2020-2024年高考數(shù)學試題分類匯編：統(tǒng)計與概率（解析版）

專集16仙奸鳥就阜（總殿12小冷支精灌株+春運旗秋株）

5年考情?探規(guī)律

5年考情

考題示例考點分析

全概率公式；數(shù)據(jù)相關分析；用樣本估計總體、由頻率分布表求平均數(shù)及

2024年秋考8、13>19題

獨立性檢驗。

2024年春考15、19題

互斥事件的定義；分層抽樣的平均數(shù)及方差公式的應用

中位數(shù)和平均數(shù)的定義；線性相關的概念；離散型隨機變量的分布和期望

2023秋考9、14、19題

的計算。

2023春考5、7、10、14題

對立事件概率計算公式；頻率分布直方圖；古典概型概率；統(tǒng)計圖的識別。

2022秋考9題古典概型概率及其計算公式

2021年秋考10題古典概型概率及其計算公式

2020年秋考7題樣本的數(shù)據(jù)特征：中位數(shù)、平均數(shù)

5年真題?分點精準練

-.隨機事件（共1小題）

1.（2024?上海）某校舉辦科學競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，3題庫有4000道

題，C題庫有3000道題.小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92,3題庫的正確率是0.86,C題庫

的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是—.

一20一

K祥解R根據(jù)已知條件，結合全概率公式，即可求解.

【解答】解：由題可知，A題庫占比為』，5題庫占比為工，C題庫占比為工，

1234

^P=AXO.92+-XO.86+-XO.72=—.

123420

故答案為：—.

20

【點評】本題主要考查全概率公式的應用，屬于基礎題.

二.互斥事件與對立事件（共1小題）

2.(2024?上海)有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都

有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒

中有筆袋，貝1()

A.事件A與事件3互斥B.事件A與事件3相互獨立

C.事件A與事件B|jc互斥D.事件A與事件^nc相互獨立

(祥解》根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，逐一判斷選項即可.

【解答】解：選項A,事件A和事件3可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本，事

件A與事件3不互斥，A錯誤；

選項3,-：P(A)=LP(B)=-,尸(A5)=L,:.P(A)P(B)=P(AB),3正確；

224

選項C,事件A與事件B|JC可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本或筆袋，C錯

誤；

選項。，-,P(A)=1,P(Bp|C)=1,P(An(Bp|C))=^-,：.P(A)P(Bp|C)^P(An(BQC)),

與8rle不獨立，故。錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查相互獨立事件的概率公式，考查互斥事件的定義，屬于基礎題.

三.對立事件的概率關系及計算(共1小題)

3.(2023?上海)已知事件A的對立事件為若P(A)=0.5,則尸(Z)=0.5.

K祥解R利用對立事件概率計算公式直接求解.

【解答】解：事件A的對立事件為A,

若P(A)=0.5,則P(無)=1一0.5=0.5.

故答案為：0.5.

【點評】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

四.古典概型及其概率計算公式(共3小題)

4.(2023?上海)為了學習宣傳黨的二十大精神，某校學生理論宣講團赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名

女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為0.5.

K祥解》根據(jù)古典概型求解即可.

【解答】解:從10人中任選3人的事件個數(shù)為史經(jīng)=120,

3x2x1

恰有1名男生2名女生的事件個數(shù)為cK=4x—=60,

2x1

則恰有1名男生2名女生的概率為約=0.5.

120

故答案為：0.5.

【點評】略

5.（2022?上海）為了檢測學生的身體素質指標，從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機

抽取4項進行檢測，則每一類都被抽到的概率為-.

一7一

K祥解X由題意，利用古典概率的計算公式，計算求得結果.

【解答】解：從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，

則每一類都被抽到的方法共有C；?C；?C；+C；?C：種，

而所有的抽取方法共有C；種，

故每一類都被抽到的概率為C：CC+C：.C；.C：=30=3；

707

故答案為：-.

7

【點評】本題主要考查古典概率及其計算公式的應用，屬于基礎題.

6.（2021?上海）已知花博會有四個不同的場館A,B,C,D,甲、乙兩人每人選2個去參觀，則他們的

選擇中，恰有一個館相同的概率為--

一3一

K祥解X根據(jù)古典概型的概率公式進行計算即可.

【解答】解：甲選2個去參觀，有C：=6種，乙選2個去參觀，有C；=6種，共有6x6=36種，

若甲乙恰有一個館相同，則選確定相同的館有C；=4種，

然后從剩余3個館中選2個進行排列，有&=6種，共有4x6=24種，

749

則對應概率

363

故答案為：--

3

【點評】本題主要考查概率的計算，利用古典概型的概率公式是解決本題的關鍵，是基礎題.

五.離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）（共1小題）

7.（2023?上海）2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模

型，其外觀和內飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍色外觀

棕色內飾128

米色內飾23

（1）若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件3為小明取到棕色

內飾的模型，求尸（B）和尸（B|A）,并判斷事件A和事件3是否獨立;

(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給

出以下假設：

假設1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結果，即外觀和內飾均為同色、外觀和內飾都異色、以及僅外觀或僅內

飾同色；

假設2：按結果的可能性大小，概率越小獎項越高；

假設3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；

請你分析獎項對應的結果，設X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學期望.

(祥解》(1)根據(jù)概率公式分別進行計算即可.

(2)分別求出三種結果對應的概率，比較大小，確定X對應的概率，求出分布列，利用期望公式進行計算

即可.

【解答】解：(1)若紅色外觀的模型,則分棕色內飾12個,米色內飾2個,則對應的概率尸(A)=也工="，

2525

若小明取到棕色內飾，分紅色外觀12,藍色外觀8,則對應的概率P(B)

取到紅色外觀的模型同時是棕色內飾的有12個，即P(AB)=*

25

12

/W)=25=126

P(A)14147

25

1445612

■,P(A)P(B)=——x—=——3——，:.P(A)P(B)

25512525

即事件A和事件3不獨立.

(2)由題意知X=600,300,150,

則外觀和內飾均為同色的概率尸==66+28+3+1=%=&,

心300300150

外觀和內飾都異色的概率p=或=—,

Cj300

僅外觀或僅內飾同色的概率p=l-

1503002

14913

——>---->---9

215075

1984913

/.P(X=150)=-,P(X=300)=——=——，P(X=600)=——，

230015075

則X的分布列為：

150300600

P14913

215075

i4913

貝ij￡X=150x—+300x—+600x—=277（元）.

215075

【點評】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望的計算，根據(jù)概率公式求出對應的概率是解決本題

的關鍵，是中檔題.

六.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定極差組距和組數(shù)（共1小題）

8.（2023?上海）某校抽取100名學生測身高，其中身高最大值為186cm,最小值為154。〃，根據(jù)身高數(shù)據(jù)

繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,則組數(shù)為7.

（祥解》計算極差，根據(jù)組距求解組數(shù)即可.

【解答】解：極差為186—154=32,組距為5,且第一組下限為153.5,

—=6.4,故組數(shù)為7組，

5

故答案為：7.

【點評】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎題.

七.散點圖（共1小題）

9.（2023?上海）根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是（）

90

80

70

獸體60

50

40

30

150160170180190

身高

A.身高越大，體重越大B.身高越大，體重越小

C.身高和體重成正相關D.身高和體重成負相關

K祥解X根據(jù)散點圖的分布情況，即可得解.

【解答】解：根據(jù)散點圖的分布可得：身高和體重成正相關.

故選：c.

【點評】本題考查線性相關的概念，屬基礎題.

八.條形統(tǒng)計圖（共1小題）

10.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿(mào)易額描

述錯誤的是（）

B.從2018年開始，進出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小

（祥解》結合統(tǒng)計圖中條形圖的高度、增量的變化，以及增長率的計算方法，逐項判斷即可.

【解答】解：顯然2021年相對于2020年進出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長率最大，A對；

統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故3對；

2020年相對于2019的進口總額是減少的，故C錯；

顯然進出口總額2021年的增長率最大,而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年的增量小，

且計算增長率時前者的分母還大，故2020年的增長率一定最小，。正確.

故選：C.

【點評】本題考查統(tǒng)計圖的識圖問題，以及增長率的計算，屬于中檔題.

九.用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（共2小題）

11.（2020?上海）已知有四個數(shù)1,2,a,b,這四個數(shù)的中位數(shù)是3,平均數(shù)是4,則加36.

K祥解》分別由題意結合中位數(shù)，平均數(shù)計算方法得a+b=13,2=3,解得*b,再算出答案即可.

2

【解答】解：因為四個數(shù)的平均數(shù)為4,所以々+6=4x4-1-2=13,

因為中位數(shù)是3,所以2±@=3,解得a=4,代入上式得萬=13—4=9,

2

所以必=36,

故答案為：36.

【點評】本題考查樣本的數(shù)字特征，中位數(shù)，平均數(shù)，屬于基礎題.

12.（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個季度的GDP（億元），第一季度為232（億元），第四季度GDP為

241（億元），四個季度的GDP逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GDP為946（億元）.

（祥解》設第二季度GD尸為x億元，第三季度GD尸為y億元，則232<x<y<241,由題意可得

x+2=232+x+y+241）可求出了+>的值，從而求出該地一年的@）尸.

【解答】解：設第二季度GD尸為x億元，第三季度GDP為y億元，則232<x<y<241,

???中位數(shù)與平均數(shù)相同，

x+y_232+%+y+241

2

/.x+y=473,

該地一年的GDP為232+尤+y+241=946（億元）.

故答案為：946（億元）.

【點評】本題主要考查了中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎題.

一十.用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（共1小題）

13.（2024?上海）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱.

（1）隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

（2）進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，

單果質量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預估果園中單果的質量.

K祥解》（1）由排列組合公式可得樣本空間的樣本點的個數(shù)及所求的事件的樣本點的個數(shù)，由古典概型的

概率公式可得所求的概率；

（2）由兩個級別的箱數(shù)之比，可得樣本中兩個級別的箱數(shù)；

（3）由分層抽樣的平均數(shù)及方差的計算公式，可得168個水果的方差和平均數(shù)，進而估計136箱單果的質

量.

【解答】解：（1）古典概型：設A事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，樣本空間的樣本點的個數(shù)

136x135

〃=C136=9180,

2

A事件的樣本點的公式m=Ch?C；4=3468,

m

/A、346817

所以尸(A)=—=------=一

n918045

（2）因為一級果箱數(shù)：二級果箱數(shù)=3:1,

所以8箱水果中有一級果抽取6箱，二級果抽取2箱;

9?9

（3）設一級果平均質量為x,方差為w，二級果質量為y,方差為S；,總體樣本平均質量為z平均值，方

差為整,

因為元=303.45,y=240.41,=603.46,S；=648.21,

1JR

所以訝=-------x303.45+-----------x240.41=285.44克,

120+48120+48

,120,48

S2=-----------x[603.46+(303.45-285.44)-]+x[648.21+(240.41-285.44)。=1427.27克2.

120+48120+48

預估：平均質量為——X+——5=287.69克.

136136"

【點評】本題考查分層抽樣的平均數(shù)公式及方差公式的應用，屬于基礎題.

一十一.樣本相關系數(shù)（共1小題）

14.（2024?上海）已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

K祥解R利用變量的性關系，判斷選項即可.

【解答】解：成對數(shù)據(jù)相關分析中，如果相關系數(shù)為正，當x的值由小變大，y的值具有由小變大的變化趨

勢，

所以A、B、。選項錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查數(shù)據(jù)相關分析，是基礎題.

一十二.獨立性檢驗（共1小題）

15.（2024?上海）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580

人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

時間范圍[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

學業(yè)成績

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)約為多少？

（2）估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）.

（3）是否有95%的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關?

K祥解?（1）由已知結合頻率與概率關系即可求解；

（2）先求出樣本平均數(shù)，然后用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)即可；

（3）結合獨立性檢驗即可判斷.

【解答】解：（1）580人中體育鍛煉時長大于1小時人數(shù)占比尸=42+3+1+137+40上攻=生,

58058

該地區(qū)29000名初中學生中體育鍛煉時長大于1小時的人數(shù)約為29000x上=12500；

58

（2）該地區(qū)初中學生鍛煉平均時長約為

^x[|x0.5x（5+134）+^-y^x（4+147）+^y^x（42+137）+^^Zx（3+40）+^-^x（l+27）]=||?0.9A；

（3）由題意可得2x2列聯(lián)表,

[1，2)其他總數(shù)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

①提出零假設名：成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時無關,

②確定顯著性水平a=0.05,P(j2..3.841)^0.05,

580x(45x308-177x50)*12

③，2=?3.976>3.841

(45+50)x(177+308)x(45+177)x(50+308)

④否定零假設，即學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關.

【點評】本題主要考查了用樣本估計總體，由頻率分布表求平均數(shù)及獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.

1年模擬?精選模考題

選擇題（共16小題）

1.（2024?浦東新區(qū)校級三模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點數(shù).設事件A表示''兩個點數(shù)都是偶數(shù)”，事件3

表示“兩個點數(shù)都是奇數(shù)”，事件C表示“兩個點數(shù)之和是偶數(shù)”，事件。表示“兩個點數(shù)的乘積是偶數(shù)”.那

么下列結論正確的是（）

A.A與3是對立事件B.A與CjlD是互斥事件

C.3與。是相互獨立事件D.5與是相互獨立事件

（祥解》根據(jù)題意，由對立事件的定義分析A,由互斥事件的定義分析3,由相互獨立事件的定義分析C、

D,綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,由對立事件的定義，A和8不是對立事件，A錯誤；

對于3,表示"兩個點數(shù)都是偶數(shù)"，則有A=cn。，3錯誤；

36

對于C,P（B）=2^2=1,P（D）="—P（BD）=0,事件3、。不是相互獨立事件，C錯

6x64364

誤；

對于為必然事件，則必有P（B）P（CljD）=P（B）,8與C[J。是相互獨立事件，。正確.

故選：D.

【點評】本題考查隨機事件的定義，涉及相互獨立事件、互斥事件的定義，屬于基礎題.

2.（2024?虹口區(qū)二模）給出下列4個命題：

①若事件A和事件3互斥，則P（A「p）=尸（A）P（B）；

②數(shù)據(jù)2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位數(shù)為10；

③已知y關于x的回歸方程為y=-O.5.r+0.7,則樣本點（2,-1）的離差為-0.7；

（o1231

④隨機變量X的分布為，則其數(shù)學期望EIX]=L6.

（0.20.20.30.3J

其中正確命題的序號為（）

A.①②B.①③C.②③D.②④

（祥解》由互斥事件的定義分析①，由百分位數(shù)的計算公式分析②，由殘差的計算公式分析③，根據(jù)離散

型隨機變量的期望公式分析④，綜合可得答案.

【解答】解：對于①，若事件A和事件3互斥，P（A「p）=0,①錯誤；

對于②，共有8個數(shù)據(jù)，8x70%=5.6,根據(jù)百分位數(shù)的定義直接取第六位即可，②正確；

對于③，若y關于尤的回歸方程為y=-0.5x+0.7,則樣本點（2,-1）的殘差為

e=y_a=（-1）-（-0.5x2+0.7）=-0.7,③正確；

對于④，E（X）=0x0.2+lx0.2+2x0.3+3x0.3=1.7,④錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及互斥事件、百分位數(shù)、殘差的計算，期望的計算，屬于基礎題.

3.（2024?寶山區(qū)校級四模）已知隨機變量瓏）和y~N（兒，熄），如圖為對應的正態(tài)密度函數(shù)

圖像，則下列結論正確的是（）

C.自<4，>er；D.4<4,cr；<b；

K祥解工根據(jù)已知條件，結合正態(tài)分布的圖象，即可求解.

【解答】解：由圖可知，〃2>4，

隨機變量y~N（4，瓏）對應的圖象“瘦高"，Y~Ng峭）對應的圖象“矮胖”，

故of<erf.

故選：D.

【點評】本題主要考查正態(tài)分布的圖象，是基礎題.

4.（2024?楊浦區(qū)二模）某區(qū)高三年級3200名學生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績X服從正態(tài)分布

"（100,4）.統(tǒng)計結果顯示，考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總人數(shù)的3,則此次考試中成績不

4

低于120分的學生人數(shù)約為（）

A.350B.400C.450D.500

K祥解』根據(jù)題意，由正態(tài)分布的性質可得P（X..120）,即可得到結果.

【解答】解：因為數(shù)學考試成績服從正態(tài)分布X?N（100,/）,

3

又尸（80,,X<120）=—,

4

所以P（國20）=匕1-尸（80X?12O）J=-,

28

則此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學生人數(shù)約為4x3200=400.

8

故選：B.

【點評】本題考查正態(tài)分布，屬于基礎題.

5.（2024?普陀區(qū)模擬）從放有兩個紅球、一個白球的袋子中一次任意取出兩個球，兩個紅球分別標記為A、

B,白球標記為C,則它的一個樣本空間可以是（）

A.{AB,BC}B.{AB,AC,BC}

C.{AB,BA,BC,CB}D.{AB,BA,AC,CA,CB]

K祥解》根據(jù)已知條件，結合樣本空間的定義，即可求解.

【解答】解：兩個紅球分別標記為A、B,白球標記為C,

則抽取兩個球的情況為AB,AC,BC,即它的一個樣本空間可以是{AB,AC,BC].

故選：B.

【點評】本題主要考查樣本空間的定義，屬于基礎題.

6.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件.下列各種情況是互斥事件的有（

）

①A：”所取3件中至多2件次品”，3：“所取3件中至少2件為次品”；

②A：“所取3件中有一件為次品”，3：“所取3件中有二件為次品”；

③A：”所取3件中全是正品”，3：”所取3件中至少有一件為次品”；

@A："所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；

A.①③B.②③C.②④D.③④

（祥解》所取3件中至多2件次品與所取3件中至少2件為次品，兩個事件中都包含2件次品，所取3件

中有一件為次品與所取3件中有二件為次品是互斥事件，所取3件中全是正品與所取3件中至少有一件為

次品是不能同時發(fā)生的.

【解答】解：在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件，

所取3件中至多2件次品與所取3件中至少2件為次品，

兩個事件中都包含2件次品，

，①中的兩個事件不是互斥事件.

???所取3件中有一件為次品與所取3件中有二件為次品是互斥事件，

...②中的兩個事件是互斥事件.

所取3件中全是正品與所取3件中至少有一件為次品是不能同時發(fā)生的，

.?.③中的兩個事件是互斥事件

故選：B.

【點評】本題考查互斥事件的意義，判斷兩個事件是否是互斥事件，是解題的關鍵，可以把事件中所包含

的所有事件列出來進行比較.

7.(2024?奉賢區(qū)三模)如果X、豆分別是A、3的對立事件，下列選項中不能判斷件A與事件3相互獨立

的是()

A.P(AQB)=P(A)P(B)B.P(Ap|B)=P(A)(1-P(B))

C.P(B\A)=P(A)D.P(B\A)=P(B)

K祥解》根據(jù)題意，依次分析選項，驗證尸(AB)=P(A)P(B)是否成立，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項:

對于A,P(AQB)=P(AB)=P(A)P(B),則事件A、3相互獨立，符合題意；

對于3,P(Ap|B)=P(A)-P(AB),P(A)(1-P(B))=P(A)-P(A)P(B),

若尸(噌豆)=尸(A)(1-P(B)),即P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B),

則P(AB)=P(A)P(B),必有事件A、3相互獨立，符合題意；

對于C,P(B\A)=P^AB-,若P(B|A)=P(A),即「(AB)=p(人)，

P(A)P(A)

則有尸(A3)=尸(A),事件至不一定相互獨立，不符合題意.

對于。，P(8|A)="3,若尸(3|A)=P(B),即「(AB)=p(B),

P(A)P(A)

變形可得尸(AB)=P(A)P(B),必有事件A、3相互獨立，符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查相互獨立事件的判斷，涉及條件概率的計算，屬于基礎題.

8.(2024?嘉定區(qū)校級模擬)已知力、有分別為隨機事件A、3的對立事件，P(A)>0,P(B)>0,

則下列等式錯誤的是()

A.P(B\A)+P(B\A)=P(A)B.尸(附8)=|A)?尸(A)

C.若A、8獨立，則P(A|B)=P(A)D.若A、3互斥，則P(A|3)=P(B|A)

(祥解》結合互斥事件、對立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷.

【解答】解：由P(B|A)+P(月|A)=尸(胡)+尸(BA)=*=],故選項A錯誤；

P(A)尸(A)

P(B\A)-P(A)=-P(A)=P(AB)=P(Ap|B),故選項B正確；

若A、3獨立，則尸(4B)=P(A)P(B),P(A|B)=E^=P(A),故選項C正確；

若A、B互斥,貝!JP(AB)=O,P(AIB)=P(AB)=0,P(B|A)=P(AB)=0,故選項。正確.

P(B)P(A)

故選：A.

【點評】本題考查概率的應用，屬于基礎題.

9.(2024?浦東新區(qū)校級模擬)全概率公式在敏感性問題調查中有著重要應用.例如某學校調查學生對食堂

滿意度的真實情況，為防止學生有所顧忌而不如實作答，可以設計如下調查流程：每位學生先從一個裝有3

個紅球，6個白球的盒子中任取3個球，取到至少一個紅球的學生回答問題一“你出生的月份是否為3的倍

數(shù)？”，未取到任何紅球的學生回答問題二“你對食堂是否滿意？由于兩個問題的答案均只有“是”和

“否”，而且回答的是哪個問題他人并不知道(取球結果不被看到即可)，因此理想情況下學生應當能給出

符合實際情況的答案.已知某學校800名學生參加了該調查，且有250人回答的結果為“是”，由此估計學

生對食堂的實際滿意度大約為()

A.25%B.35%C.45%D.55%

K祥解工利用全概率公式可求答案.

【解答】解：設學生對食堂的實際滿意度為0,事件4="回答問題一”，事件3="回答的結果為是”,

由題意可知尸(才)=1一*則P(A)=1-P(A)=^,

又因為P(8|A)=；,P(B|4)=0,

__250

由全概率公式可得P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=—,

解得p=-----x0.25.

240

故選：A.

【點評】本題主要考查了全概率公式，屬于基礎題.

10.(2024?閔行區(qū)校級三模)設a,b,c是不全相等的實數(shù)，隨機變量J取值為a,b,c的概率都是g,

隨機變量〃取值為a+20234,匕+2023c,c+2023"的概率也都是貝|]()

2024202420243

A.仇/＜仇切，。［尋B.￡4]=￡[〃],D[^>D[T7]C.￡[m<a77],

D[^]=D[77]D.耳目=￡勿"。［同=。［初

K祥解工利用離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差公式能求出結果.

【解答】解：a,b,c是不全相等的實數(shù)，隨機變量J取值為a,b,c的概率都是g,

/.￡(4)=~tz+~Z?+—(?=—(a+Z?+c),——(a+Z?+c),

2122

貝U￡>[目=g[(Q_/)2+(Z?T)2+(C-)2]=+人2+C2_2(Q+人+c)t+3f]=^[a+b+c-6t+3/],

隨機變量〃取值為y善b+2023cc+2023〃的概率都是L

202420243

?、+2023/?6+2023。c+2023。、1.7、

E(〃)=-(--------------+--------------H---------------)——(Q+Z2+C),

32024202420243

?+2023b.力+2023。,,c+2023a.-.

DS)=-[(-----------------ty2+(-----------------ty2+(-----------------ty2]

3202420242024

1「/。+2023久2屹+2023C、2C+20236Z,。2r

=-[(--------------)2+(--------------)2+(Z--------------)X22-6?+3?,

3202420242024

由a,b,c是不全相等的實數(shù),

則…+，）-與泮2+y＞,2

y/2023a-y/2023bJ2023A-J2023cj2023c—j2023a

■)2+C■)2+C)2>0,

202420242024

22/々+2023久2/+2023C、2,c+2023tz.

a2+b7+c>(--------------)+(-------------)+(---------------)2,

202420242024

綜上，耳目=E［〃］，。［同＞￡＞［〃］.

故選：B.

【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基

礎題.

11.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）從某中學甲、乙兩班各隨機抽取10名同學，測量他們的身高（單位：cm）,

所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，由此可估計甲、乙兩班同學的身高情況，則下列結論正確的是（）

甲班乙班

211813

820171268

65316257

87159

A.甲乙兩班同學身高的極差相等

B.甲乙兩班同學身高的平均值相等

C.甲乙兩班同學身高的中位數(shù)相等

D.乙班同學身高在175a”以上的人數(shù)較多

K祥解》根據(jù)莖葉圖和極差、平均數(shù)、中位數(shù)等概念逐一計算，即可判斷選項是否正確.

【解答】解：由莖葉圖可知，甲班同學身高的極差為182-157=25,乙班同學身高的極差為183-159=24,

兩班身高極差不相等，故A錯誤；

甲班同學身高的平均值為木（157+158+163+165+166+170+172+178+181+182）=169.2,

乙班同學身高的平均值為:（159+162+165+167+171+172+176+178+181+183）=171.4,

顯然，甲乙兩班同學身高的平均值不相等，即3錯誤；

根據(jù)莖葉圖可知，甲班同學身高的中位數(shù)為-6+17°=牧8,乙班同學身高的中位數(shù)為：171+172=171.5,

22

所以甲乙兩班同學身高的中位數(shù)不相等，即C錯誤；

由莖葉圖可知，甲班同學身高在175cm以上的人數(shù)為3人，乙班同學身高在175cm以上的人數(shù)為4人，故。

正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查了莖葉圖的應用，考查了極差、平均數(shù)、中位數(shù)的計算，屬于基礎題.

12.（2024?閔行區(qū)校級三模）上海百聯(lián)集團對旗下若干門店的營業(yè)額與三個影響因素分別作了相關性分析，

繪制了如下的散點圖，則下述大小關系正確的為（）

xC）rCJx

相關系數(shù)。相關系數(shù)Q相關系數(shù)，\

A.弓〉與B.r2>r3>r\C.八>3>弓D.4>馬>可

（祥解力根據(jù)相關系數(shù)的性質判斷.

【解答】解：由散點圖可以看出，圖①是正相關，相關系數(shù)4>0,

圖②和圖③是負相關，相關系數(shù)4<0，相關系數(shù)4<0,

圖①和圖②的點相對更加集中，所以線性相關程度要強，所以可接近于1,馬接近于-1,

所以4<與<。<4.

故選：C.

【點評】本題主要考查了散點圖的應用，考查了相關系數(shù)的性質，屬于基礎題.

13.（2024?浦東新區(qū)二模）通過隨機抽樣，我們繪制了如圖所示的某種商品每千克價格（單位：百元）與

該商品消費者年需求量（單位：千克）的散點圖.若去掉圖中右下方的點A后，下列說法正確的是（）

?年需求量/千克

4

夕5

3

z5

2

L5

1

S5

O

消費者年需求量與商品每千克價格的散點圖

A."每千克價格”與“年需求量”這兩個變量由負相關變?yōu)檎嚓P

B.“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關程度不變

C.“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關系數(shù)變大

D.“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關系數(shù)變小

（祥解』根據(jù)相關系數(shù)的概念逐一判斷.

【解答】解：對于A：去掉圖中右下方的點A后，根據(jù)圖象，兩個變量還是負相關，故A錯誤；

對于BCD：去掉圖中右下方的點A后，相對來說數(shù)據(jù)會集中，相關程度會更高，但因為是負相關，相關系

數(shù)會更接近-1,線性相關系數(shù)會變小，

故。正確，錯誤.

故選：D.

【點評】本題主要考查了散點圖的應用，考查了相關系數(shù)的性質，屬于基礎題.

14.（2024?崇明區(qū)二模）某單位共有A、5兩部門，1月份進行服務滿意度問卷調查，得到兩部門服務滿意

度得分的頻率分布條形圖如下.設A、8兩部門的服務滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為4,松，方差分

別為s；,s；,貝|（）

S

S.7

.6

O..45

O.3

O.2

OS.

分

23分

A.B.

C.D.<n2,sf>sf

K祥解》根據(jù)百分位數(shù)和方差的定義求解.

【解答】解：對于A部門，因為0.2+0.7>0.75,

所以4=4,

對于3部門，因為0.1+0.2+0.4<0.75,

所以“2=5,

所以〃[<“2，

由頻率分布條形圖可知，A部門滿意度更集中，

所以YvsJ.

故選：C.

【點評】本題主要考查了百分位數(shù)和方差的定義，屬于基礎題.

15.(2024?普陀區(qū)校級模擬)已知貴州某果園中刺梨單果的質量M(單位：g)服從正態(tài)分布N(30,02),

且P(M<28)=02,若從該果園的刺梨中隨機選取100個單果，則質量在28g~32g的單果的個數(shù)的期望為

()

A.20B.60C.40D.80

K祥解X由正態(tài)分布對稱性及已知得P(28<M<32)=0.6,又質量在28g~32g的單果的個數(shù)

X~5(100,0.6),應用二項分布的期望公式求期望.

【解答】解：因為“(單位g)服從正態(tài)分布N(30,/),且尸(M<28)=0.2,

所以P(28<M<32)=2x(0.5-0.2)=0.6,

若從該果園的刺梨中隨機選取100個單果，則質量在28g~32g的單果的個數(shù)X~5(100,0.6),

所以E(X)=100x0.6=60.

故選：B.

【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，考查了二項分布的期望公式，屬于中檔題.

16.(2024?浦東新區(qū)三模)有一袋子中裝有大小、質地相同的白球七個，黑球2024-左次eN*).甲、乙兩

人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上

一局的負者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第"局甲獲勝的概率為p“，則關于以下兩個命題判斷正確的

是()

①PiI\'且0“+I=(1-2R)P"+"；

4048一k

②