初中數(shù)學(xué)同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題11全等三角形模型之一線三等角和三垂直模型含答案及解析

專題11全等三角形模型之一線三等角和三垂直模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2模型一、一線三等角模型 2模型二、分三垂直模型 5壓軸能力測評 9模型三、一線三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.模型四、三垂直全等模型【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直?！境Ｒ娔Ｐ汀磕Ｐ鸵?、一線三等角模型例．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是和，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)C，連接，．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．【變式訓(xùn)練2】．課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【變式訓(xùn)練4】．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接、，若，，則的長為．

【變式訓(xùn)練5】．如圖，在等腰中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的面積為．【變式訓(xùn)練6】．（1）如圖（1），在中，，，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，直線m于點(diǎn)D，直線m于點(diǎn)E．求證：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

【變式訓(xùn)練7】．如圖，在中，．(1)如圖1，直線過點(diǎn)B，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，且，求證：．(2)如圖2，直線過點(diǎn)B，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，且，則是否成立？請說明理由！【變式訓(xùn)練8】．在直線m上依次取互不重合的三個點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有，且滿足．【積累經(jīng)驗(yàn)】（1）如圖1，當(dāng)時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是______；【類比遷移】（2）如將2，當(dāng)時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，是鈍角，，，，直線m與CB的延長線交于點(diǎn)F，若，的面積是12，請直接寫出與的面積之和．【變式訓(xùn)練9】．如圖，在中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．

(1)當(dāng)時，°，°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，，請說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)．若不可以，請說明理由．模型二、分三垂直模型例．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【變式訓(xùn)練1】．如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【變式訓(xùn)練2】．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸的負(fù)半軸和正半軸上，以AB為邊向上作正方形ABCD，四邊形OEFG是其內(nèi)接正方形，若直線OF的表達(dá)式是y＝2x，則的值為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練4】．如圖，在中，，，分別過點(diǎn)，作經(jīng)過點(diǎn)的直線的垂線段，，若，，則的長為．【變式訓(xùn)練5】．如圖，，分別是正方形的邊，上的點(diǎn)，且，，相交于點(diǎn)，則與的數(shù)量與位置關(guān)系為．【變式訓(xùn)練6】．某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．(1)如圖1．已知：在中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．(2)組員小明對圖2進(jìn)行了探究，若，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．他發(fā)現(xiàn)線段、、之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫出段、、之間的數(shù)量關(guān)系，(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運(yùn)用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形（正方形的4條邊都相等，4個角都是直角），是邊上的高，延長交于點(diǎn)，若，，求的長．【變式訓(xùn)練7】．在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，，，求線段的長．【變式訓(xùn)練8】．如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到①的位置時，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到②的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到③的位置時，試問、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系，不需要證明．【變式訓(xùn)練9】．（1）模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應(yīng)用：①已知直線y＝x+3與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC，過點(diǎn)A，C作直線，求直線AC的解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為(8，6)，A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點(diǎn)，已知點(diǎn)D在第一象限，且是直線y＝2x﹣5上的一點(diǎn)，若△APD是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．1．如圖，為等腰直角三角形，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB為邊向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，點(diǎn)G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面積為16，則圖中陰影部分的面積是．3．如圖，中，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．4．如圖1，在中，，，于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，射線，分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，如圖2所示，直接寫出：①與之間的數(shù)量關(guān)系：_____________________；②與之間的數(shù)量關(guān)系：_______________________；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時（不與端點(diǎn)重合），如圖1所示，則與之間的數(shù)量關(guān)系：．5．綜合與實(shí)踐：如圖1，已知中，，，、分別與過點(diǎn)的直線垂直，且垂足分別為，．(1)猜想線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點(diǎn)的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部，其他條件不變，線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請說明理由；6．已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，且．(1)求出m，n的值；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明為等腰直角三角形；(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），使得是以為直角邊的等腰直角三角形，請求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．7．如圖，在中，，點(diǎn)D是線段BC上一個動點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，且，．垂足E在的延長線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，線段和的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由．8．如圖，在中，，，為的中線，D在上，，垂足為H，連接．求證：(1)；(2)．9．在平面直角坐標(biāo)系中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且a、b滿足，點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸向右運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿y軸向下運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，連接、，的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，在坐標(biāo)平面內(nèi)以線段為斜邊作等腰直角，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．10．感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，點(diǎn)A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點(diǎn)含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：(1)如圖2，中，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，過A作于點(diǎn)D，過B作于點(diǎn)E．求證：．(2)如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，，求點(diǎn)C到邊的距離．(3)如圖4，在中，E為邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一點(diǎn)．若，求的值．

專題11全等三角形模型之一線三等角和三垂直模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2模型一、一線三等角模型 2模型二、分三垂直模型 13壓軸能力測評 27模型三、一線三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.模型四、三垂直全等模型【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直?！境Ｒ娔Ｐ汀磕Ｐ鸵?、一線三等角模型例．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是和，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)C，連接，．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作，并作軸于點(diǎn)，首先確定為等邊三角形，然后利用“一線三等角”證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的方法求出和，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作，并作軸于點(diǎn)，

由題意，為等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，理解等邊三角形的性質(zhì)，靈活構(gòu)造全等三角形并證明是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】要求的面積，想到過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)轭}目已知，想到把放在直角三角形中，所以過點(diǎn)作，垂足為，利用勾股定理求出的長，最后證明即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，的面積，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線．【變式訓(xùn)練2】．課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【分析】設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，然后證明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，由題意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CD=BE=2xcm，∵，，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【變式訓(xùn)練4】．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接、，若，，則的長為．

【答案】10【分析】先證明，再證明，即可作答．【詳解】，又，，，，，，，，，，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】．如圖，在等腰中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的面積為．【答案】8【分析】由線段CD的長求的面積，故過B作CD的垂線，則由三角形面積公式可知：，再由題中的和等腰直角三角形ABC，即可求證，最后由即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作CD的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)E故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的證明、輔助線的畫法、等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積公式，屬于中檔難度的幾何證明題．解題的關(guān)鍵是由三角形面積公式畫出合適的輔助線．【變式訓(xùn)練6】．（1）如圖（1），在中，，，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，直線m于點(diǎn)D，直線m于點(diǎn)E．求證：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）由直角三角形的性質(zhì)及平角的定義得出，可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可；（2）與（1）類似，可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可．【詳解】解：（1）∵直線m，直線m，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴．（2）成立．證明如下：∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，∴．【變式訓(xùn)練7】．如圖，在中，．(1)如圖1，直線過點(diǎn)B，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，且，求證：．(2)如圖2，直線過點(diǎn)B，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，且，則是否成立？請說明理由！【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)綜合，利用題目中的已知條件導(dǎo)角，可推導(dǎo)，最后證明，直接可證．（2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性質(zhì)導(dǎo)邊即可證明．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)M，于點(diǎn)N；∴；∴；∵，∴；∴；在和中，∴；∴，；∴．（2）成立．理由如下：設(shè)；∴；∴；在和中；∴；∴，；∴；故成立．【變式訓(xùn)練8】．在直線m上依次取互不重合的三個點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有，且滿足．【積累經(jīng)驗(yàn)】（1）如圖1，當(dāng)時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是______；【類比遷移】（2）如將2，當(dāng)時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，是鈍角，，，，直線m與CB的延長線交于點(diǎn)F，若，的面積是12，請直接寫出與的面積之和．【答案】（1）；（2）仍然成立，理由見解析；（3）與的面積之和為4．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）由得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合得證，最后得到；（2）由得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合得證，最后得到．（3）由，得出，由證得，得出，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出F即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1），理由如下，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）仍然成立，理由如下，∵，，，∵，∴，∴，；（3）∵，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，∴，，∵，∴，∵，∴與的面積之和為4．【變式訓(xùn)練9】．如圖，在中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．

(1)當(dāng)時，°，°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，，請說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)．若不可以，請說明理由．【答案】(1)；；小(2)當(dāng)時，(3)可以；的度數(shù)為或【分析】（1）由已知平角的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)而求得，即可判斷點(diǎn)從向運(yùn)動過程中，逐漸變?。唬?）當(dāng)時，由已知和三角形內(nèi)角和定理可得，，等量代換得，又由，可得；（3）根據(jù)等腰三角形的判定定理，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）解：，，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸變小，故答案為：；；?。?）解：當(dāng)時，，理由：，，又，∴，，又，，；（3）解：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時，的形狀是等腰三角形；理由：時，，，，，，是等腰三角形；時，，，，，的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．模型二、分三垂直模型例．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本題可通過全等三角形來求BE的長．△BEC和△CDA中，已知了一組直角，∠CBE和∠ACD同為∠BCE的余角，AC=BC，可據(jù)此判定兩三角形全等；那么可得出的條件為CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的長即可．而CD的長可根據(jù)CE即AD的長和DE的長得出，由此可得解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是3cm．故選C．【點(diǎn)睛】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．【變式訓(xùn)練1】．如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm【答案】C【詳解】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考慮證明△ACD和△CBE全等，可以證明DE的長為7塊磚的厚度的和．【分析】解：由題意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸的負(fù)半軸和正半軸上，以AB為邊向上作正方形ABCD，四邊形OEFG是其內(nèi)接正方形，若直線OF的表達(dá)式是y＝2x，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)易得，從而可得、，設(shè)OB=a，BG=b，可得F點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)F點(diǎn)在直線OF上，可求出，然后即可根據(jù)正方形面積和勾股定理求出面積比．【詳解】解：在正方形ABCD，正方形OEFG中，，，∴，∴，在和中，∴（AAS）∴、，設(shè)、，∴，，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為，∵直線OF的表達(dá)式是y＝2x，∴，∴，∴，=，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方形性質(zhì)求證（AAS），從而用參數(shù)表示點(diǎn)F坐標(biāo)，再直線OF解析式求出線段之間關(guān)系．【變式訓(xùn)練4】．如圖，在中，，，分別過點(diǎn)，作經(jīng)過點(diǎn)的直線的垂線段，，若，，則的長為．【答案】6【分析】利用垂直的定義得到，由平角的定義及同角的余角相等得到，利用證得，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到，，由即可求出長．【詳解】解：，，，，，，在和中，，∴，，，則．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)由平角的定義及同角的余角相等證得是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】．如圖，，分別是正方形的邊，上的點(diǎn)，且，，相交于點(diǎn)，則與的數(shù)量與位置關(guān)系為．【答案】相等且垂直【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF．【詳解】解：AE=BF，且AE⊥BF，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=BC，∠ADE=∠BAF=90°，∵CE=DF，,∴AF=DE，在△BAF和△ADE中，∴△BAF≌△ADE（SAS），∴AE=BF，,又∵,∴，∴,∴AE⊥BF．故答案為：相等且垂直．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明，解題關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)和證明全等的方法．【變式訓(xùn)練6】．某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．(1)如圖1．已知：在中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．(2)組員小明對圖2進(jìn)行了探究，若，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．他發(fā)現(xiàn)線段、、之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫出段、、之間的數(shù)量關(guān)系，(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運(yùn)用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形（正方形的4條邊都相等，4個角都是直角），是邊上的高，延長交于點(diǎn)，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直線l，直線l，，可得，利用可證明，根據(jù)即可得到；（2）同（1）利用可證明，根據(jù)即可得到；（3）過作于，的延長線于，可構(gòu)造兩組一線三直角全等模型，即：，，從而可以得到，，再根據(jù)可得，即可確定的長度；【詳解】（1）證明：∵直線l，直線l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，，∴；（2）∵直線l，直線l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，，∴；（3）如圖，過作于，的延長線于，∴∵，，∴在和中，，∴∴，，同理可得：∴，，即：，，在和中，，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，一線三直角全等模型，線段之間的計算，構(gòu)造合理的輔助線及掌握等腰直角三角形下的一線三直角全等模型是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7】．在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，，，求線段的長．【答案】(1)見解析，見解析；(2)．【分析】（1）由已知推出，因?yàn)?，，推出，根?jù)即可得到答案；由得到，，即可求出答案；（）與（）證法類似可證出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案，本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的余角相等，垂直的定義，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴；證明：由（）知：，∴，，∵，∴；（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴．【變式訓(xùn)練8】．如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到①的位置時，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到②的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到③的位置時，試問、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系，不需要證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)(或，)．【分析】本題考查了幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明和全等的三個條件．題型較好．（1）①已知已有兩直角相等和，再由同角的余角相等證明即可證明；②由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到，，從而得證；（2）根據(jù)垂直定義求出，根據(jù)等式性質(zhì)求出，根據(jù)證出和全等，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到，，從而得證；（3）同樣由三角形全等尋找邊的關(guān)系，根據(jù)位置尋找和差的關(guān)系．【詳解】（1）①證明：∵，，∴，，∴，在與中，，∴；②由①知，，∴，，∵，∴；（2）證明：∵于D，于E，∴，∴，，∴，在與中，，∴．∴，，∴．（3）解：同（2）理可證．∴，，∵∴，即；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，、、所滿足的等量關(guān)系是(或，)．【變式訓(xùn)練9】．（1）模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應(yīng)用：①已知直線y＝x+3與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC，過點(diǎn)A，C作直線，求直線AC的解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為(8，6)，A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點(diǎn)，已知點(diǎn)D在第一象限，且是直線y＝2x﹣5上的一點(diǎn)，若△APD是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或或【分析】（1）由條件可求得，利用可證明；（2）由直線解析式可求得、的坐標(biāo)，利用模型結(jié)論可得，，從而可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式；（3）分兩種情況考慮：如圖2所示，當(dāng)時，，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，利用三角形全等得到，易得D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖3所示，當(dāng)時，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，表示出D點(diǎn)坐標(biāo)為，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖4所示，當(dāng)時，時，同理求出D的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由題意可得，，∴，∴，在和中，∴；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖2，在中，令可求得，令可求得，∴，同（1）可證得，∴，，∴，∴且，設(shè)直線AC解析式為，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線AC解析式為；（3）如圖2，當(dāng)時，，過點(diǎn)作于E，過點(diǎn)D作于F，同理可得：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，則，∵，即，解得，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖3，當(dāng)時，，過點(diǎn)P作于E，過點(diǎn)D作于，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，同理可得：，∴，，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，得，∴D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖4，當(dāng)時，時，同理可得，設(shè)，則，，則，∵∴，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)，綜上可知滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為或或．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．1．如圖，為等腰直角三角形，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)T．證明，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖中，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．∵，，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB為邊向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，點(diǎn)G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面積為16，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)勾股定理得到，解方程組得到，接著由圖可知空白部分為重疊部分，陰影部分為非重疊部分，所以2倍的空白部分與陰影部分面積和等于三個正方形與三角形面積和．結(jié)合即可得出結(jié)論．依此即可求解．【詳解】解：如圖，四邊形是正方形，，，，，，，∵，即，，在中，，，，，，，陰影部分的面積和=三個正方形面積+三角形面積-2倍空白部分面積=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的知識，有一定難度，解題關(guān)鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．3．如圖，中，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【答案】（4，1）【分析】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C坐標(biāo)可得OA、OC的長，根據(jù)同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可證明△OAC≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的長，進(jìn)而可得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，，∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，1）．故答案為：（4，1）【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．4．如圖1，在中，，，于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，射線，分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，如圖2所示，直接寫出：①與之間的數(shù)量關(guān)系：_____________________；②與之間的數(shù)量關(guān)系：_______________________；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時（不與端點(diǎn)重合），如圖1所示，則與之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】(1)①；②(2)【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，（1）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得出，然后利用ASA可證，從而得到；②先利用全等三角形的性質(zhì)得出，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，從而得出（2）過點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)Q，同樣利用等腰直角三角形的性質(zhì)及ASA證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）（1）①，理由如下：，在和中，②，理由如下：（2），理由如下：過點(diǎn)作交于點(diǎn)在和中，【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，通過特殊圖形的證明，找到一般規(guī)律，將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形證明是解題的關(guān)鍵．5．綜合與實(shí)踐：如圖1，已知中，，，、分別與過點(diǎn)的直線垂直，且垂足分別為，．(1)猜想線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點(diǎn)的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部，其他條件不變，線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請說明理由；【答案】(1)，理由見解析；(2)改變，，理由見解析．【分析】（）由“”可證，可得，，即可求解；（）由“”可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，由線段的和差關(guān)系可求解；本題考查了幾何變換綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（2）改變，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即．6．已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，且．(1)求出m，n的值；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明為等腰直角三角形；(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），使得是以為直角邊的等腰直角三角形，請求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)，證明見解析(3)滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)為或或【分析】（1）利用完全平方公式將進(jìn)行變形，可得，再根據(jù)平方的非負(fù)性即可求解；（2）過點(diǎn)C作，，通過證明，利用全等三角形的性質(zhì)得出，，即可求解和證明；（3）分三種情況：若，時，且點(diǎn)G在BC下方，若，時，且點(diǎn)G在BC上方，若，時，點(diǎn)G在BC上方，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵．∴，∴，；（2）如圖（1），過點(diǎn)C作，，∴，∵點(diǎn)，點(diǎn)；∴，，又∵，∴，∴，，∴點(diǎn)，又∵，∴，∴為等腰直角三角形；（3）如圖，若，時，且點(diǎn)G在BC下方，過點(diǎn)G作，過點(diǎn)C作，∵，，∴，且，，∴∴，，∴，∴點(diǎn)，若，時，且點(diǎn)G在BC上方，同理可求點(diǎn)，若，時，點(diǎn)G在BC上方，同理可求點(diǎn)，綜上滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，非負(fù)性的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，能夠利用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，點(diǎn)D是線段BC上一個動點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，且，．垂足E在的延長線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，線段和的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由．【答案】(1)(2)成立，理由見解析【分析】（1）延長與交于點(diǎn)G，先證明，判斷出；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出，再根據(jù)，可得，據(jù)此判斷即