2023年高考數(shù)學(xué)考前沖刺復(fù)習(xí)：空間幾何外接球

第23講空間幾何外接球

1.已知在三梭錐/—3CD中，AB=CD=2,AD=AC=BC=BD=3,則該三棱錐內(nèi)

切球的體積為（）

A7714/r口llVllTr八1時(shí)"「7屈n

6463192

【解析】如圖，將三棱錐Z—BCD放入長方體—/7CGD中，

謾HC=a，CG=b,CE=c,則/+匕2=22,a2+c~=32■b2+c2=32

航以a=b=6,c=布,則三棱錐力—8C￡>的體積匕_g0=；。尻=孚

院…SABCD=SUBD=S.=2V2，設(shè)三棱錐a-BCD內(nèi)切球的半徑為r,

則球心到三棱錐/—BCD四個(gè)面的距離都為人設(shè)三棱錐/—BCD的表面積為S

則^A-BCD=；Sxr=；x8>/2xr=~~~,因止匕r=，

所以三棱錐A-BCD內(nèi)切球的體積「=3"3=量遜

3192

故選：D

2.在四棱錐尸一48CD中，已知PA1底面4BCD,4B工BC,4D工CD,且

ABAD=\20°,PA=AB=AD=2,則該四棱錐外接球的體積為（）

A.4島B._C.D.2a島

［解析】如圖所示，

連接AC,設(shè)AC的中點(diǎn)為G,

因?yàn)?BC,AD1CD,

所以AC是底面ABCD外接圓的直徑，

又AB=AD=2,

所以Rt/^ABC^Rt^ADC.

又440=120°,得N5ZC=NZMC=60°,

義PA1宸面ABCD則上4LZC,所以N/MC=90°,

即PC是球的直徑，則PC的中點(diǎn)。為球心，連接OG,Z。,

DA

易知OG//上4,所以0G=5-=1且OG1底面4SCD

JRAr

在RM4BC中,AC=--------=4,則ZG=—=2,

cos6002

又在Rt^AOG中，球半徑OA=^OG2+AG2=石■

則該四棱錐外接球的體積％=3"（逐）3=生叵".故選：C

33

3.已知三棱錐尸-48。的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，尸2,平面48C,48,3。且

PA=8,AC=6,則球。的表面積為（）

A.10〃B.25"C.50〃D.100〃

【解析】三棱錐P—48。的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，尸41平面45C,ABLBC,

且R4=8,AC=6-

把三棱錐P-45c補(bǔ)成一個(gè)長方體，如圖所示:

」.長方體的外接球即是三棱錐P-48c的外接球，

.PA=8,4C=6,???長方體的外接球的半徑為：-V82+62=5,.?.球O的表面積為:

2

4TTX52=100〃，

故選：D.

4.半球內(nèi)有'一■個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為()

A.A/571:6B.^6K：2

C.兀：2D.5兀：12

【解析】將半球補(bǔ)成球，同時(shí)把原半球的內(nèi)接正務(wù)體再補(bǔ)裊一府可拜的正方市構(gòu)成的長

方體恰好是球的內(nèi)接長方體，那么這個(gè)長方體的對角線就是它的外接球的直徑.設(shè)正方體的

棱長為a,球體的半徑為R,則(2R)2=a?+a?+(2a)2,即R=1^a,「.V半球=1x4兀R3=2兀><[2

2233

3

=03,V正方體二a^,：.V半球：V正方體=~ita:a?=?兀:2,故選B.

5.已知四棱錐?！?8CD的頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA1底面4BCD,AB=AD=1,

BC=CD=2,若球。的表面積為9兀，則四棱錐尸一45CD的體積為()

4I-2A/5

A.4B.-C.2j5D.=-^-

33

【解析】?二28=/。，BC=BD4C=AC..?△ABC與AADC全等，：.ZABC=ZADC,

易知AB、C。四點(diǎn)共圓，則N/8C+NNOC=180°.:.ZABC=ZADC=90°，

所以，四邊形ABCD的外接圓直徑為4C=YJAB2+BC2=45，

3

設(shè)四棱錐尸—48C0的外接球半徑為尺貝47火2=97,解得&=—,

2

由尸/，底面48CDBCu底面4BCD所以P4IBC

又48_L5C,且4PC48=/,所以BC1平面PAB,又PBu面P4B,所以BC1PB

同理可證：CDLPD

設(shè)為。為PC的中點(diǎn)，則由直角三角形的性質(zhì)可得：OA=OB=OD=OC

所以0四棱錐P—48CD外接球的球心，即PC為其直徑，即PC=2H=3

PA=J(2及曠―3=J⑶2_5=2,

S,Rr=2-xABx2BC=-xlx2=l

114

所以V{Be?！獂2sARCxAP=—x2x1x2=—

rp-3AABL33

故選：B

p

6.已知在三棱錐S—ABC中，ABXBC,AB=BC=2,SA=SC=2也，二面角B—AC—S

的大小為:，則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為()

人124兀口105兀人105兀門104兀

A.D.C.D.

9499

【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)D,連接BD,SD,則/BDS=",AC=2^2,BD=/,

3

SD=A^.過點(diǎn)D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R,連接

OB,OS,可得OD2=R2—(W)2,在^OSD中，NODS=匹，利用余弦定理可得R?=R?—2

6

+~6)2—2x$二2X&X；,解得R2=所以其外接球的表面積為4兀R2=*三

7.在三棱錐尸—48。中，PA=PB=PC=M，AB=AC=BC=^3，則三棱錐

P—48。外接球的表面積是()

c15,25

A.9兀B.——兀C.4兀D.——71

24

【解析】由已知P—48C是正三棱錐，設(shè)是正棱錐的高，由外接球球心。在陽r上,

瓜__________

如圖，設(shè)外接球半徑為尺又CH=?XG=L則PH=y/pc?-CH。=2，

由。。2=OH-+CH1得火2=(2—封+心，解得R=：

所以表面積為S=4"=2：".故選：D.

.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為

()

A-B.16兀C.9TID.-

44

【解析】如圖，正四棱錐P-ABCD的底面中心為H.

在底面正方形ABCD中，AH=也,

又PH=4,

故在RtAPAH中，

PA=AJPH2+AH2

也2=3也.

則由正四棱錐的性質(zhì)可得，其外接球的球心。在PH所在的直線上，設(shè)其外接球的直徑為

PQ=2r.

又A在正四棱錐外接球的球面上，所以APJ_AQ.

又AH_LPH,由射影定理可得PA2=PHXPQ,

,,cMPA23g299

故2r=PQ=-----=-------------=-,所以r=一.

PH424

故該球的表面積為S=4兀［2=4兀乂02二迎三

4

【方法總結(jié)】

解決此類問題的關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球的球心，利用球的截面的性質(zhì)，球心

和球的截面的中心連線垂直于截面.結(jié)合相關(guān)幾何量之間的數(shù)量關(guān)系可確定球心.

9.在四面體48CZ）中，AB1AC,ACLCD,直線48,CO所成的角為60°,

AB=CD=4瓜AC=4,則四面體48CD的外接球表面積為（）

A.16。君7cB.52兀C.80兀D.208兀

3

【解析】當(dāng)四面體48co如下圖示，

過A作AE//CD且AE=CD連接BE、DE、CE,且4D與CE1交于。點(diǎn)，則△/2E

為等邊三角形，/CDE為矩形且。點(diǎn)為/CDE外接圓圓心，即NC1ZE,又48L/C,

ABC}AE=A,

「NC1面ABE,4Cu面ACDE,則面ABE1面ACDE.

過R為ZE中點(diǎn)，連接OF,若尸為面48E外接圓圓心，0'為四面體45co的外

接球球心，則。9=。/'=2,BF=6有BF'=4如下圖示，

二四面體ABCD的外接球半徑R=sJo'F'2+BF'2=2-\/5，則外接球表面積為

4/z'及立=8。7r

當(dāng)四面體45cZ）如下圖示,

D.

B

過A作AE//CD且4E=CD,連接2￡、DE、CE,且40與CE交于。點(diǎn)，則△/BE

為等腰三角形，/CDE為矩形且O點(diǎn)為/CDE外接圓圓心，即ZC1/E,又48，/。，

ABHAE=A,

NC_L面ABE,/Cu面ACDE,則面ABE1面ACDE.

過R為4E中點(diǎn)，連接OF,若尸為面ABE外接圓圓心，。為四面體ABCD的外接球球

心，則0E=0E'=2.BF'=473-如下圖示，

四面體45co的外接球半徑火=sJo'F'2+BF'2=2V13,則外接球表面積為

4"改=108萬.

故選：CD

10.在三棱錐?！?8。中，△24。是等邊三角形，平面24。，平面

ABC,AB=^3,AC=243.ZCAB=600,則三棱錐尸—45。的外接球體積為（）

A4〃126兀?32〃6g

3333

【解析】小/臺。中，

BC=^AC-+AB--2AC-ABcosZCAB=7(273)2+(V3)2-2x273x73xcos60°=3

所以=/臺2+8。2,480=90。，

設(shè)。是/C中點(diǎn)，則。是A/BC外心，又△24。是等邊三角形，所以。DL/C,

而平面PACJ_f■面ABC,平面PACD平面ABC=AC.PDu干面PAC,所以PD1

平面ABC,所以△PAC的外心即中三棱錐P-ABC外接球的球心，

1oATA32rL

所以球半徑R=±x—^—=2,球體積為憶=一"及3=——.故選：C.

2sin60°33

R

11.在正三棱錐S—48C中，M、N分別是棱SC、3c的中點(diǎn)，且⑷/L7W,若側(cè)棱

SA=2G，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是________.

【答案】解：引理：正三棱錐的對棱互垂直，證明如下；

如圖⑶-1,取45,8。的中點(diǎn)。,￡,連接/瓦C￡).AE,CD交于H,連接577.B1,H

是底面正三角形4BC的中心，平面/SC,

SH^AB.：AC=BC,AD=BDCD1AB,

...AS，平面SCOABLSC,

同理：BCVSA,ACLSB,即正三棱錐的對棱互垂直,

本題圖如圖(3)-2,'.'AM17W,SB//MN.

：.AMVSB'.'AC1SB55，平面1s4C,

SB1SA,SB1SC,：SB1SA.BC1SA,

S4，平面1ssC,1SC,故三棱錐S-48c的三棱條側(cè)棱兩兩互垂直,

(27?)2=(273)2+(2V3)2+(2V3)2=36即4火2=36,.?.外接球的表面積是36〃

12.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的

體積為（）

A.兀B.—C.-D-

424

【解析】球心到圓柱的底面的距離為圓柱高的g,球的半徑為1,則圓柱底面圓的半徑r

=11一02=/，故該圓柱的體積為v=7txf2j2xl=-.

24

13.在三棱錐P—ABC中，AsABC為等邊三角形，PA=PB=PC=3,PAJ_PB,則三棱錐P

-ABC的外接球的體積為（）

A.yTtC.273兀D.27兀

【解析】因?yàn)镻A=PB=PC,Z\ABC是正三角形，所以4PAB/△PAC7ZXPBC,由PA_LPB

知，PA±PC,PBXPC,以PA,PB,PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體（圖略），則三棱錐

P—ABC的外接球可看成正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的體對角線長為33，所以其外接球

的半徑為R=-,外接球的體積為丫=￡1<3=絲3:.故選8.

232

14.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，SC是球0的直徑，若平面SCA1

平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S—ABC的體積為9,則球O的表面積為________.

【解訴】如圖，SC為球0的直徑，。為球心，

因?yàn)镾A=AC,所以A01SC,

同理SB=BC,所以BO_LSC,BOnAO=O,所以SC_L平面ABO.

又平面SCA_L平面SCB,