新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義專題18 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（角和距離）（原卷版）

專題18空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（角/距離）【考點(diǎn)專題】考點(diǎn)一：空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個(gè)平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))考點(diǎn)二：點(diǎn)P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．考點(diǎn)三：點(diǎn)P到平面α的距離設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．【核心題型】題型一：空間向量求線面角/面面角1．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖所示，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0（除端點(diǎn)外）上的動(dòng)點(diǎn)，沿直線SKIPIF1<0將SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0固定在線段SKIPIF1<0的某位置時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)軌跡為球面B．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0D．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范圍是SKIPIF1<02．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．3．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0成30°角，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.題型二：空間向量求空間距離4．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考一模）如圖，圓錐SO的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，AB，CD為底面圓的兩條直徑，P為SB的中點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0平面PCD；(2)當(dāng)SKIPIF1<0體積最大時(shí)，求S到平面PCD的距離.5．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是棱PC的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線BC與平面ADB所成角的正弦值．6．（2023秋·天津河北·高三統(tǒng)考期末）如圖，SKIPIF1<0垂直于梯形SKIPIF1<0所在平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的大??；(3)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.題型三：空間線段點(diǎn)存在問(wèn)題7．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0.現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，如圖2.(1)證明：SKIPIF1<0.(2)已知二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，在棱SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，確定SKIPIF1<0的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，點(diǎn)SKIPIF1<0在底面上的投影為AC的中點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到側(cè)面SKIPIF1<0的距離；(3)在線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線DE與側(cè)面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，請(qǐng)求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2021·天津靜海·靜海一中?？级＃┤鐖D，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn).(1)若SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值；(3)是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說(shuō)明理由.【高考必刷】一、單選題10．（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中校考模擬預(yù)測(cè)）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0四點(diǎn)共面 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<011．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓柱SKIPIF1<0的軸截面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，P，Q分別為圓柱上、下底面圓周上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線PQ與AB所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線AC1與平面A1B1C1所成角的正弦值為SKIPIF1<0，則異面直線BA1與B1C所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)M，N分別是SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)最小時(shí)，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2023·四川·校聯(lián)考一模）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，已知異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與AB所成角的大小分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成的角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且SKIPIF1<0四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，下列結(jié)論：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．416．（2023春·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，P為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，Q為正方形SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B．存在Q點(diǎn)，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱SKIPIF1<0上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大D．若SKIPIF1<0，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為SKIPIF1<017．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下面說(shuō)法中正確的有（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0D．點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<018．（2022·陜西安康·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)M在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．點(diǎn)M到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0 D．多面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0二、多選題19．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，則（

）A．若SKIPIF1<0，則AP與BD所成角為SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為2，M，N分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0截此正方體所得截面的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為321．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在平行六面體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0B．線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<022．（2023春·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，以SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0三、填空題23．（2022春·河南南陽(yáng)·高三南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的中點(diǎn).若用一個(gè)與直線SKIPIF1<0垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面SKIPIF1<0去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則下面的說(shuō)法中正確的有___________.①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②四面體外接球的表面積為SKIPIF1<0.③異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0④多邊形截面面積的最大值為SKIPIF1<0.24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn).（1）直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為_(kāi)__________；（2）直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為_(kāi)__________；（3）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角為60°則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為_(kāi)__________.25．（2022秋·湖南懷化·高三校考階段練習(xí)）如圖，多面體ABCDEF中，面ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱DE上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，GH∥平面ABE；②存在點(diǎn)H，使得GH⊥AE；③三棱錐B?GHF的體積為定值；④三棱錐E?BCF的外接球的表面積為SKIPIF1<0