方法技巧專題06 直線與圓問題（解析版）

方法技巧專題6直線與圓問題解析版一、直線與圓知識框架二、直線與圓的方程問題【一】直線的方程及其應(yīng)用直線方程的5種形式直線方程的5種形式點斜式：斜截式：兩點式：截距式：一般式：（A，B不同時為0）2、三種距離公式兩點間的距離：.點到直線的距離：（其中點，直線方程：）.兩平行直線間的距離：（其中兩平行線方程分別為：）.3、兩條直線平行與垂直的判定3、兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線的斜率存在，則;若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.1.例題【例1】設(shè)，則“是直線與直線平行”的（）充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)時，兩條直線的方程分別為，此時兩條直線平行；若兩條直線平行，則，所以或，經(jīng)檢驗，兩者均符合；綜上：“是直線與直線平行”的充分不必要條件，故選A.【答案】A【例2】過點（1，2）的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的方程為（）B.C.D.【解析】設(shè)的方程為，則有，因為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“=”.即當(dāng)時，的面積最小.此時的方程為，即.故選A.【答案】A2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】若兩平行直線與之間的距離是，則（）A.0B.1C.-2D.-1【解析】因為平行，所以，解得，所以直線的方程是，又之間的距離是，所以，解得m=2或m=-8（舍去），所以，故選C.【答案】C【練習(xí)2】直線過點P（1，4），分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于點A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)最小時，的方程為.【解析】經(jīng)檢驗直線的斜率存在，且斜率為負(fù)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，令y=0得，令x=0得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值.此時的方程為.【答案】【二】圓的方程及其應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.特別地，的圓心為（0，0），半徑為.圓的一般方程方程變形為.當(dāng)時，方程表示以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時，方程表示一個點；當(dāng)時，該方程不表示任何曲線。點與圓的位置關(guān)系對于和圓C:,則P在圓C內(nèi)；P在圓C上；P在圓C外.1.例題【例1】已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為.【解析】設(shè)圓心為，則圓心到直線的距離，解得，半徑，所以圓C的方程為.【答案】【例2】圓心為點，并且截直線所得的弦長為的圓的方程（）A． B．C． D．【答案】B【解析】圓心到直線的距離，在直線上截的的弦長為8圓的半徑圓的方程為故選：B求圓的方程的方法幾何法：利用圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標(biāo)、半徑，進而求出圓的方程.待定系數(shù)法：先設(shè)出圓的方程，再由條件構(gòu)建系數(shù)滿足的方程（組）求得各系數(shù)，進而求出圓的方程.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點（1，0）且被x軸分成兩段弧長比為1：2，則圓C的方程為（）B.C.D.【解析】由題意知圓心在y軸上，且被x所分的劣弧所對的圓心角為，設(shè)圓心為，半徑為，則，解得，即，則，故圓C的方程為.【答案】C【練習(xí)2】以為圓心，并且與圓外切的圓的方程是()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓的半徑為，圓，即，其圓心為，半徑，設(shè)，若圓與圓外切，則有，則，則所求圓的方程為；故選：B．【三】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線（A，B不全為0）與圓的位置關(guān)系的判斷方法有：幾何法：圓心到直線的距離為，直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.代數(shù)法：由消元，得到的一元二次方程的判別式為，則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.圓與圓的位置關(guān)系的判斷圓與圓的位置關(guān)系的判斷（圓，圓的半徑分別為）兩圓外離，兩圓外切，兩圓相交，兩圓內(nèi)切，兩圓內(nèi)含.3、有關(guān)弦長問題的兩種求法設(shè)直線被圓C截得的弦長為AB，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長公式：.若斜率為的直線與圓交于兩點，則（其中），特別地，當(dāng)時，；當(dāng)斜率不存在時，.【知識拓展】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．1.例題【例1】已知圓截直線所得弦的長度為4，則實數(shù)（）A.B.C.D.【解析】圓心到直線的距離為，由弦長公式得解得，故選B.【答案】B【例2】若直線ax+by＝1與圓x2+y2＝1有兩個公共點，則點P（a，b）與圓x2+y2＝1的位置關(guān)系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能【解析】根據(jù)題意，直線ax+by＝1與圓x2+y2＝1有兩個公共點，即直線與圓相交，則有圓心到直線ax+by＝1的距離dr＝1，變形可得a2+b2＞1，則點P（a，b）在圓x2+y2＝1的外部；故選：B．【例3】若圓C：x2+y2＝5﹣m與圓E：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16有三條公切線，則m的值為（）A．2 B． C．4 D．6【解析】若兩圓有三條公切線，等價為兩圓相外切，圓E（3，4），半徑R＝4，圓C（0，0），半徑r，則|EC|＝45，即1，得5﹣m＝1，則m＝4，故選：C．【例4】已知圓與圓的公共弦所在直線恒過定點，且點P在直線上，則mn的取值范圍是（）A.B.C.D.【解析】將與相減，得公共弦所在的直線方程為，即，由得，所以定點為，因此，所以，故選D.【答案】D【例5】已知點M（3，1）及圓，則過點M的圓的切線方程為.【解析】由題意得圓心C（1，2），半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為,由圓心C（1，2）到直線的距離知，這條直線與圓相切；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，即，因為相切，所以，解得，故方程為，即；綜上所述：過點M的圓的切線方程為或.【答案】或2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知直線與圓相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且，則實數(shù)m的值為.【解析】由且，可知為等腰直角三角形，則點O到AB所在直線的距離為1.由，得.【答案】【練習(xí)2】已知兩條平行直線l1，l2之間的距離為1，l1與圓C：x2+y2＝4相切，l2與C相交于A，B兩點，則|AB|＝（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，l1與圓C：x2+y2＝4相切，則圓心C到直線l1的距離為2，又由兩條平行直線l1，l2之間的距離為1，則圓心C到直線l2的距離d＝2﹣1＝1，則|AB|＝22；故選：D．【練習(xí)3】若直線l：ax+y+2a＝0被圓C：x2+（y﹣4）2＝4所截得的弦長為，則a的值為（）A．﹣7或﹣1 B．7或1 C．7或﹣1 D．﹣7或1【解析】圓心為C（0，4），半徑R＝2，∵直線l：ax+y+2a＝0被圓C：x2+（y﹣4）2＝4所截得的弦長為，∴圓心到直線的距離d滿足d2＝R2﹣（）2＝4﹣2＝2，即d，平方得2a2+2＝16+16a+4a2，即a2+8a+7＝0，即（a+1）（a+7）＝0，得a＝﹣1或a＝﹣7，故選：A．【練習(xí)4】已知圓x2+y2＝1的圓心為O，點P是直線l：mx﹣3y+3m﹣2＝0上的動點，若該圓上存在點Q使得∠QPO＝30°，則實數(shù)m的最大值為【解析】直線l的方程可化為（x+3）m﹣（y+2）＝0，令，得，即直線l過定點（﹣3，﹣2），因為該圓上存在點Q使得∠QPO＝30°，故，即OP≥2，所以O(shè)P2，解得，故填：4【練習(xí)5】過直線l：y＝x﹣2上任意點P作圓C：x2+y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)切線最小時，△PAB的面積為．【解答】如圖，要使切線長最小，則|OP|最小，過O作直線y＝x﹣2的垂線，則垂足為P，可得|OP|，∴A，B為圓C：x2+y2＝1與兩坐標(biāo)軸的交點，則PA＝PB＝1，∠APB＝90°，∴△PAB的面積為．故答案為：．三、課后自我檢測1．已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系（）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上皆有可能【答案】C【解析】方法一：直線方程可整理為：由圓方程可知，圓心：；半徑：圓心到直線的距離：若，則，此時直線與圓相交若，則又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）則，此時直線與圓相交綜上所述：直線與圓相交方法二：因為直線過定點（-1,1），點（-1,1）在圓內(nèi)，所以直線與圓相交。2．過點的直線與圓相交于，兩點，若，則該直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)直線的方程為，因為圓的圓心為，半徑為，又弦長，所以圓心到直線的距離為，所以有，解得.故選A3．已知圓，圓，圓與圓的公切線的條數(shù)的可能取值共有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】D【解析】兩圓的圓心和半徑分別為A（0，0），半徑R=1，B（2，0），半徑為r，|AB|=2，半徑之和為1+r，半徑之差為r-1，若兩圓相外切，即1+r=2，即r=1時，此時兩圓公切線有3條，若兩圓外離，則1+r＜2，即0＜r＜1時，兩圓公切線有4條，若兩圓相交，則r-1＜2且2＜1+r，即1＜r＜3時，兩圓相交，此時公切線有2條，若兩圓內(nèi)切，即r-1=2，即r=3時，此時兩圓公切線有1條，若兩圓內(nèi)含，即r-1＞2，即r＞3，此時兩圓公切線為0條，即圓A與圓B的公切線的條數(shù)的可能取值有5種，故選：D．4．設(shè)過點的直線與圓的兩個交點為，若，則=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)，直線的方程為，由得，則，又，所以，故，即，代入得：，故，又，即，整理得：，解得或，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上.故選A5．設(shè)直線與圓相交于，兩點，若，則（）A．-1或1 B．1或5 C．-1或3 D．3或5【答案】B【解析】由題得圓的方程為，所以圓心為(-1,2),半徑為.所以圓心到直線的距離為.故選：B6．已知點，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖：依題意得點在直線上，點關(guān)于直線對稱的點,點在圓關(guān)于直線對稱的圓上，則，設(shè)圓的圓心為，因為，，所以，當(dāng)五點共線，在線段上，在線段上時“=”成立.因此，的最大值為4.直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓QUOTEx?22x?22+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.QUOTE2,62,6 B.QUOTE4,84,8 C.QUOTE2,322,32 D.QUOTE22,3222,32【解析】選A.由A(-2,0),B(0,-2),則三角形ABP的底邊|AB|=2QUOTE22,圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=QUOTE|2+0+2|2|2+0+2|2=2QUOTE22,又因為半徑為r=QUOTE22,所以點P到直線x+y+2=0的距離的最大值為2QUOTE22+QUOTE22=3QUOTE22,最小值為2QUOTE22-QUOTE22=QUOTE22,則三角形ABP的面積的最大值為Smax=QUOTE1212×2QUOTE22×3QUOTE22=6,最小值為Smin=QUOTE1212×2QUOTE22×QUOTE22=2,故△ABP面積的取值范圍為[2,6].在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離,當(dāng)θ,m變化時,d的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.方法一:由已知d=QUOTE|cosθ-msinθ-2|1+m2|cosθ-msinθ-2|1+m2=QUOTE11+m2QUOTEsin(θ+φ)?21+m2sin(θ+φ)?21+m2≤|sin(θ+φ)|+|QUOTE21+m當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE21+m221+m2=2,且sin(θ此時m=0,d=|cosθ-2|,cosθ能取到-1,所以d的最大值為3.方法二:由已知及sin2θ+cos2θ=1,點P(cosθ,sinθ)在圓x2+y2=1上.又直線x-my-2=0過定點(2,0),當(dāng)d取得最大值時,即圓x2+y2=1上的動點P到動直線x-my-2=0距離最大,此時圓x2+y2=1的圓心(0,0)到動直線x-my-2=0距離最大,數(shù)形結(jié)合,可知動直線為x=2時,圓心(0,0)到動直線x-my-2=0距離最大值為2,所以圓x2+y2=1上的動點P到動直線x-my-2=0的距離最大值為2+1=3,即d的最大值為3.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A. B.C. D.2【解析】選A.圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-1)2+(y-4)2=4,故圓心為(1,4),d==1,解得a=.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·=0,則點A的橫坐標(biāo)為.

【解析】因為AB為直徑,所以AD⊥BD,所以BD即B到直線l的距離,BD=QUOTE|0-2×5|12+22|0-2×5|12+22=2QUOTE因為CD=AC=BC=r,又CD⊥AB,所以AB=2BC=2QUOTE1010,設(shè)A(a,2a),AB=QUOTE(a-5)2+4a2(a-5)2+4a2=2QUOTE1010?a答案:3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上,若QUOTEPA→·≤20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【解析】設(shè)P(x,y),由·QUOTEPB→≤20,易得2x-y+5≤0,由QUOTE2x?y+5=0,x2+y2=50,可得A:QUOTEx=?5,y=?5或B:QUOTEx=1,y=7,由2x-y+5≤0得P點在圓左邊弧QUOTEAB上,結(jié)合限制條件-5QUOTE2≤x≤5可得點P橫坐標(biāo)的取值范圍為[-5QUOTE2,1].答案:[-5QUOTE2,1]已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點,若|AB|=2,則|CD|=.【解析】取AB的中點E,連接OE,過點C作BD的垂線,垂足為F,圓心到直線的距離d=,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在△CDF中,∠FCD=30°,所以CD==4.答案:413．圓的方程為，圓的圓心．若圓與圓外切，求圓的方程；若圓與圓交于A、B兩點，且求圓的方程．【解析】圓的方程為，圓心坐標(biāo)，半徑為：2，圓的圓心．圓心距為：，圓與圓外切，所求圓的半徑為：，圓的方程，圓與圓交于A、B兩點，且．所以圓交到AB的距離為：，當(dāng)圓到AB的距離為：，圓的半徑為：．圓的方程：．當(dāng)圓到AB的距離為：，圓的半徑為：．圓的方程：．綜上：圓的方程：或．14．已知圓，點．（1）設(shè)點是圓上的一個動點，求的中點的軌跡方程；（2）直線與圓交于，求的值．【解析】（1）由題意，設(shè)，由點是圓上的一個動點，則，又由Q是AP的中點，根據(jù)中點公式得，解得．代入圓的方程可得：，整理得．∴的中點的軌跡方程為：．（2）由直線與圓交于，把直線的方程代入圓的方程可得：，整理得．則，∴=.15．已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，為圓上的動點，直線的方程為，動點在直線上．（1）求的最小值，并求此時點的坐標(biāo)；（2）若點的坐標(biāo)為，過作直線與圓交于，兩點，當(dāng)時，求直線的方程．【解析】（1）依題意知：的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑，且點，故，∴的最小值為．又過圓心且與直線垂直的直線方程為：，聯(lián)立解得，，綜上可知，的最小值為，此時點；（2）把點代入直線的方程可得，即，由，半徑得圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為：，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，即，∴，解得，故直線的方程為：.綜上可知，直線的方程為：或．16．已知圓關(guān)于直線對稱的圓為．（1）求圓C的方程；（2）過點（1，0）作直線l與圓C交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，是否存在直線l，使得∠AOB=90°？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請說明理由．【解析】（Ⅰ）圓C1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+y2＝9，設(shè)圓心（1，0）關(guān)于直線l1：y＝x+1的對稱點為C（a，b），則，且CC1的中點在直線l1：y＝x+1上，∴有，解得：，∴圓C的方程為，（Ⅱ）假設(shè)存在直線l，顯然直線l有斜率，設(shè)直線，設(shè)經(jīng)過直線l和圓C的圓的方程為：即，依題意該圓過原點且圓心