方法技巧專題02 數(shù)列求通項(xiàng)問題（解析版）

技巧方法專題2數(shù)列求通項(xiàng)問題解析版一、數(shù)列求通項(xiàng)常用方法知識(shí)框架二、數(shù)列求通項(xiàng)方法【一】歸納法求通項(xiàng)通過數(shù)列前若干項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是依托基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列，尋找通過數(shù)列前若干項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是依托基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列，尋找an與n，an與an＋1的聯(lián)系.1.例題【例1】由數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式：(1)3,5,3,5,3,5，…(2)eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…(3)2，eq\f(5,2)，eq\f(13,4)，eq\f(33,8)，eq\f(81,16)，…(4)eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,12)，eq\f(1,20)，eq\f(1,30)，…【解析】(1)這個(gè)數(shù)列前6項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5.所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝4＋(－1)n.(2)數(shù)列中的項(xiàng)以分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)，分子為項(xiàng)數(shù)，分母比分子大1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,n＋1).(3)數(shù)列可化為1＋1,2＋eq\f(1,2)，3＋eq\f(1,4)，4＋eq\f(1,8)，5＋eq\f(1,16)，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋eq\f(1,2n－1).(4)數(shù)列可化為eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，eq\f(1,5×6)，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,nn＋1).【例2】已知數(shù)列：，按照從小到大的順序排列在一起，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列：首次出現(xiàn)時(shí)為數(shù)列的（）A．第44項(xiàng) B．第76項(xiàng) C．第128項(xiàng) D．第144項(xiàng)【解析】觀察分子分母的和出現(xiàn)的規(guī)律：，把數(shù)列重新分組：，可看出第一次出現(xiàn)在第16組，因?yàn)?，所以?5組一共有120項(xiàng)；第16組的項(xiàng)為，所以是這一組中的第8項(xiàng)，故第一次出現(xiàn)在數(shù)列的第128項(xiàng)，故選C.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】由數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式：(1)1，－7，13，－19，25，…(2)eq\f(1,4)，eq\f(3,7)，eq\f(1,2)，eq\f(7,13)，eq\f(9,16)，…(3)1，－eq\f(8,5)，eq\f(15,7)，－eq\f(24,9)，…【解析】(1)數(shù)列每一項(xiàng)的絕對(duì)值構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(6n－5).(2)數(shù)列化為eq\f(1,4)，eq\f(3,7)，eq\f(5,10)，eq\f(7,13)，eq\f(9,16)，…，分子，分母分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2n－1,3n＋1).(3)數(shù)列化為eq\f(22－1,3)，－eq\f(32－1,5)，eq\f(42－1,7)，－eq\f(52－1,9)，…，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1eq\f(n＋12－1,2n＋1).【練習(xí)2】如圖是一個(gè)三角形數(shù)陣，滿足第行首尾兩數(shù)均為，表示第行第個(gè)數(shù)，則的值為__________．【答案】4951【解析】設(shè)第n行的第2個(gè)數(shù)為an，由圖可知，a2=2=1+1，a3=4=1+2+1，a4=7=1+2+3+1，a5=11=1+2+3+4+1…歸納可得an=1+2+3+4+…+（n-1）+1=+1，故第100行第2個(gè)數(shù)為：，故答案為4951【二】公式法求通項(xiàng)等差數(shù)列：等差數(shù)列：等比數(shù)列：1.例題【例1】數(shù)列滿足，，則（）A．B．C．D．【解析】∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為﹣1．∴，∴．∴．故選：C．【例2】已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求．【解析】∵bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2（an－2）)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2（an－2）)＝eq\f(1,2).又b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，故，即．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求．【解析】(1)由題意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列。所以【練習(xí)2】已知數(shù)列和滿足求證：是等比數(shù)列,是等差數(shù)列；求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．【解析】證明:是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,······是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.由知,【三】累加法求通項(xiàng)型如型如an＋1＝an＋f(n)的遞推公式求通項(xiàng)可以使用累加法，步驟如下：第一步將遞推公式寫成an＋1－an＝f(n)；第二步依次寫出an－an－1，…，a2－a1，并將它們累加起來；第三步得到an－a1的值，解出an；第四步檢驗(yàn)a1是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.累乘法類似.1.例題【例1】在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【解析】在數(shù)列{an}中，a1＝2，，∴an+1﹣an＝∴an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）＝2+ln2+＝2+lnn，故2+ln10故選：A【例2】對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國(guó)古代很早就有研究成果，北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類推，記第層貨物的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_______，數(shù)列的前項(xiàng)和_______.【解析】由題意可知，，，，，累加可得，，.故答案為：；.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)________.【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)也適用，所以.【練習(xí)2】已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足（），且，則數(shù)列的最大值為__________．【解析】根據(jù)題意，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，，對(duì)于數(shù)列滿足，則有，數(shù)列的通項(xiàng)為：，分析可得：當(dāng)時(shí)，數(shù)列取得最大值，此時(shí)；故答案為：．【練習(xí)3】?jī)汕Ф嗄昵?，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如圖2中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作，第2個(gè)五角形數(shù)記作，第3個(gè)五角形數(shù)記作，第4個(gè)五角形數(shù)記作，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，得數(shù)列，則；對(duì)，．【解析】因?yàn)?，，，…………所以以上n個(gè)式子相加，得?！舅摹坷鄯e法求通項(xiàng)型如型如的遞推公式求通項(xiàng)可以使用累積法1.例題【例1】已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，求an.【解析】由條件知eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，分別令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得(n－1)個(gè)等式累乘之，即eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)…eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n)，又∵a1＝eq\f(2,3)，∴an＝eq\f(2,3n).2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A.an＝2n－1 B.an＝2nC. D.【解析】由an＋1＝2nan，得eq\f(an＋1,an)＝2n，即eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)…eq\f(an,an－1)＝21×22×23×…×2n－1，即eq\f(an,a1)＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝，故an＝a1＝.故選C.【五】Sn法（項(xiàng)與和互化求通項(xiàng)）已知已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解題步驟：第一步利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1的表達(dá)式；第二步利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步若求出n≥2時(shí)的{an}的通項(xiàng)公式，則根據(jù)a1＝S1求出a1，并代入{an}的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.如果求出的是{an}的遞推公式，則問題化歸為類型二.1.例題【例1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則.【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，不符合上式，所以【例2】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的通項(xiàng)公式為_____．【解析】時(shí)，，化為：．時(shí)，，解得．不滿足上式．∴數(shù)列在時(shí)成等比數(shù)列．∴時(shí)，．∴．故答案為：．【例3】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.【答案】－.【解析】試題分析：因?yàn)椋?，所以，即，又，即，所以?shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列，所以，所以．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.【解析】由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1，得當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝eq\f(n,2)an，兩式作差得nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1－eq\f(n,2)an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即數(shù)列{nan}從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故當(dāng)n≥2時(shí)，nan＝2·3n－2.于是an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(2,n)·3n－2，n≥2.))【練習(xí)2】記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減可得，，故，設(shè)，故，即，故.故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，故.故答案為：【練習(xí)3】已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)由題設(shè)可知a1·a4＝a2·a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a4＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,a4＝1))(舍去).由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，又bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1)＝eq\f(Sn＋1－Sn,SnSn＋1)＝eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,S1)－\f(1,S2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,S2)－\f(1,S3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)－\f(1,Sn＋1)))＝eq\f(1,S1)－eq\f(1,Sn＋1)＝1－eq\f(1,2n＋1－1).【練習(xí)4】設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由n＝1得，因?yàn)椋?dāng)n≥2時(shí)，，由兩式作商得：（n＞1且n∈N*），又因?yàn)榉仙鲜剑裕╪∈N*）．（2）設(shè)，則bn＝n＋n·2n，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋設(shè)Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．所以，即．【練習(xí)5】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【解析】（1）證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．所以，因?yàn)?，所以，所以，所以．所以是以為首?xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，所以.∴∴【六】構(gòu)造法求通項(xiàng)1.1.型如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下：第一步假設(shè)將遞推公式改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步由待定系數(shù)法，解得t＝eq\f(q,p－1)；第三步寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第四步寫出數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.2.an＋1＝pan＋f(n)型【參考思考思路】確定設(shè)數(shù)列列關(guān)系式比較系數(shù)求，解得數(shù)列的通項(xiàng)公式解得數(shù)列的通項(xiàng)公式1.例題【例1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.【解析】遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，則t＝－3.故遞推公式為an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2.所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.【例2】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋n，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】令，即解得，，所以數(shù)列以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。，即【例3】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】法一：設(shè)an＋1＋x×5n＋1＝2(an＋x×5n)，①將an＋1＝2an＋3×5n代入①式，得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n，等式兩邊消去2an，得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n，兩邊除以5n，得3＋5x＝2x，則x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n).②由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，則eq\f(an＋1－5n＋1,an－5n)＝2，則數(shù)列{an－5n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n.法二：an＋1＝2an＋3×5n，即，令，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故an＝2n－1＋5n.【例4】已知數(shù)列滿足：，，則（）A．B．C．D．【解析】數(shù)列滿足：，是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，故答案為：B.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，則an＝________.【解析】設(shè)an＋1＋A＝3(an＋A)，化簡(jiǎn)得an＋1＝3an＋2A.又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝3.∴數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為3.則an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.【練習(xí)2】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于()A.2n B.n(n＋1)C.eq\f(n,2n－1) D.eq\f(nn＋1,2n)【解析】∵an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，即2n＋1an＋1－2nan＝2.又21a1＝2，∴數(shù)列{2nan}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，∴an＝eq\f(n,2n－1).【練習(xí)3】已知非零數(shù)列的遞推公式為,.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若關(guān)于的不等式有解,求整數(shù)的最小值；(3)在數(shù)列中,是否一定存在首項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng),使得這三項(xiàng)依次成等差數(shù)列？若存在,請(qǐng)指出所滿足的條件；若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)由，得，法一：即，法二：由上，，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)可得：，所以已知的不等式等價(jià)于令，則，所以單調(diào)遞增，則，于是，即，故整數(shù)的最小值為4.(3)由上面得，則要使成等差數(shù)列，只需，即因?yàn)?，則上式左端；又因?yàn)樯鲜接叶擞谑钱?dāng)且僅當(dāng)，且為不小于4的偶數(shù)時(shí)，成等差數(shù)列．【七】其他求通項(xiàng)方法1.例題【例1】已知數(shù)列滿足,,則（）A． B． C． D．【解析】依題意，，，所以，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，且每項(xiàng)的積為，故，故選B.【例2】若數(shù)列{an}中，a1＝3且an＋1＝aeq\o\al(2,n)(n是正整數(shù))，則它的通項(xiàng)公式an為________________.【解析】由題意知an>0，將an＋1＝aeq\o\al(2,n)兩邊取對(duì)數(shù)得lgan＋1＝2lgan，即eq\f(lgan＋1,lgan)＝2，所以數(shù)列{lgan}是以lga1＝lg3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，lgan＝(lga1)·2n－1＝.即an＝.【例3】已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則＝（）A． B． C． D．【解析】由得：，即又，則，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，本題正確選項(xiàng)：2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，，則S2017＝（）【解析】∵an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，∴，，.∴數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列.a1＋a2＋a3＝eq\f(3,2).∴S2017＝672×eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2017,2).【練習(xí)2】在數(shù)列中，已知，，則_______，歸納可知_______．【解析】∵，，∴，由，取倒數(shù)得，得，即數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，則，即故答案為：(1).(2).【八】特征根和不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)（自我提升）一、形如一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得．1.例題【例1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．【解析】其特征方程為，解得，令，由，得，．【例2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．【解析】其特征方程為，解得，令，由，得，．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，，（…）．（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，，求的前項(xiàng)和．【解析】（1）由求根公式，不妨設(shè)，得，（2）設(shè)，則，由得，，消去，得，是方程的根，由題意可知，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組的解記為即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,兩式相減，得，，，，即，②當(dāng)時(shí)，即方程有重根，，即，得，不妨設(shè)，由①可知，，即，等式兩邊同時(shí)除以，得，即數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，綜上所述，（3）把，代入，得，解得二、形如二、形如的數(shù)列對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為…②若②有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得．若②有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得．此方法又稱不動(dòng)點(diǎn)法．1.例題【例3】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．【解析】其特征方程為，化簡(jiǎn)得，解得，令由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，．【例4】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．【解析】其特征方程為，即，解得，令由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)2】已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無窮數(shù)列不存在？【解析】作特征方程變形得特征方程有兩個(gè)相同的特征根(1)∵對(duì)于都有(2)∵∴令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在，當(dāng)≤4，時(shí)，.(3)∵∴∴令則∴對(duì)于∴(4)、顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時(shí)，數(shù)列是存在的，當(dāng)時(shí)，則有令則得且≥2.∴當(dāng)（其中且N≥2）時(shí)，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在。于是知：當(dāng)在集合或且≥2}上取值時(shí)，無窮數(shù)列都不存在?！揪毩?xí)3】記(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】由已知,得,其特征方程為解之得,或,,【練習(xí)4】各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有，當(dāng)．【解析】由得化間得，作特征方程，，。所以，，．三、課后自我檢測(cè)1．已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【解析】由題意,又,所以,選B.2．在數(shù)列－1，0，，…中，0.08是它的第________項(xiàng)．【答案】10【解析】令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.解得n＝10或n＝(舍去)．3．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，則通項(xiàng)公式an＝________.【解析】原遞推公式可化為an＋1＝an＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，則a2＝a1＋eq\f(1,1)－eq\f(1,2)，a3＝a2＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，a4＝a3＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，an－1＝an－2＋eq\f(1,n－2)－eq\f(1,n－1)，an＝an－1＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，逐項(xiàng)相加得an＝a1＋1－eq\f(1,n)，故an＝4－eq\f(1,n).4．已知數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)_______.【解析】,在等式兩邊同時(shí)除以，得，，,,,,累加得：，，故答案為：5．已知數(shù)列中，，則能使的的數(shù)值是（）A．14B．15C．16D．17【解析】由題意得，數(shù)列是周期為3的數(shù)列，所以．6．已知數(shù)列滿足且．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）∵，∴所以是首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列。（2）由（1）可知，所以因?yàn)?，所以……，所?．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求；（2）求證:．【解析】（1）∵，∴，兩式相減得，，∴，∴又，滿足上式．∴．（2）由（1）得．∴．8．已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)