāng)，時(shí)，曲線是軸對稱圖形C.當(dāng)，時(shí)，曲線所圍成的面積小于D.當(dāng)，時(shí)，曲線上的點(diǎn)與距離的最小值等于【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給出的的值，A項(xiàng)從而可判斷求解，B項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)其曲線關(guān)于對稱，從而判斷求解；C項(xiàng)利用轉(zhuǎn)化法不難證明曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于或等于，從而可判斷求解；D項(xiàng)結(jié)合的取值范圍，即可判斷求解.【解析】對A：當(dāng)，時(shí)，，即，由函數(shù)為奇函數(shù)其關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以得關(guān)于中心對稱，故A正確.對B：當(dāng)，時(shí)，，對于曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于直線對稱，故B正確.對C：當(dāng)，時(shí)，，所以，，可知曲線圖象是一個(gè)封閉的圖形，所以可設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，且到原點(diǎn)距離，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即或，而此時(shí)，又因?yàn)榍€是個(gè)封閉圖形，所以其面積，故C錯(cuò)誤；對D：當(dāng)，時(shí)，，所以，，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即或時(shí)，有最小值，所以的最小值為，故D正確.故選：C.【小結(jié)】方法小結(jié)：C項(xiàng)中轉(zhuǎn)化法求出曲線上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離都大于或等于，從而可求解；D項(xiàng)中根據(jù)的取值范圍從而可求出最小值.第二部分（非選擇題共70分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.直線：的斜率為________；過點(diǎn)且垂直于的直線方程是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式方程即可求解斜率，根據(jù)垂直的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式即可求解直線方程.【解析】直線可化為，故斜率為，過點(diǎn)且垂直于的直線的斜率為1，故方程為，即故答案為：，12.如圖，已知M是正方體的棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為_________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)異面直線所成角的定義，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，再求解其余弦值.【解析】因?yàn)?，所以直線與所成角即為直線與所成角,即為所求角，，設(shè)正方體棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，,所以，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：13.已知圓，則圓心坐標(biāo)為_________；半徑為_________.【答案】①.②.1【解析】【分析】將圓的方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求圓心和半徑.【解析】將圓的一般方程，化簡為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓的圓心為，半徑為1.故答案為：；14.2023年10月第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京勝利召開.某校準(zhǔn)備進(jìn)行“一帶一路”主題知識競賽活動(dòng).要求每位選手回答A，B兩類問題，且至少一類問題的成績達(dá)到優(yōu)秀才能獲獎(jiǎng).已知張華答A，B兩類問題成績達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為0.6，0.5，則張華在這次比賽中獲獎(jiǎng)的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】由題意知可從反面考慮求出不獲獎(jiǎng)的概率，從而求解出獲獎(jiǎng)的概率，即可求解.【解析】由題意知，當(dāng)張華不獲獎(jiǎng)時(shí)的概率為，所以張華獲獎(jiǎng)的概率為.故答案為：.15.如圖，正方形的邊長為1，連接各邊的中點(diǎn)得到正方形，連接正方形各邊的中點(diǎn)得到正方形，依此方法一直進(jìn)行下去.記為正方形的面積，為正方形的面積，為正方形的面積，……..為的前項(xiàng)和.給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在常數(shù)，使得恒成立；②存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；③存在常數(shù)，使得恒成立；④存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，其中所有正確結(jié)論的序號是_________.【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)題意，正方形邊長成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長的平方，也為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式，然后逐項(xiàng)判斷即可求解.【解析】記第個(gè)正方形的邊長為，面積為，由每個(gè)正方形都是由上一個(gè)正方形各邊中點(diǎn)連接得到，可知第個(gè)正方形的邊長為，面積為，所以，又因?yàn)?，所以正方形面積構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，對①：，因?yàn)?，所以恒成立，故①正確；對②：當(dāng)時(shí)，即且為正整數(shù)，所以存在，故②正確；對③、④：，又因?yàn)?，所以，因此?dāng)時(shí)，恒成立，故③正確；因此當(dāng)時(shí)，恒成立，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.【小結(jié)】方法小結(jié)：本題主要是找到面積之間為公比為的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的求和公式及恒成立問題即可求解.三、解答題共5小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的關(guān)系即可求證，（2）利用法向量的夾角即可求解.【小問1解析】因?yàn)槭侵比庵?，所以底?因?yàn)榈酌?，底面，所以?因?yàn)椋鐖D建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，.因?yàn)镈，E分別為，的中點(diǎn)，所以，.所以，.因?yàn)榈酌?，所以是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，所以平?【小問2解析】因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，所以即令，則，.于是.設(shè)平面與平面的夾角為，所以.所以平面與平面夾角的余弦值為.17.2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)開幕式在杭州隆重舉行.為調(diào)查某地區(qū)全體學(xué)生收看開幕式的情況，采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：方式手機(jī)電腦電視未觀看頻率0.50.2010.2假定每人只用一種方式觀看，且每人觀看的方式相互獨(dú)立、用頻率估計(jì)概率.（1）若該地區(qū)有10000名學(xué)生，試估計(jì)該地區(qū)觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的學(xué)生人數(shù)；（2）從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人都觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的概率；（3）從該地區(qū)所有觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人中至少有1人使用電腦觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的概率.【答案】（1）8000（2）0.64（3）【解析】【分析】（1）首先求觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的學(xué)生的頻率，再求學(xué)生人數(shù)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，每個(gè)學(xué)生觀看亞運(yùn)會(huì)開幕式的概率，再利用獨(dú)立事件概率公式，即可求解；（3）首先求觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的學(xué)生中使用電腦觀看的頻率，再利用對立事件概率公式，即可求解.【小問1解析】因?yàn)樵摰貐^(qū)觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的學(xué)生的頻率為，所以該地區(qū)觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為.【小問2解析】設(shè)事件A：從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式.由頻率估計(jì)概率，得.設(shè)事件B：從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，這2名學(xué)生都觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式.由于這兩名學(xué)生觀看亞運(yùn)會(huì)開幕式相互獨(dú)立，則.【小問3解析】設(shè)事件C：從該地區(qū)所有觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生使用電腦觀看了開靠式，則.設(shè)事件D：從該地區(qū)所有觀看了亞運(yùn)會(huì)開幕式的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，至少1人用電腦觀看了開幕式，則.18.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）若，求的值；（2）從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使得單調(diào)遞增，求出的通項(xiàng)公式以及.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的知識及性質(zhì)，即可求解.（2）根據(jù)所給的三個(gè)條件中進(jìn)行分別計(jì)算是否滿足題意，從而求解.【小問1解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，，設(shè)的公比為，則.解得.所以.因?yàn)?，所?因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，所以公差，所以.【小問2解析】若選擇條件①因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，為等比數(shù)列，，，，設(shè)的公差為，所以，，所以不是遞增數(shù)列，故不符題意，所以不能選條件①.若選擇條件②因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，為等比數(shù)列，，，，設(shè)的公差為d，的公比為q，則即解得或（舍），故條件②符合題意，所以，.若選擇條件③因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，為等比數(shù)列，，，，所以，設(shè)的公差，所以，，所以不是遞增數(shù)列，故不符題意，所以不能選條件③.19.已知橢圓：，點(diǎn)，在上.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作與x軸不垂直的直線，與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線與軸交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)、若的面積為2，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入方程，求出系數(shù)即可.（2）用斜率表示關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再解方程求參數(shù)即可.【小問1解析】由題意得，則橢圓C的方程為，代入，可得.故橢圓C的方程為【小問2解析】第二問圖見下設(shè)直線的方程為，.由得.由，得.設(shè)，，則.，.直線的方程為，令，得.所以.因?yàn)?，所?經(jīng)檢驗(yàn)滿足.所以直線的斜率為.20.已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列：滿足，有.若等于中所有不同值的個(gè)數(shù)，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.（1）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P；①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.（2）已知數(shù)列：2，4，8，16，32，m具有性質(zhì)P，求出m的所有可能取值；（3）若一個(gè)數(shù)列：具有性質(zhì)P，則是否存在最小值?若存在，求出這個(gè)最小值，并寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列；若不存在，請說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）或（3）存在，4045；一個(gè)滿足條件的數(shù)列：1，3，5，…，4043，4047，4045【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)的定義進(jìn)行判斷即可求解.（2）由具有性質(zhì)，然后利用其性質(zhì)對分奇偶進(jìn)行討論即可求解.（3）根據(jù)具有性質(zhì)，然后利用其性質(zhì)分別對，分情況討論，從而其存在最小值，即可求解.【小問1解析】①：3，1，7，5，任意兩項(xiàng)和的結(jié)果有4，6，8，10，12共5個(gè)，而，所以具有性質(zhì)P.②：2，4，8，16，32，任意兩項(xiàng)和的結(jié)果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10個(gè)，而，所以不具有性質(zhì)P.【小問2解析】對于數(shù)列：2，4，8，16，32，m，任意兩項(xiàng)和不同的取值最多有15個(gè)，所以.而：2，4，8，16，32中任意兩項(xiàng)和的結(jié)果