初中數(shù)學(xué)同步九年級(jí)上冊(cè)華師版《壓軸題》專題03一元二次方程中含參數(shù)問(wèn)題的四種考法含答案及解析

專題03一元二次方程中含參數(shù)問(wèn)題的四種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用一元二次方程的定義求參數(shù) 2類型二、一元二次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值 3類型三、根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù) 5類型四、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù) 8壓軸能力測(cè)評(píng)（15題） 12解題知識(shí)必備1.一元二次方程的概念通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要點(diǎn)：識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.3.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根﹤0.4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.壓軸題型講練類型一、利用一元二次方程的定義求參數(shù)例1.（23-24八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【變式訓(xùn)練1】（2024八年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）關(guān)于的方程是一元二次方程，則值為（

）A．2或 B．2 C． D．且【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·廣西百色·期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．類型二、一元二次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值例2.1.（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是．例2.2.（2024·青海玉樹(shù)·三模）若是關(guān)于的方程的解，則的值為．【變式訓(xùn)練1】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值是．【變式訓(xùn)練2】（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為．【變式訓(xùn)練3】（2024·江蘇常州·二模）已知m為方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是．【變式訓(xùn)練4】（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知為方程的根，那么的值為類型三、根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)例3.（2024·甘肅金昌·三模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若為正整數(shù)，請(qǐng)用配方法求出此時(shí)方程的解．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)m取何值時(shí)，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期末）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)如果這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，其第三邊長(zhǎng)為4，求的周長(zhǎng)．類型四、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)例4.（23-24八年級(jí)下·四川成都·期中）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【變式訓(xùn)練1】（2024·四川南充·三模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍，(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，求的值．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求m的值．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·廣西賀州·期中）閱讀材料：材料：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，；根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)類比：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，則；；(2)應(yīng)用：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求的值；(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足，且，求的值．壓軸能力測(cè)評(píng)（15題）一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·北京昌平·期末）若是方程的一個(gè)解，則m的值為（

）A．2 B． C．0 D．42．（23-24八年級(jí)下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值為（

）A．0.5 B．1 C．1或-1 D．3．（23-24九年級(jí)上·河北邯鄲·期中）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A．2 B． C．2或 D．1或4．（2024·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C．， D．，5．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期末）對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法：①若，則方程必有一根為；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根；③若方程兩根為，且滿足，則方程的實(shí)數(shù)根為和；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值是．7．（23-24九年級(jí)上·甘肅武威·階段練習(xí)）若是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值是．8．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）如果關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且，則k的值是．9．（2024·上海·二模）如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)c的取值范圍是．10．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為方程的根，那么的值為．三、解答題11．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知是一元二次方程的一個(gè)根，求的值．12．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)判斷方程的根的情況．13．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)若該方程有一個(gè)根是，求k的值．(2)若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．(3)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求k的值．14．（23-24八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知的一條邊的長(zhǎng)為5，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，是以為斜邊的直角三角形；(3)當(dāng)m為何值時(shí)，是等腰三角形，并求的周長(zhǎng)．15．（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程是“鄰根方程”．(1)通過(guò)計(jì)算，判斷方程是否是“鄰根方程”；(2)已知關(guān)于x的方程（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，求m的值：(3)若關(guān)于x的方程（a，b是常數(shù)，且）是“鄰根方程”，令，試求t的最大值．

專題03一元二次方程中含參數(shù)問(wèn)題的四種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用一元二次方程的定義求參數(shù) 2類型二、一元二次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值 3類型三、根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù) 5類型四、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù) 8壓軸能力測(cè)評(píng)（15題） 12解題知識(shí)必備1.一元二次方程的概念通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要點(diǎn)：識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.3.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根﹤0.4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.壓軸題型講練類型一、利用一元二次方程的定義求參數(shù)例1.（23-24八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．理解一元二次方程的定義，需要抓住兩個(gè)條件：①二次項(xiàng)系數(shù)不為0；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；結(jié)合一元二次方程的定義，可以得到關(guān)于的方程和不等式，求解即可得到的值．【詳解】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，，解得．故選：C．【變式訓(xùn)練1】（2024八年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）關(guān)于的方程是一元二次方程，則值為（

）A．2或 B．2 C． D．且【答案】C【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，∴且，解得．故選：C．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·廣西百色·期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義，得到關(guān)于a的不等式，解之即可.【詳解】解：∵方程是關(guān)于的一元二次方程，∴的系數(shù)不為0，即，∴，故選：A.【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此可得，解之即可得到答案．【詳解】解：∵是一元二次方程，∴，解得，故選：B．類型二、一元二次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值例2.1.（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是．【答案】2【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值．【詳解】解：把代入，可得出，解得：，故答案為：2．例2.2.（2024·青海玉樹(shù)·三模）若是關(guān)于的方程的解，則的值為．【答案】【分析】本題考查了方程的解的定義、代數(shù)式求值，根據(jù)方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，把代入原方程得出，整理為，整體代入計(jì)算即可，熟練掌握方程的解的定義、代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的解，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的一個(gè)根是，將代入原方程得到關(guān)于的一元一次方程進(jìn)而即可解答．本題考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，∴將代入方程得：，解得：，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)m是方程的一個(gè)根，可得出，再化簡(jiǎn)代數(shù)式，整體代入即可求解．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】（2024·江蘇常州·二模）已知m為方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)方程解的定義，化簡(jiǎn)關(guān)于m的方程，然后整體代入求值，掌握方程解的定義和整體代入的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】∵m為方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練4】（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知為方程的根，那么的值為【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義；將方程的根代入方程，化簡(jiǎn)得，將代數(shù)式變形，整體代入求值即可．【詳解】∵為方程的根，∴，∴，∴原式．故答案為：．類型三、根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)例3.（2024·甘肅金昌·三模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判別式．（1）利用配方法解方程即可；（2）根據(jù)一元二次方程跟的判別式，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，配方，得，解得；（2）解：∵該方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得，即若該方程有實(shí)數(shù)根，的取值范圍是．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若為正整數(shù)，請(qǐng)用配方法求出此時(shí)方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】本題考查一元二次方程根的判別式及用配方法解方程，（1）由關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義可得且，即，兩個(gè)不等式的公共解即為的取值范圍；（2）求出的值，用配方法解方程即可；解題的關(guān)鍵是掌握：式子是一元二次方程根的判別式，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴且，解得：且，∴的取值范圍為且；（2）∵且，且m為正整數(shù)，∴，∴原方程為，∴，∴，∴，∴，∴此時(shí)方程的解為：，．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)m取何值時(shí)，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了根的判別式，熟知根的判別式為是解題的關(guān)鍵．（1）利用判別式的意義得到，根據(jù)題意可得，即可解答；（2）利用判別式的意義得到，根據(jù)題意可得，即可得到m的最小整數(shù)值．【詳解】（1）解：關(guān)于x的一元二次方程，可得，當(dāng)，即時(shí)，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴；∴m的最小整數(shù)值為．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期末）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)如果這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，其第三邊長(zhǎng)為4，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)的周長(zhǎng)為11或10．【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，根據(jù)根的情況求參數(shù)和等腰三角形的性質(zhì).（1）先計(jì)算出，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可證明．（2）分兩種情況計(jì)算，當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，代入方程，求出k值，得出方程，進(jìn)而求得方程的另一個(gè)根，當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為4時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，∵，即，∴無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，把代入，得，，解得；方程化為，則其另一個(gè)解為，此時(shí)的周長(zhǎng)為．當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為4時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，此時(shí)方程化為，即,解得：，此時(shí)的周長(zhǎng)為．綜上所述，的周長(zhǎng)為11或10．類型四、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)例4.（23-24八年級(jí)下·四川成都·期中）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得到判別式非負(fù)，解不等式即可得到答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，代入，解方程得或5，再由（1）中即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，解得；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，∴∵，∴，，解得或5，由（1）知，則．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程綜合，涉及由一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍、解不等式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2024·四川南充·三模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍，(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，求的值．【答案】(1)(2)13【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了根的判別式．（1）根據(jù)根的判別式的意義得到，然后解不等式即可；（2）時(shí)，方程變?yōu)椋酶c系數(shù)的關(guān)系得到，，再將變形代入求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得；（2）解：時(shí)，方程變?yōu)?，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，，，．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入得出關(guān)于的方程，解之可得答案．本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握，是方程的兩根時(shí)，，．【詳解】（1）證明：，∵無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，由，得，解得．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·廣西賀州·期中）閱讀材料：材料：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，；根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)類比：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，則；；(2)應(yīng)用：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求的值；(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足，且，求的值．【答案】(1)，(2)(3)的值為【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及巧妙使用整體思想是解題的關(guān)鍵．（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問(wèn)題．（2）將所給代數(shù)式轉(zhuǎn)化為m與n的和與積的形式即可解決問(wèn)題．（3）將s和t看作方程的兩個(gè)根即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：，，故答案為：，（2）解：根據(jù)題意，一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，∴，∴；（3）解：∵實(shí)數(shù)s，t滿足，且，∴實(shí)數(shù)s，t是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴．壓軸能力測(cè)評(píng)（15題）一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·北京昌平·期末）若是方程的一個(gè)解，則m的值為（

）A．2 B． C．0 D．4【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的解，將方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解滿足方程是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：把代入可得出：，解得：，故選：B．2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值為（

）A．0.5 B．1 C．1或-1 D．【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程的解，把代入計(jì)算即可．【詳解】把代入方程中，得，解得，當(dāng)時(shí)，原方程二次項(xiàng)系數(shù)，舍去，故選：D．3．（23-24九年級(jí)上·河北邯鄲·期中）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A．2 B． C．2或 D．1或【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其定義“方程的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程”．根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．【詳解】解：是關(guān)于的一元二次方程，，，又，，，故選：B．4．（2024·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C．， D．，【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．由于關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，由此可以得到，并且方程的判別式，由此即可求出的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，且．故選C．5．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期末）對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法：①若，則方程必有一根為；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根；③若方程兩根為，且滿足，則方程的實(shí)數(shù)根為和；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個(gè)判斷排除．【詳解】解：①若，則是方程的解，故①正確；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，∴，即a和c異號(hào)，則方程的判別式，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴∴方程的兩個(gè)根異號(hào)，故②錯(cuò)誤；③∵方程兩根為，且滿足，∴，令，，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令兩根分別為，∴，，∴方程，必有實(shí)根，，故③正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：，，，故④正確．故正確的有①③④．故選：C．二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．【詳解】∵方程是關(guān)于的一元二次方程，∴且，∴且，∴，故答案為：．7．（23-24九年級(jí)上·甘肅武威·階段練習(xí)）若是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值是．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即形如的整式方程判斷．本題考查了一元二次方程的定義即形如的整式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，解得，或，故，故答案為：．8．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）如果關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且，則k的值是．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，由根于系數(shù)的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用k表示出,然后根據(jù)結(jié)合完全平方公式得到關(guān)于k的方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵∴，∴，解得：．故答案為：．9．（2024·上?！ざ＃┤绻P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)c的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查根的判別式，分和兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，∴，解得：，且；綜上：；故答案為：．10．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為方程的根，那么的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了代數(shù)式的變形，利用整體代入法的思想是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，然后對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將整體代入即可．【詳解】解：∵a為方程的根，∴，∵，將代入，則原式，故答案為：．三、解答題11．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知是一元二次方程的一個(gè)根，求的值．【答案】2【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，根據(jù)是一元二次方程的一個(gè)根，得出，，再整體代入求解即可．【詳解】解：由題意，將代入方程，得，∴，，∴，∴的值為2．12．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)判斷方程的根的情況．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，對(duì)于一般形式有：（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．（1）根據(jù)一元二次方程的判別式求解即可；（2）根據(jù)題意分和且兩種情況討論，然后利用一元二次方程的判別式求解即可．【詳解】（1）∵關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根∴解得；（2）∵方程∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程為∴方程為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)且時(shí)，方程為一元二次方程∴∵∴∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．13．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)若該方程有一個(gè)根是，求k的值．(2)若該方程